列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)12×2列聯(lián)表設(shè)A,B為兩個(gè)變量，每一個(gè)變量都可以取兩個(gè)值，變量A:A1,通過(guò)觀察得到右表所示數(shù)據(jù)：并將形如此表的表格稱(chēng)為2×2列聯(lián)表．2獨(dú)立性檢驗(yàn)根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)判斷兩個(gè)變量A,B是否獨(dú)立的問(wèn)題叫2×2列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)．3χ2的計(jì)算公式χ若要推斷的論述為“A與B有關(guān)系”，則χ2的值越大，說(shuō)明“A與B有關(guān)系如下表，若χ因?yàn)?>7.879，所以有1-0.005=99.5%的把握認(rèn)為A與B之間有關(guān)；而8<10.828，所以沒(méi)有1-0.001=99.9%的把握認(rèn)為A與B之間有關(guān).p(0.10.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.8284應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié)(Ⅰ)提出另假設(shè)H0:X(Ⅱ)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值(Ⅲ)(Ⅳ)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y【典題1】為了考察某種病毒疫苗的效果，現(xiàn)隨機(jī)抽取100只小白鼠進(jìn)行試驗(yàn)，得到如下2×2列聯(lián)表：感染未感染總計(jì)服用104050未服用203050總計(jì)3070100附：K2=nP(0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828根據(jù)以上數(shù)據(jù)，得到的結(jié)論正確的是()A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)2.5%的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗有關(guān)” B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)2.5%的前提下，認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗無(wú)關(guān)” C．有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗有關(guān)” D．有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗無(wú)關(guān)”【解析】由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算K2=100×(10×30-20×40)230×70×50×50所以有95%的把握認(rèn)為“小白鼠是否被感染與有沒(méi)有服用疫苗有關(guān)”．故選：C．【典題2】近年來(lái)我國(guó)電子商務(wù)行業(yè)迎來(lái)篷布發(fā)張的新機(jī)遇，2015年雙11期間，某購(gòu)物平臺(tái)的銷(xiāo)售業(yè)績(jī)高達(dá)918億人民幣，與此同時(shí)，相關(guān)管理部門(mén)推出了針對(duì)電商的商品和服務(wù)的評(píng)價(jià)體系，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出200次成功交易，并對(duì)其評(píng)價(jià)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，對(duì)商品的好評(píng)率為0.6，對(duì)服務(wù)的好評(píng)率為0.75，其中對(duì)商品和服務(wù)都做出好評(píng)的交易為80次．(Ⅰ)完成商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表，并說(shuō)明是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)？(Ⅱ)若將頻率視為概率，某人在該購(gòu)物平臺(tái)上進(jìn)行的5次購(gòu)物中，設(shè)對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)為隨機(jī)變量X．①求對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的次數(shù)X的分布列(概率用組合數(shù)算式表示)；②求X的數(shù)學(xué)期望和方差．參考數(shù)據(jù)及公式如下：P(0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(K2【解析】(Ⅰ)由題意可得關(guān)于商品和服務(wù)評(píng)價(jià)的2×2列聯(lián)表：對(duì)服務(wù)好評(píng)對(duì)服務(wù)不滿意合計(jì)對(duì)商品好評(píng)8040120對(duì)商品不滿意701080合計(jì)15050200得K2=200×(80×10-40×70)可以在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為商品好評(píng)與服務(wù)好評(píng)有關(guān)；①每次購(gòu)物時(shí)，對(duì)商品和服務(wù)全好評(píng)的概率為0.4，且X的取值可以是0，1，2，3，4，5，X～B(5，0.4)．P(X=0)=0.65；P(X=1)=C51?0.4?0.64；P(X=2)=C52?0.42?0.63；P(X=3)=C53?0.43?0.62；P(X=4)=C54?0.44?0.6；P(X=5)=0.45，②X的分布列X012345P0.65C51?0.4?0.64C52?0.42?0.63C53?0.43?0.62C54?0.44?0.60.45EX=5×0.4=2，DX=5×0.4×0.6=1.2．【典題3】近期，湖北省武漢市等多個(gè)地區(qū)發(fā)生新型冠狀病毒感染的肺炎疫情．為了盡快遏制住疫情，我國(guó)科研工作者堅(jiān)守在科研一線，加班加點(diǎn)、爭(zhēng)分奪秒與病毒抗?fàn)?，夜以繼日地進(jìn)行研究．新型冠狀病毒的潛伏期檢測(cè)是疫情控制的關(guān)鍵環(huán)節(jié)之一．在傳染病學(xué)中，通常把從致病刺激物侵入機(jī)體或?qū)C(jī)體發(fā)生作用起，到機(jī)體出現(xiàn)反應(yīng)或開(kāi)始呈現(xiàn)該疾病對(duì)應(yīng)的相關(guān)癥狀時(shí)止的這一階段稱(chēng)為潛伏期．鐘南山院士帶領(lǐng)的研究團(tuán)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了武漢市某地區(qū)10000名醫(yī)學(xué)觀察者的相關(guān)信息，并通過(guò)咽拭子核酸檢測(cè)得到1000名確診患者的信息如表格：潛伏期(單位：天)[0,7](7,14](14,21](21,28]人數(shù)80019082(1)求這1000名確診患者的潛伏期樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x(同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值代表)．(2)新型冠狀病毒的潛伏期受諸多因素影響，為了研究潛伏期與患者性別的關(guān)系，以潛伏期是否超過(guò)7天為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取100名，得到如下列聯(lián)表．請(qǐng)將列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為潛伏期與患者性別有關(guān)．潛伏期≤7天潛伏期>7天總計(jì)男性患者12女性患者50總計(jì)100(3)由于采樣不當(dāng)、標(biāo)本保存不當(dāng)、采用不同類(lèi)型的標(biāo)本以及使用不同廠家試劑都可能造成核酸檢測(cè)結(jié)果“假陰性”而出現(xiàn)漏診．當(dāng)核酸檢測(cè)呈陰性時(shí)，需要進(jìn)一步進(jìn)行血清學(xué)IgM/IgG抗體檢測(cè)，以彌補(bǔ)核酸檢測(cè)漏診的缺點(diǎn)．現(xiàn)對(duì)10名核酸檢測(cè)結(jié)果呈陰性的人員逐一地進(jìn)行血清檢測(cè)，記每個(gè)人檢測(cè)出IgM(IgM是近期感染的標(biāo)志)呈陽(yáng)性的概率為p(0<p<1)且相互獨(dú)立，設(shè)至少檢測(cè)了9個(gè)人才檢測(cè)出IgM呈陽(yáng)性的概率為f(p)，求f(p)取得最大值時(shí)相應(yīng)的概率p．附：K2=nP(0.1000.0500.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)x=3.5×(相當(dāng)于求頻率直方圖中的平均數(shù)，其等于每組組中值×每組概率)(2)補(bǔ)充完整的2×2列聯(lián)表如下所示，潛伏期<7天潛伏期>7天總計(jì)男性患者381250女性患者42850總計(jì)8020100∴K∴不能有90%的把握認(rèn)為潛伏期與患者性別有關(guān)．(套用公式求出K2值，再查表確認(rèn)分類(lèi)變量是否有關(guān)(3)由f(p)=p1-p8+p令1-p=x∈(0,1)，則p=1-x，f(p)=1-x令g(x)=1-x2x8令g'(x)>0，則0<x<255；令g'(x)<0∴g(x)在(0,255∴g(x)有唯一的極大值為g(2∴當(dāng)x=255，即p=1-【點(diǎn)撥】注意理解K2=鞏固練習(xí)1(★)在研究肥胖與高血壓的關(guān)系時(shí)，通過(guò)收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù)得到“高血壓與肥胖有關(guān)”的結(jié)論，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，下列說(shuō)法中正確的是()A．在100個(gè)肥胖的人中至少有99人患有高血壓 B．肥胖的人至少有99%的概率患有高血壓 C．在100個(gè)高血壓患者中一定有肥胖的人 D．在100個(gè)高血壓患者中可能沒(méi)有肥胖的人【答案】D【解析】“高血壓與肥胖有關(guān)”，并且在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是成立的，表示有99%的把握認(rèn)為這個(gè)結(jié)論成立，與多少個(gè)人患高血壓沒(méi)有關(guān)系，也不是說(shuō)“肥胖的人就是至少有99%的概率患有高血壓”，只有選項(xiàng)D正確．故選：D．2(★)某校為了解學(xué)生“玩手機(jī)游戲”和“學(xué)習(xí)成績(jī)”是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算得到K2=3.936，所以判定玩手機(jī)游戲與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為()P(0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.83A．1% B．5% C．95% D．99%【答案】B【解析】根據(jù)題意知，K2=3.936>3.841，所以判定玩手機(jī)游戲與學(xué)習(xí)成績(jī)有關(guān)系，這種判斷出錯(cuò)的可能性為5%．故選：B．3(★)為了研究高中學(xué)生對(duì)鄉(xiāng)村音樂(lè)的態(tài)度(喜歡和不喜歡兩種態(tài)度)與性別的關(guān)系，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算K2=8.01，附表如表：P(0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828參照附表，得到的正確的結(jié)論是()A．有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)” B．有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別無(wú)關(guān)” C．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)” D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1%的前提下，認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別無(wú)關(guān)”【答案】A【解析】∵K2=8.01>6.635，∴在犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)”，即有99%以上的把握認(rèn)為“喜歡鄉(xiāng)村音樂(lè)與性別有關(guān)”．故選：A．4(★)【多選題】“一粥一飯，當(dāng)思來(lái)之不易”，道理雖簡(jiǎn)單，但每年我國(guó)還是有2000多億元的餐桌浪費(fèi)，被倒掉的食物相當(dāng)于2億多人一年的口糧．為營(yíng)造“節(jié)約光榮，浪費(fèi)可恥”的氛圍，某市發(fā)起了“光盤(pán)行動(dòng)”．某機(jī)構(gòu)為調(diào)研民眾對(duì)“光盤(pán)行動(dòng)”的認(rèn)可情況，在某大型餐廳中隨機(jī)調(diào)查了90位來(lái)店就餐的客人，制成如表所示的列聯(lián)表，通過(guò)計(jì)算得到K2的觀測(cè)值為9．已知P(K2≥6.635)=0.010,P(認(rèn)可不認(rèn)可40歲以下202040歲以上(含40歲)4010A．在該餐廳用餐的客人中大約有66.7%的客人認(rèn)可“光盤(pán)行動(dòng)” B．在該餐廳用餐的客人中大約有99%的客人認(rèn)可“光盤(pán)行動(dòng)” C．有99%的把握認(rèn)為“光盤(pán)行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān) D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，認(rèn)為“光盤(pán)行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)【答案】AC【解析】∵K2的觀測(cè)值為9，且P(K2≥6.635)=0.010，P(K2≥10.828)=0.001，又∵9>6.635，但9<10.828，∴有99%的把握認(rèn)為“光盤(pán)行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)，或者說(shuō)，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.010的前提下，認(rèn)為“光盤(pán)行動(dòng)”的認(rèn)可情況與年齡有關(guān)，所以選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤，由表可知認(rèn)可“光盤(pán)行動(dòng)”的人數(shù)為60人，所以在該餐廳用餐的客人中認(rèn)可“光盤(pán)行動(dòng)”的比例為6090×100故選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤，故選：AC．5(★)某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)從購(gòu)買(mǎi)該平臺(tái)某課程的客戶中，隨機(jī)抽取了100位客戶的數(shù)據(jù)，并將這100個(gè)數(shù)據(jù)按學(xué)時(shí)數(shù)，客戶性別等進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理得到如表；學(xué)時(shí)數(shù)[5[10[15[20[25[30[35男性181299642女性24827134(1)根據(jù)上表估計(jì)男性客戶購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后兩位)；(2)從這100位客戶中，對(duì)購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機(jī)抽取7人，再?gòu)倪@7人中隨機(jī)抽取2人，求這2人購(gòu)買(mǎi)的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15的概率．(3)將購(gòu)買(mǎi)該課程達(dá)到25學(xué)時(shí)及以上者視為“十分愛(ài)好該課程者”，25學(xué)時(shí)以下者視，為“非十分愛(ài)好該課程者”．請(qǐng)根據(jù)已知條件完成以下2×2列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛(ài)好該課程者”與性別有關(guān)？非十分愛(ài)好該課程者十分愛(ài)好該課程者合計(jì)男性女性合計(jì)100附：K2=P(0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）16.92（2）27（3）有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛(ài)好該課程者”【解析】(1)由題意知，在100位購(gòu)買(mǎi)該課程的客戶中，男性客戶購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值為x=1所以估計(jì)男性客戶購(gòu)買(mǎi)該課程學(xué)時(shí)數(shù)的平均值為16.92．(2)設(shè)“所抽取的2人購(gòu)買(mǎi)的學(xué)時(shí)數(shù)都不低于15為事件A，依題意按照分層抽樣的方式分別在學(xué)時(shí)數(shù)為[5，10)，[l0，15)，[15，20)的女性客戶中抽取1人(設(shè)為a)，2人(設(shè)為A，B)4人，(設(shè)為c1，c2，c3，c4)，從7人中隨機(jī)抽取2人所包含的基木事件為：aA，aB，ac1，ac2，ac3，ac4，AB，Ac1，Ac2，Ac3，Ac4，Bc1，Bc2，Bc3，Bc4，c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共21種，其中事件A所包含的基本事件為：c1c2，c1c3，c1c4，c2c3，c2c4，c3c4，共6個(gè)，則事件A發(fā)生的概率P=6(3)依題意得2×2列聯(lián)表如下非十分愛(ài)好該課程者十分愛(ài)好該課程者合計(jì)男性481260女性162440合計(jì)6436100則K2=故有99.9%的把握認(rèn)為“十分愛(ài)好該課程者”與性別有關(guān)．6(★★)“低碳出行”，一種降低“碳”的出行，以低能耗、低污染為基礎(chǔ)，是環(huán)保的深層次體現(xiàn)，在眾多發(fā)達(dá)國(guó)家被廣大民眾接受并執(zhí)行，S市即將投放一批公共自行車(chē)以方便市民出行，減少污染，緩解交通擁堵，現(xiàn)先對(duì)100人做了是否會(huì)考慮選擇自行車(chē)出行的調(diào)查，結(jié)果如表．(1)如果把45周歲以下人群定義為“青年”，完成下列2×2列聯(lián)表，并問(wèn)你有多少把握認(rèn)為該地區(qū)市民是否考慮單車(chē)與他(她)是不是“青年人”有關(guān)？參考：K2=n(2)S市為了鼓勵(lì)大家騎自行車(chē)上班，為此還專(zhuān)門(mén)在幾條平時(shí)比較擁堵的城市主道建有無(wú)障礙自行車(chē)道，該市市民小明家離上班地點(diǎn)10km，現(xiàn)有兩種．上班方案給他選擇；方案一：選擇自行車(chē)，走無(wú)障礙自行車(chē)道以19km/h的速度直達(dá)上班地點(diǎn)．方案二：開(kāi)車(chē)以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過(guò)A、B、C三個(gè)易堵路段，三個(gè)路段堵車(chē)的概率分別是12，12，1若僅從時(shí)間的角度考慮，請(qǐng)你給小明作一個(gè)選擇，并說(shuō)明理由．【答案】（1）有99.5%把握認(rèn)為該地區(qū)市民是否考慮單車(chē)與他(她)是不是“青年人”有關(guān)（2）方案二【解析】(1)根據(jù)題目所給的數(shù)據(jù)填寫(xiě)2×2列聯(lián)表如下：騎車(chē)不騎車(chē)合計(jì)45歲以下35155045歲以上203050合計(jì)5545100K2=故有99.5%把握認(rèn)為該地區(qū)市民是否考慮單車(chē)與他(她)是不是“青年人”有關(guān)；(2)方案一：選擇自行車(chē)，走無(wú)障礙自行車(chē)道以19km/h的速度直達(dá)上班地點(diǎn)．則所需時(shí)間為：t1=1019方案二：開(kāi)車(chē)以30km/h的速度上班，但要經(jīng)過(guò)A、B、C三個(gè)易堵路段，分別令三個(gè)路段堵車(chē)的事件為A、B、C，因?yàn)槿齻€(gè)路段堵車(chē)的概率分別是12，12，13，且是相互獨(dú)立的，并且每次堵車(chē)的時(shí)間都是10分鐘則在路上遇上堵車(chē)的概率為：P=1P(A?B?B)=1P(A)?(B)(?B)=)=1[1P(A)][1P(B)][1P(C故選擇方案二上班所需時(shí)間為t2=1030因?yàn)閠1>t2；若僅從時(shí)間的角度考慮，應(yīng)選方案二省時(shí)間．7(★★)2020年初，新型冠狀病毒(2019-nCoV)肆虐，全