2025年湖南省益陽市中考數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)與創(chuàng)新能力大賽試卷一、單選題(★★)1.下列運算正確的是（）

A．B．C．D．(★★)2.設(shè)的平均數(shù)為，和的平均數(shù)為，和的平均數(shù)為，若，則（）

A．B．C．D．(★★★★)3.若，，則（）

A．10B．14C．52D．64(★★★)4.如圖，一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點A，B，將直線繞點B順時針旋轉(zhuǎn)交x軸于點C，則線段的長為（）

A．1B．C．D．(★★★)5.已知，，，則（）

A．B．C．或D．或(★★★)6.如圖，某公園內(nèi)有一斜坡，坡度，米，斜坡上有一棵豎直向上的古樹，某游人在斜坡起點A處看古樹樹頂P的仰角為，在斜坡終點B處看古樹樹頂P的仰角為，則古樹的高為（）米．

A．B．30C．D．(★★★)7.如圖，中，，，M是上一點，且，平分，過M作交于F，則（）

A．3B．C．4D．(★★★)8.已知點在直線上，點，在拋物線上，若，，則的取值范圍是（）

A．B．C．D．(★★★★)9.已知點，均在函數(shù)的圖象上，則下列結(jié)論：①若，則；②若，則；③若，則；④若，則．其中正確的個數(shù)是（）

A．1個B．2個C．3個D．4個(★★★★)10.閱讀：已知對于任意正整數(shù)n，都有，求的值．小郭通過思考發(fā)現(xiàn)可以這樣解答：．若對于任意正整數(shù)n，都有．則（）

A．B．C．D．二、填空題(★★)11.已知是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值為__．(★★★)12.某天，小趙準(zhǔn)備給甲乙丙丁四個同學(xué)分別打一個電話，打電話的順序是任意的，則恰好第一個電話打給乙，第二個電話打給甲的概率為______．(★★★★)13.如圖，矩形的對角線，相交于點O，點E，F(xiàn)分別是線段，上的點．若，，，，則的長為______．(★★★★)14.如圖，在等腰直角三角形中，，E為的中點，上有一點F，若，則的面積等于______．(★★★)15.閱讀：求方程的正整數(shù)解．小張在解決此問題時從多個角度進行了思考，得到了多種解法，其中一種解法是：將方程化為，可知x為偶數(shù)，令（為正整數(shù)），代入得，即，由y為正整數(shù)可知，所以，原方程的正整數(shù)解為．請你在下列兩個問題中任選一個作答．問題①：方程的正整數(shù)解是______；問題②：方程的正整數(shù)解是______．三、解答題(★★★)16.（1）若，化簡；（2）解方程組：．(★★★★)17.已知矩形，，，邊上有一動點E，連接，將沿直線翻折，點C恰好落在邊上的點F處．(1)求的值；(2)若半徑為1的在四邊形內(nèi)（包括邊界）任意移動，則能夠到達(dá)的區(qū)域的面積是多少？（第（2）問只需要寫出結(jié)果，不要過程）(★★★★)18.（1）已知a，b，c為整數(shù)，且，若多項式能被多項式整除，求的值．（2）證明：兩個不能被3整除的整數(shù)的平方差能被3整除．(★★★★)19.如圖1，已知，過點A作圓切于C，再過點B作圓切于C，兩圓除C外的交點記為．(1)證明：；(2)如圖2，若點P在上，過P作交于E，過P作交于F，證明：四點C，D，E，F(xiàn)共圓．(★★★★★)20.如圖1，已知拋物線，將拋物線E向下平移1個單位長度后得到拋物線F，記拋物線F的頂點為P，坐標(biāo)原點O關(guān)于P點的對稱點為Q，過點Q且平行于x軸的直線記為l，拋物線F上有一動點（位于y軸的左邊），連接并延長交拋物線F于點B，過點B作平行y軸交的延長線于C點．(1)證明：C點在直線l上；(2)