13.2.2三角形的中線、角平分線、高第十三章

三角形1.理解三角形的中線、角平分線、高線等概念和區(qū)別.

(重點)2.了解三角形重心的概念，會畫出任意三角形的中線、角平分線、高線.(難點)3.探究三角形三條中線、三條角平分線、三條高所在的直線分別交于一點的過程.(難點)4.進(jìn)一步提升學(xué)生的幾何直觀感知能力.定義

圖示線段中點角平分線垂線OBAAB當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線把一條線段分成兩條相等的線段的點一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線點擊視頻開始播放→觀看視頻，回答它所提出的問題：如何用數(shù)學(xué)語言描述關(guān)于蛋糕的平均分配問題的解決辦法“從蛋糕一邊中間的地方切到對邊的尖”？1.三角形的中線：在三角形中，連接一個頂點和它所對的邊的中點的線段叫做三角形的中線.2.符號語言：如圖，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝CD.知識點1：三角形的中線（重點）新課導(dǎo)入3.三角形的重心：三角形的三條中線相交于一點，這個交點叫做三角形的重心.4.三角形的中線分成的兩個三角形的面積和周長關(guān)系：兩個三角形的面積相等，周長之差等于另外兩邊之差.新課導(dǎo)入1.三角形的角平分線：在三角形中，一個內(nèi)角的平分線和它所對的邊相交于一點，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.2.符號語言：3.三角形的三條角平分線都在三角形的內(nèi)部，并且三條角平分線交于三角形內(nèi)一點.知識點2：三角形的角平分線（重點）

新課導(dǎo)入1.三角形的高：從三角形的一個頂點向它所對的邊所在直線畫垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高.2.符號語言：

如圖，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC(或∠ADB＝∠ADC＝90°)．知識點3：三角形的高（重難點）新課導(dǎo)入3.三角形三條高的位置三角形高及高的交點的位置圖示銳角三角形三條高都在三角形的內(nèi)部，三條高的交點在三角形的內(nèi)部.

直角三角形有兩條高恰好是三角形的兩條

直角邊，另一條高在三角形內(nèi)

部，三條高的交點是直角頂點.

鈍角三角形有兩條高落在三角形的外部，另一條高在三角形內(nèi)部，三條高沒有交點，但三條高所在直線交于三角形外一點.

新課講解思考：如圖，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關(guān)系，

為什么？BCDEA答：相等，因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.思考：通過以上問題你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？答：三角形的中線能將三角形的面積平分.新知探究三角形的中線1.三角形的三條中線相交于一點，這點叫做三角形的重心.2.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分.拓展：三角形重心的性質(zhì)ACDBG總結(jié)歸納例3如圖，AD為△ABC的中線，AB＝12cm，△ABD和△ADC的周長差是4cm，求△ABC的邊AC的長（AC＜AB）.解:∵AD為△ABC的中線

∴BD＝CD

∵△ABD和△ADC的周長差是4cm

∴AB+AD+BD﹣(AC+AD+CD)

＝AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣BD＝AB﹣AC＝4cm

∵AB＝12cm

∴AC＝AB﹣4cm＝8cm

∴△ABC的邊AC的長為8cm.典例精析例4

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC（∠B>∠C）.若∠B=80°，∠C=30°，求∠DAE的度數(shù).解：∵在△ABC中，∠B=80°，∠C=30°，∴∠BAC=70°.∵AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠BAE=2∠CAE.

∵∠BAC=70°，∴∠BAE=35°.

∵AD⊥BC，∠B=80°，∴∠BAD=10°.

∴

∠DAE=∠BAE-∠BAD=35°-10°=25°.DE┐BAC典例精析1.如圖，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，垂足分別為點C，D，E，則下列說法不正確的是（）A.AC是△ABC的高B.DE是△BCD的高C.DE是△ABE的高D.AD是△ACD的高CCABDE√√√△BCD或△BDE或△CDE針對訓(xùn)練針對訓(xùn)練2.在下圖中，正確畫出△ABC中邊BC上高的是（）C

A.

B.

C.

D.ADCBADCBADCBADCB隨堂演練教材P8練習(xí)第1題1.如圖，過△ABC

的頂點C，分別畫出它的中線、角平分線和高.ABCDEF解：如圖，AD，AE，AF分別是△ABC的中線、角平分線和高.2.如圖，AD，BE，CF是△ABC的三條中線.（1）AC=____AE=____EC；

CD=______；

AF=____AB；（2）若S△ABC

=12，則S△ABD=____.ABCDEF22BD6三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分隨堂演練3.如圖，CM是△ABC的中線，△BCM的周長比△ACM的周長大3cm，BC=8cm，則AC

的長為____cm.ABCM分析：CM

是中線C△BCM

–C△ACM

=

3cmAM=

BMBC–AC=

3cmBC=

8cmAC=

5cm5隨堂演練鞏固練習(xí)

∠CADCEBC∠BAC∠AFC2010鞏固練習(xí)6.已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC＝4cm2，則陰影部分的面積為

cm2．1歸納總結(jié)三角形的中線、角平分線、高三角形的中線連接△ABC的頂點A和它所對的邊BC的中點D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的

.三角形的角平分線畫△ABC的∠A的平分線AD，交∠A所對的邊BC于點D，所得線段AD叫作△ABC的

.三角形的高線從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D，所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的

．三角形的高線簡稱三角形的高.中線角平分線高線復(fù)習(xí)鞏固1.三角形的三邊長分別為2，7，a，則a

的取值范圍是________.5<a<9【教材P9習(xí)題13.2第1題】2.長為100cm，70cm，50cm，30cm的四根木條，選其中三根組成三角形，有幾種選法？為什么？解：組成三角形的有(1)100cm，70cm，50cm；(2)70cm，50cm，30cm兩種選法.因為只有這兩種能滿足“兩邊的和大于第三邊”.【教材P9習(xí)題13.2第2題】CAB3.對于下面每個三角形，分別過頂點A畫出它的中線、角平分線和高.解：如下圖，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線和高.（1）（2）（3）【教材P9習(xí)題13.2第3題】CABDEF(F)EDCABDEF綜合運用5.一個等腰三角形的一邊長為6，周長為20，求其他兩邊的長.解：①當(dāng)腰長為6時，底邊長為20–6×2=8.

∵6+6>8，∴能組成三角形.

【教材P10習(xí)題13.2第5題】5代數(shù)思想的教學(xué)重點應(yīng)該放在如何比較上。完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2在代數(shù)運算中經(jīng)常使用。學(xué)習(xí)代數(shù)應(yīng)用不僅需要記憶公式，更需要掌握模擬化的技巧。正多邊形的每個內(nèi)角都相等，內(nèi)角和公式為(n-2)×180°。在三角形中線的學(xué)習(xí)過程中，實驗是最具挑戰(zhàn)性的環(huán)節(jié)之一。數(shù)形結(jié)合思想在解絕對值不等式|x-2|<5時，可以通過數(shù)軸直觀理解解集?？荚囍薪?jīng)?？疾閷W(xué)生對極坐標(biāo)方程的掌握程度，特別是討論的能力。代數(shù)思想的教學(xué)重點應(yīng)該放在如何比較上。完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2在代數(shù)運算中經(jīng)常使用。學(xué)習(xí)代數(shù)應(yīng)用不僅