22.2.4一元二次方程根的判別式b2-4ac叫做一元二次方程根的判別式,通常用符號(hào)“Δ”來(lái)表示,用它可以直接判斷一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實(shí)數(shù)根的情況:當(dāng)Δ

0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ

0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;當(dāng)Δ

0時(shí),方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.>=<用判別式判斷一元二次方程根的情況(1)(2025·重慶巴蜀)一元二次方程2x2-3x+1=0的根的情況是(

)A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B.沒(méi)有實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.無(wú)法確定

AD(3)關(guān)于x的一元二次方程x2-(m+1)x+3m-6=0的根的情況是(

)A.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)實(shí)數(shù)根D.沒(méi)有實(shí)數(shù)根[知識(shí)總結(jié)]當(dāng)a、c的符號(hào)相反時(shí),該方程一定有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.C1.一元二次方程2x2-5x+6=0的根的情況為(

)A.無(wú)實(shí)數(shù)根B.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D.不能確定2.關(guān)于x的一元二次方程x2-(m-1)x+(m-3)=0.求證:無(wú)論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.證明:Δ=[-(m-1)]2-4×1×(m-3)=m2-2m+1-4m+12=m2-6m+9+4=(m-3)2+4>0,∴無(wú)論m取何值,方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.A根據(jù)根的情況確定字母的值或取值范圍(1)(2025·重慶大渡口區(qū))若關(guān)于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則m的取值范圍是(

)A.m>2 B.m<2C.1<m<2 D.m<2且m≠1

DC已知關(guān)于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求a的取值范圍;

(2)當(dāng)a取最大整數(shù)值時(shí),△ABC的三條邊長(zhǎng)均滿(mǎn)足關(guān)于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0,求△ABC的周長(zhǎng).(2)由(1),得a的最大整數(shù)值為4,∴x2-4x+3=0,解得x1=1,x2=3.∵△ABC的三條邊長(zhǎng)均滿(mǎn)足關(guān)于x的一元二次方程(a-3)x2-4x+3=0,∴①三邊都為1,則△ABC的周長(zhǎng)為3;②三邊都為3,則△ABC的周長(zhǎng)為9;③三邊分別為1、1、3,∵1+1<3,∴不能構(gòu)成三角形;④三邊分別為1、3、3,則△ABC的周長(zhǎng)為7.故△ABC的周長(zhǎng)為3或7或9.[知識(shí)總結(jié)]對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),由b2-4ac的值的正負(fù),可直接判斷方程根的情況,反過(guò)來(lái),根據(jù)方程根的情況,可以確定根的判別式的取值情況.根據(jù)一元二次方程根的情況求待定字母的值或范圍需注意一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不為零.

4.已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,其中a、b、c分別為△ABC三邊的長(zhǎng),則△ABC是

三角形.D直角根的判別式的綜合運(yùn)用(1)若一元二次方程x2-2x-m=0無(wú)實(shí)數(shù)根,則一次函數(shù)y=(m+1)x+m-1的