專題15利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根一、單選題1．已知函數(shù)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】對原函數(shù)求導(dǎo)得，，因為函數(shù)有兩個極值點，所以有兩個不等實根，即有兩個不等實根，亦即有兩個不等實根.令，則可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又因為當時，，當時，，所以，解得，即a的范圍是.故選：B2．若方程有三個不同的實數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C． D．【解析】設(shè)，，令，解得或，則，隨的變化如下表單調(diào)遞增極大值4單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增則當時，函數(shù)有極大值；當時，函數(shù)有極小值，又當時，，當，，所以當時，有三個不同的實數(shù)根，此時，故選：.3．若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意得，設(shè)，.當時，，為增函數(shù)；當時，，為減函數(shù),且.所以有最大值，簡圖如下，由圖可知，時符合題意.故選：C.4．設(shè)函數(shù)，若方程有個不同的實根，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】令；方程有個不同的實根等價于與有個不同的交點；當時，，則當時，；當時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，；則可得圖象如下圖所示，由圖象可知：當時，與有個不同的交點；綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.故選：A.5．若關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】依題意關(guān)于x的方程在區(qū)間內(nèi)恰有兩個相異的實根，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間遞減；在區(qū)間遞增.，，，所以.故選：D6．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有且僅有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是(

)A． B． C． D．【解析】因為，所以，當，；當，，所以在和單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且當時，，，故的大致圖象如圖所示：關(guān)于的方程等價于，即或，由圖知，方程有且僅有一解，則有兩解，所以，解得，故選:C.7．已知曲線與曲線有且只有兩個公共點，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】根據(jù)題意，可得函數(shù)的定義域為：方程有兩個實數(shù)解，，即得，方程有兩個實數(shù)解，此時令，則直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，令，則有，或，；,在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減,（1）,當時，；當時，若使直線與有兩個交點，則需使.故選：D．8．若方程在區(qū)間內(nèi)有個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【解析】由，得，因為當時，函數(shù)，，所以在區(qū)間內(nèi)，單調(diào)遞減﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐而函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.所以，若方程有兩個不等實根，則只需即可，即，解得.故選：D9．已知關(guān)于x的方程在上有兩解，則實數(shù)k的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由的方程，則，，設(shè)，，則，令，，則，即在上為增函數(shù)，，，當時，，，當時，，，關(guān)于的方程在，上有兩解，，又，即，故選：B10．已知函數(shù)若方程恰有3個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【解析】由題，當時，令，根據(jù)一次函數(shù)性質(zhì)可得，此時有一個根，，此時無根；當時，令，求導(dǎo)，令，當時，在上單調(diào)遞增，故無零點，不滿足題意；當時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，由題，函數(shù)恰有3個零點，則說明在當時，有1個零點，在時有兩個零點，故可知且，所以，解得；綜上可得，故選：B二、多選題11．若關(guān)于的方程有兩個實數(shù)根，則的取值可以是（

）A． B． C． D．【解析】，相當于用和這兩條水平的直線去截函數(shù)的圖像一共要有兩個交點.，所以當時，；當時，；所以函數(shù)的增區(qū)間為減區(qū)間為.且當取時，，當取時，，.所以函數(shù)圖象如圖所示，當時，，和和函數(shù)的圖象各有一個交點，共有兩個交點，滿足題意；當時，，和和函數(shù)的圖象各有一個交點，共有兩個交點，滿足題意；當時，，和和函數(shù)的圖象各有兩個交點，共有四個交點，不滿足題意；當時，，和和函數(shù)的圖象各有兩個交點和零個交點，共有兩個交點，滿足題意.故選：ABD12．已知函數(shù)，（是自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程恰有兩個不等實根?，且，則的可能取值是（

）A． B． C． D．【解析】方程等價于：和共有兩個不同的實數(shù)根?，且，故且為方程的根，為的根.故，故，因為，故即，故，故，設(shè)，，則，當時，；當時，；故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故在的值域為，因為，，.故選：CD.13．已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且，若，方程有且只有一個根，則a的取值可能是（

）A．e B．1 C． D．【解析】由，得，，∴，∴，則，則，∴，方程，即，時方程顯然無解；時，對于任意，函數(shù)與有一個交點，滿足題意；時，則，令，則．當時，，當時，，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又當時，，當時，．∴在時的圖象如圖：由圖可知，時，方程有一根，綜上，的取值范圍為，故選：ACD．14．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有3個不同的實數(shù)根，則t的取值可以為（

）．A． B． C． D．3【解析】當時，，單調(diào)遞減，當時，，，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在時，取得最小值，，畫出的圖象，令，則方程為，要想方程有3個不同的實數(shù)根，結(jié)合的圖象可知需要滿足：有兩個不同的實數(shù)根，，滿足：且或滿足：且.令，則，即，當時，另外一個根為，不符合且；當且時，必須，所以.綜上，．故選：AB．三、填空題15．若方程x－m＝ex在區(qū)間[0，1]有且只有一解，則實數(shù)m的取值范圍是_______.【解析】已知方程化為，設(shè)，，則，在上單調(diào)遞減，，，所以．16．若曲線與僅有1個公共點，則的取值范圍是___________.【解析】由題意可得:只有一個解,即只有一個解.令,，原問題等價于與只有一個交點.因為，因為在上單調(diào)遞減,且在處的值為0,所以當時,單調(diào)遞增,當時,單調(diào)遞減且恒為正,所以,又因為與只有一個交點,所以.17．若函數(shù)在上有兩個極值點，則實數(shù)m的取值范圍是________.【解析】，由在上有兩個極值點知，在上有兩個不等的根，即在上有兩個不等的根.令，，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當時，又，所以，即時，在上有兩個不等的根，即函數(shù)在上有兩個極值點.故答案為：18．已知關(guān)于的方程有三個實數(shù)根，則的取值范圍是______【解析】方程即方程，令，則，令，則，當時，，當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，因為關(guān)于的方程有三個實數(shù)根，即函數(shù)有3個零點，則，所以，因為時，，當時，，所以函數(shù)有兩個零點，不妨設(shè)，則，當或時，，當時，，所以函數(shù)在和上遞增，在上遞減，又因時，，當時，，，，所以函數(shù)有3個零點，即關(guān)于的方程有三個實數(shù)根，所以的取值范圍是.四、解答題19．已知函數(shù)(1)若，求的增區(qū)間；(2)若，且函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍；(3)若且關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【解析】(1)的定義域是，時，，令，得，∴函數(shù)的增區(qū)間是.(2)，由函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，知在上有解區(qū)間，∴，即，而，當且僅當時取等號，∴，（當時，不等式只有唯一的解，不符題意舍去），又，∴的取值范圍是．(3)時，，則即為，令，則，當時，，遞減；當時，，遞增.∴，又，，，∴，即實數(shù)的取值范圍是．20．已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）若方程有兩個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍.【解析】（1）的定義域是，，可得，x-20減函數(shù)極小值增函數(shù)所以的單增區(qū)間是，單減區(qū)間是當時，取得極小值，無極大值.（2）由（1）以及當，，，，，因為方程有兩個不同的解，所以a的取值范圍為.21．已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若方程＝0有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）∵，所以∴當時，，當時，；即的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由得，將此方程的根看作函數(shù)與的圖象交點的橫坐標，由（1）知函數(shù)在時有極大值，作出其大致圖象，∴實數(shù)的取值范圍是.22．已知函數(shù)圖象上點處的切線方程為.（1）求函數(shù)的解析式;（2）函數(shù)，若方程在上恰有兩解,求實數(shù)的取值范圍【解析】（1）由題意可知（）∵函數(shù)圖象上點處的切線方程為∴，∴，∴，∴；（2）函數(shù)（），則（），∴當時，；當時，；∴函數(shù)在上單調(diào)增，在上單調(diào)減，∵方程在上恰有兩解，∴，∴，解得.23．已知函數(shù)，其中．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若有且僅有兩個不相等實根，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)的定義域為，，當時，恒成立，所以在上遞增；當時，在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.(2)依題意有且僅有兩個不相等實根，即有兩個不相等的實根，，構(gòu)造函數(shù)，，所以在區(qū)間遞增；在區(qū)間遞減.所以.，當時，，，，所以的取值范圍是.24．已知函數(shù)，函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當時，若與的圖象在區(qū)間上有兩個不同的交點，求k的取值范圍．【解析】(1)由題意可得的定義域為，且．①當時，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．②當時，由，得；由，得．故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．綜上，當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．(2)當時，令，得，即，則與的圖象在上有兩個不同的交點，等價于在上有兩個不同的實根．設(shè)，則．由，得；由，得．函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故．因為，，且，所以要使在上有兩個不同的實根，則，即k的取值范圍為．25．已知函數(shù)，．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若方程在上有實根，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)，時，，在R上單調(diào)遞減；時，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減；綜上，時，在R上單調(diào)遞減；a＞0時，f(x)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.(2)，令，則，∴g(x)在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，∴.26．已知函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求實數(shù)的值；（2）若關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，即有在處的切線的斜率為，由切線與直線平行，即有，解得；（2）關(guān)于的方程在上恰有兩個不相等的實數(shù)根，即有在上恰有兩個不相等的實數(shù)根.令，，當時，，遞減，當時，，遞增.即有處取得最小值，且為，又，，，∴，解得.27．已知函數(shù)(1)求曲線在點處的切線方程；(2)求的單調(diào)區(qū)間；(3)若方程在上有兩個相異實根，求實數(shù)a的取值范圍．【解析】(1)因為函數(shù)，所以，.又因為，則切點坐標為，所以曲線在點處的切線方程為.(2)函數(shù)定義域為，由（1）可知，.令解得.與在區(qū)間上的情況如下：－0＋↘極小值↗所以，的單調(diào)遞增區(qū)間是；的單調(diào)遞減區(qū)間是.(3)方程在上有兩個相異實根,即方程在上有兩個相異實根，即在上有兩個相異實根，令，則，當時，，當時，，所以在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，，，所以，要使在上有兩個相異實根，須，所以實數(shù)的取值范圍為.28．已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)設(shè)，若有且僅有兩個實根，證明：．【解析】(1)的定義域為．，令，即，解得，當時，；當時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是在的唯一最小值點．所以．(2)，定義域為，因為．所以在單調(diào)遞增，又，，故存在，使得．所以當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增．因為有且僅有兩個實根，所以，又，，且所以，故．又又在單調(diào)遞減，故是在的唯一根，故．所以．29．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若方程的根為、，且，求證：．【解析】(1)因為，，所以定義域為，，所以在上單調(diào)遞減，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間；(2)證明：，，當時，當時所以在上是單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，當時，，所以，且，當時，，所以，即，設(shè)直線與的交點的橫坐標為，則，下面證明當時，，設(shè)，，則，當時，，當時，，所以在上是減函數(shù)，在