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【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)第28講等差數(shù)列(精講)題型目錄一覽①等差數(shù)列基本量的計算②等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用③等差數(shù)列的前n項和④等差數(shù)列中中與的關(guān)系⑤等差數(shù)列的判定與證明一、知識點梳理一、知識點梳理一、等差數(shù)列的有關(guān)概念1.等差數(shù)列的定義一般地,如果一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母表示,定義表達(dá)式為(常數(shù)).2.等差中項的概念若三個數(shù),,成等差數(shù)列,則叫做與的等差中項,且有.二、等差數(shù)列的有關(guān)公式1.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列的首項為,公差為,那么它的通項公式是.2.等差數(shù)列的前項和公式設(shè)等差數(shù)列的公差為,其前項和.三、等差數(shù)列的常用性質(zhì)已知為等差數(shù)列,為公差,為該數(shù)列的前項和.1.通項公式的推廣:.2.在等差數(shù)列中,當(dāng)時,.3.,…仍是等差數(shù)列,公差為.4.,…也成等差數(shù)列,公差為.5.若,是等差數(shù)列,則也是等差數(shù)列.四、等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系.?dāng)?shù)列是等差數(shù)列?(為常數(shù)).【常用結(jié)論】1.等差數(shù)列中,若,則.2.等差數(shù)列中,若,則.3.等差數(shù)列中,若,則.4.若與為等差數(shù)列,且前項和為與,則.二、題型分類精講二、題型分類精講題型一等差數(shù)列基本量的計算策略方法解決等差數(shù)列運算問題的思想方法(1)方程思想:等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d,通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解,等差數(shù)列中包含a1,d,n,an,Sn五個量,可“知三求二”.(2)整體思想:當(dāng)所給條件只有一個時,可將已知和所求都用a1,d表示,尋求兩者間的聯(lián)系,整體代換即可求解.(3)利用性質(zhì):運用等差數(shù)列性質(zhì)可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程.【典例1】在等差數(shù)列中,,,則201是數(shù)列的第幾項(
)A.59 B.60 C.61 D.62【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出公差,從而求出通項公式,再根據(jù),構(gòu)造關(guān)于的方程,解方程即可.【詳解】等差數(shù)列中,,,設(shè)公差為,∴,解得;∴通項公式為,當(dāng)時,.故選:C.【典例2】在等差數(shù)列中,,,則的值為(
)A.2 B.6 C.8 D.12【答案】B【分析】根據(jù)給定條件,利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差即可求解作答.【詳解】在等差數(shù)列中,,則數(shù)列的公差,所以.故選:B【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)??寄M預(yù)測)已知為等差數(shù)列,,則(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【分析】利用基本量法可求公差和首項,從而可求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,故,故,故選:A.2.(2023·江西贛州·統(tǒng)考二模)等差數(shù)列滿足,,則(
)A.5 B.7 C.9 D.11【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)運算求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d,因為,解得,所以.故選:B.3.(2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)??寄M預(yù)測)在等差數(shù)列中,,,則=(
)A.9 B.11 C.13 D.15【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的基本量計算可得答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,則故選:C4.(2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)為等差數(shù)列,若,則公差(
)A.-2 B.-1 C.1 D.2【答案】D【分析】由等差數(shù)列的基本量法列方程組求解.【詳解】由題意得解得,故選:D.5.(2023·四川涼山·三模)在等差數(shù)列中,,,則(
).A.3 B.5 C.7 D.9【答案】C【分析】由等差中項性質(zhì)得,利用等差數(shù)列通項公式求基本量公差,進(jìn)而寫出通項公式,即可得.【詳解】由題設(shè),則,而,若等差數(shù)列公差為,則,所以,通項公式為,故.故選:C6.(2023·西藏日喀則·統(tǒng)考一模)中國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題:“今有七人差等均錢,甲乙均五十八文,戊己庚均六十文,問乙丁各若干?”,意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人,所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列,甲、乙兩人共分到58文,戊、己、庚三人共分到60文,問乙、丁兩人各分到多少文錢?則下列說法正確的是()A.乙分到28文,丁分到24文 B.乙分到30文,丁分到26文C.乙分到24文,丁分到28文 D.乙分到26文,丁分到30文【答案】A【分析】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為,,,,,,,再根據(jù)題意列方程組可解得結(jié)果.【詳解】依題意,設(shè)甲、乙、丙、丁、戊、己、庚所分錢數(shù)分別為,,,,,,,則,解得,所以乙分得(文),丁分得(文),故選:A.7.(2023·全國·高三專題練習(xí))等差數(shù)列滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為,根據(jù)已知條件可求得的值,進(jìn)而可求得的值.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,所以,,故.故選:D.8.(2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列滿足,則的前20項和(
)A.200 B.300 C.210 D.320【答案】C【分析】設(shè),,則,解方程即可求出,再由等差數(shù)列的前項和即可得出答案.【詳解】因為數(shù)列為等差數(shù)列,設(shè),所以,所以.因為,所以所以則,所以.故選:C.二、填空題9.(2023·甘肅白銀·甘肅省靖遠(yuǎn)縣第一中學(xué)校聯(lián)考二模)在等差數(shù)列中,,,則的公差是.【答案】-3【分析】設(shè)的公差為d,由等差數(shù)列的通項公式可得答案.【詳解】設(shè)的公差為d,,則.故答案為:.10.(2023·全國·模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列的公差為,且滿足,,則數(shù)列的通項公式.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列得通項求出首項和公差,再根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得解.【詳解】由,,得,由解得,所以.故答案為:.11.(2023春·上海寶山·高三上海交大附中??计谥校┑炔顢?shù)列中,,則的值是.【答案】【分析】先由等差數(shù)列的通項公式化簡得到,再由等差數(shù)列的通項公式把化為即可求出答案.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則,所以.所以.故答案為:12.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列中,,若,則.【答案】【分析】根據(jù)下標(biāo)和性質(zhì)求出、,即可求出公差,再根據(jù)計算可得.【詳解】因為,又,所以,又,,所以,所以公差,所以,即,解得.故答案為:13.(2023·上海普陀·上海市宜川中學(xué)??寄M預(yù)測)已知數(shù)列滿足:,若為等差數(shù)列,則通項公式為.【答案】【分析】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,由求出和,即可寫出通項公式.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則,所以,解得,所以,故答案為:.14.(2023·湖北襄陽·襄陽四中??寄M預(yù)測)已知等差數(shù)列中,,若在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù),使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列,則新數(shù)列的第43項為.【答案】【分析】先計算出等差數(shù)列的公差,進(jìn)而得到新的等差數(shù)列的公差,從而求出的通項公式,求出新數(shù)列的第項.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,則,所以,設(shè)在數(shù)列每相鄰兩項之間插入三個數(shù)所得新數(shù)列為,則新的等差數(shù)列的公差為,首項為,所以新數(shù)列的通項公式為,故.故答案為:.題型二等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用策略方法利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題的兩個關(guān)注點(1)兩項和的轉(zhuǎn)換是最常用的性質(zhì),利用2am=am-n+am+n可實現(xiàn)項的合并與拆分,在Sn=eq\f(na1+an,2)中,Sn與a1+an可相互轉(zhuǎn)化.(2)利用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差數(shù)列,可求S2m或S3m.【典例1】已知等差數(shù)列中,,則(
)A.30 B.40 C.50 D.45【答案】D【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】由得,所以,故選:D【典例2】已知和的等差中項是,和的等差中項是,則和的等差中項是A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)等差中項的概念,列方程,求的m+n=12,再根據(jù)等差中項的定義,可知m和n的等差中項為6.【詳解】:∵m和2n的等差中項是8,2m和n的等差中項是10,由等差中項的概念得:m+2n=16①,2m+n=20
②①+②得:3m+3n=36,即m+n=12.∴m和n的等差中項為6.故選:C【點睛】本題考查了等差中項的概念,是基礎(chǔ)題.【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列是等差數(shù)列,若,則等于(
)A.7 B.14 C.21 D.7(n-1)【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算.【詳解】因為,所以.故選:B2.(2023·全國·高三專題練習(xí))如果等差數(shù)列中,,那么(
)A.14 B.12 C.28 D.36【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算.【詳解】∵,∴,則,又,故.故選:C.3.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列中,,則(
)A.30 B.15 C.5 D.10【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)計算.【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列,,所以∴.故選:B4.(2023·青海西寧·統(tǒng)考二模)已知,均為等差數(shù)列,且,,,則數(shù)列的前5項和為(
)A.35 B.40 C.45 D.50【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的等差中項性質(zhì)解決即可.【詳解】由題知,均為等差數(shù)列,且,,,所以,得,所以數(shù)列的前5項和為.故選:B5.(2023·全國·高三專題練習(xí))現(xiàn)有茶壺九只,容積從小到大成等差數(shù)列,最小的三只茶壺容積之和為0.5升,最大的三只茶壺容積之和為2.5升,則從小到大第5只茶壺的容積為(
)A.0.25升 B.0.5升 C.1升 D.1.5升【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)九只茶壺按容積從小到大依次記為,由題意可得,所以,故選:B6.(2023·陜西榆林·統(tǒng)考三模)一個等差數(shù)列的前3項之和為12,第4項為0,則第6項為(
)A. B. C.1 D.2【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),求得,再結(jié)合,即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前3項之和為12,可得,所以,又由第4項為0,即,因為第2項、第4項、第6項依次成等差數(shù)列,即,所以.故選:B.7.(2023春·江西鷹潭·高三貴溪市實驗中學(xué)??茧A段練習(xí))數(shù)列是等差數(shù)列,若,,則(
)A. B.4 C. D.【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到,得到答案.【詳解】,故.故選:C8.(2023·全國·高三專題練習(xí))從冬至日起,小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列,冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為尺,前九個節(jié)氣日影長度之和為尺,則谷雨這一天的日影長度為(
)A.尺 B.尺 C.尺 D.尺【答案】A【分析】根據(jù)題意,分別設(shè)十二個節(jié)氣為,再運用等差中項求解.【詳解】設(shè)冬至,小寒,大寒,立春,雨水,驚蟄,春分,清明,谷雨,立夏,小滿,芒種這十二個節(jié)氣為:,且其公差為,依題意有:,,,公差,則,所以谷雨這一天的日影長度為尺,故選:A9.(2023·全國·高三專題練習(xí))“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的(
).A.充分不必要條件 B.充要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【分析】舉特例結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì),即可得出答案.【詳解】設(shè),則,,,所以,但數(shù)列不是等差數(shù)列;若數(shù)列為等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知,成立.所以,“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選:C.10.(2023·全國·高三專題練習(xí))公差不為零的等差數(shù)列中,,則下列各式一定成立的是(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列通項求出,再利用基本不等式即可求出,對于CD選項,利用特殊值法反駁即可.【詳解】因為,所以,因為公差不為零,,所以,B正確,A錯誤,取,則,此時,C,D均不正確,故選:B.二、填空題11.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列,,=【答案】e【分析】由等差中項的性質(zhì)計算即可.【詳解】由等差數(shù)列性質(zhì)可知:,又,故.故答案為:e12.(2023春·甘肅天水·高三??奸_學(xué)考試)已知等差數(shù)列,,.【答案】1【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)求解.【詳解】是等差數(shù)列,∴,.故答案為:1.13.(2023·全國·高三專題練習(xí))在等差數(shù)列中,,,則.【答案】74【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)列式計算即可.【詳解】因為,所以由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,所以,故答案為:7414.(2023·全國·高三專題練習(xí))在等差數(shù)列中,是方程的根,則=.【答案】3【分析】先利用韋達(dá)定理,再利用等差數(shù)列的性質(zhì),即可得到結(jié)論.【詳解】由是方程的根得=3.又?jǐn)?shù)列為等差數(shù)列,∴==3.故答案為:315.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,且,則.【答案】21【分析】根據(jù)題中條件,判斷數(shù)列為等差數(shù)列,再計算基本量即可得出結(jié)果.【詳解】由知,數(shù)列是等差數(shù)列,∴成等差數(shù)列.∴,∴.故答案為:21.題型三等差數(shù)列的前n項和策略方法在等差數(shù)列中,,…仍成等差數(shù)列;也成等差數(shù)列.【典例1】設(shè)是等差數(shù)列的前項和,已知,,則(
)A.16 B.18 C.20 D.22【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)該等差數(shù)列的公差為,因為是等差數(shù)列的前項和,所以由,,可得,所以,故選:B【典例2】已知為等差數(shù)列的前項和,,則的值為(
)A.4 B.7 C.8 D.9【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列求和公式及下標(biāo)和性質(zhì)計算可得.【詳解】因為,解得.故選:A【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·江西贛州·統(tǒng)考二模)已知等差數(shù)列中,是其前項和,若,,則(
)A.7 B.10 C.11 D.13【答案】C【分析】設(shè)出公差,列出方程組,求出公差和首項,得到答案.【詳解】設(shè)公差為,則,,解得,故.故選:C2.(2023·全國·高三專題練習(xí))一百零八塔,位于寧夏吳忠青銅峽市,是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群,是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一,塔的排列順序自上而下,第一層1座,第二層3座,第三層3座,第四層5座,第五層5座,從第五層開始,每一層塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5,公差為2的等差數(shù)列,總計一百零八座,則該塔共有(
)A.八層 B.十層 C.十一層 D.十二層【答案】D【分析】設(shè)該塔共有層,根據(jù)等差數(shù)列的求和公式計算即可.【詳解】設(shè)該塔共有層,則,即,解得或(舍),即該塔共有層.故選:D3.(2023·江西新余·統(tǒng)考二模)記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和,若,,則數(shù)列的公差為(
)A. B. C.2 D.4【答案】A【分析】由等差數(shù)列和等差數(shù)列的前項和公式代入求解即可得出答案.【詳解】由可得:①,由可得:②,由①②可得:或(舍去).故選:A.4.(2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)??级#┠纤螖?shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀,后人稱為“三角垛”,“三角垛”的最上層有1個球,第二層有3個球,第三層有6個球,······,則第十層有(
)個球.
A.12 B.20 C.55 D.110【答案】C【分析】把每一層的球數(shù)看成數(shù)列的項,即可得一個數(shù)列,根據(jù)規(guī)律即可求解.【詳解】由題意知:,,,,所以.故選:C5.(2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)??寄M預(yù)測)《數(shù)書九章》有這樣一個問題:有5位士兵按從低到高站成一排(從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊),身高依次成等差數(shù)列,已知乙士兵的身高為5尺1寸,這五位士兵身高之和為26尺(1尺為10寸),則丁士兵的身高為(
)A.5尺2寸 B.5尺3寸 C.5尺4寸 D.5尺5寸【答案】B【分析】依題意列方程組求出等差數(shù)列的首項和公差即可求解.【詳解】設(shè)甲、乙、丙、丁、戊這5位士兵身高依次所成等差數(shù)列為,公差為,則,解得丁的身高為,故選:B.6.(2023·全國·高三專題練習(xí))記為等差數(shù)列的前項和.若,則(
)A.25 B.22 C.20 D.15【答案】C【分析】方法一:根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項,再根據(jù)前項和公式即可解出;方法二:根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差,再根據(jù)前項和公式的性質(zhì)即可解出.【詳解】方法一:設(shè)等差數(shù)列的公差為,首項為,依題意可得,,即,又,解得:,所以.故選:C.方法二:,,所以,,從而,于是,所以.故選:C.7.(2023·陜西安康·統(tǒng)考三模)已知等差數(shù)列的前項和為,,則()A.6 B.12 C.18 D.24【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì),求得,結(jié)合等差數(shù)列的求和公式,即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì),可得,所以.故選:B.8.(2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)??紝n}練習(xí))在等差數(shù)列{an}中,a3+2a5+a9=10,則數(shù)列{an}前10項的和為(
)A.20 B.24 C.25 D.28【答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出首項和公差的關(guān)系,最后根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,由得,數(shù)列前10項的和.故選:C.9.(2023·全國·高三專題練習(xí))在項數(shù)為的等差數(shù)列中,其前項的和為,最后項的和為,所有項的和為,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用等差數(shù)列的基本性質(zhì)求出的值,利用等差數(shù)列的求和公式可得出關(guān)于的等式,解之即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的前項和為,則,由等差數(shù)列的性質(zhì)可得,所以,,所以,,解得.故選:B.10.(2023·廣東東莞·校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和.若,則的最小值為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由等差數(shù)列的求和公式和等差中項公式,求得且,化簡,結(jié)合基本不等式,即可求解.【詳解】由等差數(shù)列的前項和公式,可得,可得,又由且,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時,即時,等號成立,所以的最小值為.故選:D.11.(2023·陜西咸陽·統(tǒng)考三模)已知等差數(shù)列,的前n項和分別為,,若,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項求和公式可得,由題意可得,令,計算即可求解.【詳解】,又,,所以,又,所以.故選:A.12.(2023·全國·高三專題練習(xí))若兩個等差數(shù)列,的前n項和滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列得性質(zhì)和前項和公式計算即可.【詳解】由,得.故選:B.二、多選題13.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知等差數(shù)列的前n項和為,若,則(
)A. B.C. D.【答案】ABC【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項和公式和通項的性質(zhì),推出,結(jié)合選項可得答案.【詳解】因為是等差數(shù)列,所以.根據(jù)題意,又,所以,從而,,故選項A,B正確;又,即,故選項C正確;對于選項D,,根據(jù)題意無法判斷是否為零,故選項D錯誤.故選:ABC14.(2023·遼寧·校聯(lián)考一模)設(shè)等差數(shù)列的前項和是,若,則(
)A. B. C. D.【答案】BC【分析】設(shè)等差數(shù)列公差為d,由題目條件,可得,由此可得各選項正誤.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d,則由題目條件有:.A選項,,故A錯誤;B選項,,故B正確;C選項,,故C正確;D選項,注意到,,又由知為單調(diào)遞減數(shù)列,則,故D錯誤.故選:BC.三、填空題15.(2023春·陜西安康·高三陜西省安康中學(xué)??茧A段練習(xí))已知等差數(shù)列的前n項和為,,,則公差為.【答案】【分析】根據(jù)等差數(shù)列公式求解.【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為d,則解得;故答案為:-3.16.(2023·安徽六安·六安一中??寄M預(yù)測)記等差數(shù)列的前n項和為,若,則數(shù)列的公差.【答案】9【分析】將和拆分為和,解方程即可得出答案.【詳解】因為,所以,所以,解得,故答案為:.17.(2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)校考模擬預(yù)測)若等差數(shù)列前項和為,且,,數(shù)列的前10項的和為.【答案】【分析】由題意可得,解方程求出,即可求出,再由等差數(shù)列的前項和公式求解即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,則,解得,故,所以,所以數(shù)列的前10項的和為.故答案為:.18.(2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列的前n項和為,且,則.【答案】70【分析】設(shè)公差為d,化簡已知得,再利用等差數(shù)列的求和公式計算即得解.【詳解】設(shè)公差為d,因為是等差數(shù)列,所以,化簡得,即,所以.故答案為:7019.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知和均為等差數(shù)列,,,,則數(shù)列的前60項的和為.【答案】7260【分析】確定是等差數(shù)列,計算首項和公差,求和得到答案.【詳解】和均為等差數(shù)列,則是等差數(shù)列,首項為,公差為,故前60項的和為.故答案為:20.(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,,,則.【答案】4【分析】先利用關(guān)系式,求出公差,進(jìn)而用通項公式和求和公式得到方程組,求出.【詳解】由題意得:,,則等差數(shù)列的公差,則,,解得:或(舍去).故答案為:421.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知兩個等差數(shù)列和的前n項和分別為,,且,則.【答案】【分析】由與的比值可求得等差數(shù)列和的首項及公差,進(jìn)而可求得,,求出其比值即可.【詳解】解:設(shè)等差數(shù)列的首項為,公差為,等差數(shù)列的首項為,公差為,則,故又已知不妨令且解得且故故答案為:.題型四等差數(shù)列中與的關(guān)系策略方法等差數(shù)列中與的關(guān)系數(shù)列的前項和和通項的關(guān)系:則【典例1】已知數(shù)列的前n項和為,滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系,分與兩種情況分別求解即可.【詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,,且當(dāng)時也滿足.故.故選:D【典例2】已知數(shù)列的前項和,則A. B. C. D.【答案】C【分析】由數(shù)列的前項和公式求得,當(dāng)時,由求得,驗證后得答案.【詳解】,當(dāng)時,;當(dāng)時,.驗證時上式不成立,,故選C.【點睛】本題主要考查由數(shù)列的前項和求數(shù)列的通項公式,是中檔題.已知數(shù)列前項和,求數(shù)列通項公式,常用公式,將所給條件化為關(guān)于前項和的遞推關(guān)系或是關(guān)于第項的遞推關(guān)系,若滿足等比數(shù)列或等差數(shù)列定義,用等比數(shù)列或等差數(shù)列通項公式求出數(shù)列的通項公式,否則適當(dāng)變形構(gòu)造等比或等數(shù)列求通項公式.在利用與通項的關(guān)系求的過程中,一定要注意的情況.【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前n項和為,滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)通項與前n項和的關(guān)系,分與兩種情況分別求解即可.【詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,,且當(dāng)時也滿足.故.故選:D2.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前n項和,若,則(
)A.5 B.6 C.7 D.8【答案】A【分析】由與的關(guān)系先求出,再結(jié)合已知條件可求出答案.【詳解】由,得也適合,又由得,又,∴,故選:A.3.(2023·河南開封·統(tǒng)考一模)已知數(shù)列的前項和,若,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】利用與的關(guān)系可求得的通項公式,進(jìn)而可求得的值.【詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,.也滿足,故對任意的,,因此,.故選:B.4.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知為數(shù)列的前項和,且滿足,則(
)A.27 B.28 C.29 D.30【答案】B【分析】首先根據(jù)前n項和,求出,然后即可求出結(jié)果.【詳解】因為,當(dāng)時,,當(dāng)時,經(jīng)檢驗,當(dāng)時不符合,所以.故選:B.5.(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)為數(shù)列的前項和.若,則“”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】用定義法,分充分性和必要性分別進(jìn)行討論.【詳解】因為為數(shù)列的前項和,且,所以當(dāng)時,;當(dāng)時,;所以充分性:當(dāng)時,.所以;;.滿足,所以充分性滿足;必要性:由可得:,,,符合,但是不能推出.所以必要性不滿足.故“”是“”的充分不必要條件.故選:A6.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知正項數(shù)列的前n項和為,且,則(
)A.4045 B.4042 C.4041 D.4040【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系,由的的遞推關(guān)系式,由時,確定首項,即可得,于是能求解的值.【詳解】解:∵
①,∴當(dāng)時,
②,①-②得,∵,∴,∴,∴當(dāng)時,,解得∴是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,則,于是有.故選:A.7.(2023·北京·高三專題練習(xí))在無窮正項等差數(shù)列中,公差為,則“是等差數(shù)列”是“存在,使得”的(
)A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【分析】可設(shè),利用可求得數(shù)列的通項公式,結(jié)合數(shù)列為等差數(shù)列可求得,求出關(guān)于的關(guān)系式,再利用充分條件和必要條件的定義判斷可得出合適的選項.【詳解】若是等差數(shù)列,設(shè),則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,因為數(shù)列為等差數(shù)列,則滿足,即,可得,故,且,所以,“”“存在,使得”,但“”“存在,使得”,因此,“是等差數(shù)列”是“存在,使得”的充分而不必要條件.故選:A.8.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前項和,則下列結(jié)論正確的是(
)A.?dāng)?shù)列是等差數(shù)列B.?dāng)?shù)列是遞增數(shù)列C.,,成等差數(shù)列D.,,成等差數(shù)列【答案】D【分析】由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列的通項公式,判斷選項A,B,分別計算出,,和,,,再由等差數(shù)列中項的性質(zhì)判斷選項C,D.【詳解】,∴時,時,.時,不滿足∴數(shù)列不是等差數(shù)列;,因此數(shù)列不是單調(diào)遞增數(shù)列;,因此,,不成等差數(shù)列...∴成等差數(shù)列.故選:D二、多選題9.(2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模)設(shè)無窮數(shù)列為正項等差數(shù)列且其前n項和為,若,則下列判斷正確的是(
)A. B. C. D.【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列為正項等差數(shù)列,且,利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得,再利用項與項,前n項和與通項的關(guān)系逐項判斷.【詳解】解:因為數(shù)列為正項等差數(shù)列,所以,所以,因為數(shù)列為正項等差數(shù)列,所以,所以,,,故選:ABD10.(2023·全國·高三專題練習(xí))等差數(shù)列與的前項和分別為與,且,則(
)A.當(dāng)時,B.C.D.【答案】AB【分析】當(dāng)時,根據(jù)可求出,進(jìn)而求得,可知A正確;利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即得,可判斷B;同理可判斷C;舉特例當(dāng)時,求出,可說明D的對錯.【詳解】對于等差數(shù)列與,當(dāng)時,,則,,則,也適合,故,故A正確;因為,所以,所以,即,故B正確;同理可得,故C錯誤;當(dāng)時,,則,則不存在,使得,故D錯,故選:AB三、填空題11.(2023·河南鄭州·模擬預(yù)測)已知等差數(shù)列的前n項和為,且,則.【答案】15【分析】利用求數(shù)列通項,進(jìn)而求.【詳解】由,,且滿足上式,所以.故答案為:12.(2023·全國·高三專題練習(xí))數(shù)列的前項和,則該數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】由可求得數(shù)列的通項公式.【詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,.不滿足.所以,.故答案為:.13.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前n項和為,且,則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】利用前項和和的關(guān)系求通項即可.【詳解】當(dāng)時,;當(dāng)時,由,可得,故有,當(dāng)時,不相符.故答案為:.14.(2023·全國·高三專題練習(xí))正項數(shù)列的前n項和滿足,則數(shù)列的通項公式為.【答案】【分析】,,兩式相減得到,當(dāng)時,解得,得到通項公式.【詳解】,,兩式相減得到,正項數(shù)列,故,得到,當(dāng)時,,解得或(舍去),故數(shù)列為首項為1公差為1的等差數(shù)列,故.故答案為:15.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列的前n項和為,且成等差數(shù)列,若,則使得,同時成立的k的值為.【答案】7【分析】先由與的關(guān)系推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列,再代入等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,列方程組求解k即可.【詳解】,即,又成等差數(shù)列,即,故數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列,則,解得,.故答案為:7題型五等差數(shù)列的判定與證明策略方法等差數(shù)列的判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法為同一常數(shù)?是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項法成立?是等差數(shù)列通項公式法為常數(shù))對任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前項和公式法驗證為常數(shù))對任意的正整數(shù)都成立?是等差數(shù)列【典例1】已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求證:數(shù)列是等差數(shù)列.【答案】(1)(2)見解析【分析】(1)由,即可求出數(shù)列的通項公式;(2)由等差數(shù)列的定義證明即可;【詳解】(1)當(dāng)時,,當(dāng)時,,令,滿足,所以.(2)由(1)知,,所以數(shù)列是以首項為,公差為等差數(shù)列.【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,且,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)題意和等差中項的性質(zhì)可知數(shù)列為等差數(shù)列,進(jìn)而可得,結(jié)合誘導(dǎo)公式計算即可.【詳解】由題意知,,由等差數(shù)列的等差中項,得數(shù)列為等差數(shù)列,又,所以,則,所以.故選:B2.(2023·全國·高三專題練習(xí))記數(shù)列的前項和為,則“”是“為等差數(shù)列”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【分析】利用等差數(shù)列前項和及性質(zhì),結(jié)合充分條件、必要條件的意義判斷作答.【詳解】等差數(shù)列的前項和為,則,數(shù)列的前項和為,取,顯然有,而,即數(shù)列不是等差數(shù)列,所以“”是“為等差數(shù)列”的必要不充分條件.故選:B3.(2023·江蘇無錫·輔仁高中校考模擬預(yù)測)已知數(shù)列各項為正數(shù),滿足,,則(
)A.是等差數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.是等差數(shù)列 D.是等比數(shù)列【答案】C【分析】分析可知數(shù)列的每一項都是正數(shù),由已知條件可得出,結(jié)合等差中項法判斷可得出結(jié)論.【詳解】因為數(shù)列各項為正數(shù),滿足,,故對任意的,,則,所以,數(shù)列的每一項都是正數(shù),所以,,可得,由等差中項法可知,數(shù)列是等差數(shù)列,故選:C.4.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列中,,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由數(shù)列的前項和求出通項,可得數(shù)列是等差數(shù)列,利用首項和公差求其前項和.【詳解】數(shù)列中,前項和,時,,時,,時,也滿足,∴,則有,∴數(shù)列中是首項為1公差為4的等差數(shù)列,則數(shù)列中是首項為1公差為8的等差數(shù)列,其前項和.故選:C5.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足,且,,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)等差中項定義可確定為等差數(shù)列,結(jié)合等差數(shù)列通項公式可推導(dǎo)得到,代入即可求得結(jié)果.【詳解】由得:,數(shù)列為等差數(shù)列,又,,數(shù)列的公差,,,.故選:C.6.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列滿足:,,.若,則(
)A.1 B.2 C.3 D.2022【答案】A【分析】令,則,再根據(jù)等差數(shù)列的定義即可得到,即可求出答案.【詳解】令,則故,為常數(shù),故數(shù)列是等差數(shù)列故選:A.7.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知數(shù)列中,,,若,則(
)A.8 B.9 C.10 D.11【答案】C【分析】根據(jù)給定條件,構(gòu)造新數(shù)列,求出通項公式即可計算作答.【詳解】依題意,,,而,因此,數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,,即,由,得,所以.故選:C8.(2023·全國·高三專題練習(xí))數(shù)列滿足(,),,其前n項和為,若,則(
)A.47 B.46 C.45 D.44【答案】C【分析】由題意可知數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,進(jìn)而可得,從而有,求解即可【詳解】數(shù)列滿足(,),即,,所以數(shù)列是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,所以,又,則,因為,又,且,所以,故選:C二、多選題9.(2023·全國·高三專題練習(xí))設(shè)數(shù)列的前項和為,則下列能判斷數(shù)列是等差數(shù)列的是(
)A. B. C. D..【答案】AB【分析】對各個選項,利用求出數(shù)列的通項,再借助通項判斷等差數(shù)列作答.【詳解】對于A,當(dāng)時,,而滿足上式,則,數(shù)列是常數(shù)數(shù)列,是等差數(shù)列,A是;對于B,當(dāng)時,,而滿足上式,則有,數(shù)列的通項是n的一次整式,是等差數(shù)列,B是;對于C,當(dāng)時,,而不滿足上式,則,顯然,數(shù)列不是等差數(shù)列,C不是;對于D,當(dāng)時,,而不滿足上式,則,顯然,數(shù)列的不是等差數(shù)列,D不是.故選:AB10.(2023·全國·模擬預(yù)測)設(shè)是數(shù)列的前項和.下面幾個條件中,能推出是等差數(shù)列的為(
)A.當(dāng)時, B.當(dāng)時,C.當(dāng)時, D.當(dāng)時,【答案】ABD【分析】由與的關(guān)系得出與的關(guān)系式即可判斷ABD,通過舉反例即可判斷出C.【詳解】對于A,當(dāng)時,且,兩式相減可得,即.所以是恒為0的數(shù)列,即是公差為0的等差數(shù)列,故A正確;對于B,當(dāng)時,且,兩式相減可得,即,所以,即是常數(shù)列,是公差為0的等差數(shù)列,故B正確;對于C,如果,令可得,當(dāng)時,且,兩式相減可得,如果,則,這并不能推出是等差數(shù)列,例如:考慮如下定義的數(shù)列:1,1,2,2,3,3,,則其通項公式可寫成,.則,.即數(shù)列1,1,2,2,3,3,滿足對任意正整數(shù)成立,但它并不是等差數(shù)列,故C錯誤;對于D,當(dāng)時,且,兩式相減
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