直線的方程學(xué)校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1.直線的傾斜角與斜率(1)直線的傾斜角一般地，給定平面直角坐標(biāo)系中的一條直線，如果這條直線與x軸相交，將x軸繞著它們的交點(diǎn)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為θ，則稱θ為這條直線的傾斜角；傾斜角的取值范圍是[0，π).(2)斜率公式①一般地，如果直線l的傾斜角為θ，則當(dāng)θ≠90°時，稱k＝tanθ為直線l的斜率；當(dāng)θ＝90°時，稱直線l的斜率不存在.②若A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點(diǎn)，則當(dāng)x1≠x2時，直線l的斜率為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1)；當(dāng)x1＝x2時，直線l的斜率不存在.2.直線的方向向量、法向量(1)直線的方向向量的定義一般地，如果表示非零向量a的有向線段所在的直線與直線l平行或重合，則稱向量a為直線l的一個方向向量，記作a∥l.(2)直線方向向量的有關(guān)結(jié)論①如果A(x1，y1)，B(x2，y2)是直線l上兩個不同的點(diǎn)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)是直線l的一個方向向量.②如果直線l的斜率為k，則(1，k)是直線l的一個方向向量.③若直線的方向向量為a＝(x，y)(x≠0)，則直線的斜率k＝eq\f(y,x).(3)直線的法向量的定義一般地，如果表示非零向量v的有向線段所在直線與直線l垂直，則稱向量v為直線l的一個法向量，記作v⊥l.一條直線的方向向量與法向量互相垂直.3.直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線考點(diǎn)和典型例題1、直線的傾斜角與斜率【典例1-1】過點(diǎn)的直線的傾斜角為（

）A． B． C．1 D．【答案】A【詳解】過A、B的斜率為，則該直線的傾斜角為，故選：A．【典例1-2】已知，，過點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)且斜率為的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，所以由圖可知，或，因?yàn)榛?，所以或，故選：D【典例1-3】直線的傾斜角為（

）A．30° B．45° C．60° D．135°【答案】A【詳解】直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，因?yàn)椋瑒t.故選：A.【典例1-4】如圖，設(shè)直線，，的斜率分別為，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由斜率的定義可知，.故選：A．【典例1-5】直線過點(diǎn)，其傾斜角為，現(xiàn)將直線繞原點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，若直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C．2 D．-2【答案】B【詳解】由題，，直線的傾斜角為，故故選：B2、求直線的方程【典例2-1】過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】直線的斜率，因?yàn)?，故的斜率，故直線的方程為，即，故選：B．【典例2-2】已知過定點(diǎn)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，且截距之和最小，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】直線可變?yōu)椋赃^定點(diǎn)，又因?yàn)橹本€在兩坐標(biāo)軸上的截距都是正值，可知，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，令，所以直線與軸的交點(diǎn)為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等，所以此時直線為：.故選：C.【典例2-3】已知直線的傾斜角為，且經(jīng)過點(diǎn)，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：直線的斜率為，則直線的方程為.故選：C.【典例2-4】直線過點(diǎn)，且軸正半軸?軸正半軸交于兩點(diǎn)，當(dāng)面積最小時，直線的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】根據(jù)題意，直線不與軸垂直，則其斜率存在，設(shè)為，則，因此，直線，令則有，則，令則有，則.因此，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等（舍去），故面積最小值為4，此時，即.故選：C.【典例2-5】數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．這條直線被后人稱為三角形的歐拉線．已知的頂點(diǎn)，且，則的歐拉線的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】∵，結(jié)合題意可知的歐拉線即為線段的垂直平分線的中點(diǎn)為，斜率，則垂直平分線的斜率則的歐拉線的方程為，即故選：D．3、直線方程的綜合應(yīng)用【典例3-1】已知點(diǎn)，．若直線與線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)直線過定點(diǎn)，則直線可寫成，令解得直線必過定點(diǎn)．，．直線與線段相交，由圖象知，或，解得或，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：A【典例3-2】的頂點(diǎn)，邊上的中線所在的直線為，的平分線所在直線方程為，求邊所在直線的方程（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】解：由，得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以直線的方程為，即，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以邊所在直線的方程為，即，故選：B【典例3-3】若點(diǎn)，關(guān)于直線l對稱，則l的方程為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題意可知AB中點(diǎn)坐標(biāo)是，，因?yàn)锳，B關(guān)于直線l對稱，所以直線l經(jīng)過AB中點(diǎn)且直線l和AB垂直，所以直線l的斜率為，所以直線l的方程為，即，故選：A.【典例3-4】已知△ABC的項點(diǎn)坐標(biāo)為A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），則角B的內(nèi)角平分線所在直線方程為（

）A．x﹣y+2＝0 B．xy+2＝0 C．xy+2＝0 D．x﹣2y+2＝0【答案】D【詳解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的內(nèi)角平分線所在直線方程為AC的垂直平分線，又線段AC中點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），則角B的內(nèi)角平分線所在直線方程為y﹣2，即x﹣2y+2＝0．故選：D．【典例3-5】（多選）下列說法正確的是（

）A．過，兩點(diǎn)的直線方程為B．點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C．直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2D．經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為【答案】BC【詳解】對于A：當(dāng)，時，過，兩點(diǎn)的直線方程為，故A不正確；對于B：點(diǎn)

(0,2)

與

(1,1)

的中點(diǎn)坐標(biāo)，

滿足直線方程,

并且兩點(diǎn)的斜率為：

?1,

所以點(diǎn)

(0,2)

關(guān)于直線

y=x+1

的對稱點(diǎn)為

(1,1)

，所以

B

正確；對于C：直線在兩坐標(biāo)軸上的截距分別為：

2,?2,

直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是，所以C

正確；

對于D：經(jīng)過點(diǎn)

(1,1)

且在

x

軸和

y

軸上截距都相等的直線方程為

x+y?2=0

或

y=x

，所以

D

不正確；故選：BC.【典例3-6】直線，相交于點(diǎn)，其中.(1)求證：、分別過定點(diǎn)、，并求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(2)當(dāng)為何值時，的面積取得最大值，并求出最大值.【答案】(1)證明見解析，，(2)時，取得最大值【解析】(1)在直線的方程中，令可得，則直線過定點(diǎn)，在直線的方程中，令可得，則直線過定點(diǎn)；(2)聯(lián)立直線、的方程，解得，即點(diǎn).，，，所以，；且，因此，當(dāng)時，取得最大值，即.【典例3-7】已知在中，，，，邊BC所在的直線方程為，求邊AB、AC所在的直線方程．【答案】邊AB、AC所在