第29講拋物線學校____________姓名____________班級____________知識梳理1.拋物線的定義(1)一般地，設F是平面內的一個定點，l是不過點F的一條定直線，則平面上到F的距離與到l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線，其中定點F稱為拋物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線.(2)其數學表達式：{M||MF|＝d}(d為點M到準線l的距離).2.拋物線的標準方程與幾何性質圖形標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點F到準線l的距離性質頂點O(0，0)對稱軸y＝0x＝0焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下考點和典型例題1、拋物線的定義和標準方程【典例1-1】過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，若，則的值為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】如圖所示，設，，因為，所以點到準線的距離為3，所以，得，因為，所以，所以，得，所以的值為，故選：C【典例1-2】拋物線上一點到其焦點的距離為，則點到坐標原點的距離為（

）A． B． C． D．2【答案】A【詳解】由題意知，焦點坐標為，準線方程為，由到焦點距離等于到準線距離，得，則，，可得，故選：A.【典例1-3】已知拋物線上的一點到其焦點的距離為2，則該拋物線的焦點到其準線的距離為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【詳解】由題可知，拋物線準線，可得，解得，所以該拋物線的焦點到其準線的距離為.故選：A.【典例1-4】焦點在直線上的拋物線的標準方程為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【詳解】解：直線與x軸的交點為（4，0），與y軸的交點為（0，-3），當以（4，0）為焦點時，拋物線的標準方程為，當由（0，-3）為焦點時，拋物線的標準方程為，故選：B【典例1-5】已知直線恒過定點，拋物線：的焦點坐標為，為拋物線上的動點，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】方程可化為，所以直線恒過定點，因為拋物線：的焦點坐標為，所以，即，所以，過點作準線，垂足為，則，過點作準線，垂足為，所以，當且僅當三點共線時取等號，所以的最小值為3，故選：C.2、拋物線的幾何性質及應用【典例2-1】對拋物線，下列描述正確的是（

）A．開口向上，焦點為 B．開口向上，焦點為C．開口向右，焦點為 D．開口向右，焦點為【答案】A【詳解】由題知，該拋物線的標準方程為，則該拋物線開口向上，焦點坐標為.故選：A.【典例2-2】已知過點的直線與拋物線相交于，兩點，點，若直線，的斜率分別為，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】因為過點的直線與拋物線相交于，兩點，所以可設，，直線的方程為：，由得，因此，，且，又直線，的斜率分別為，，點，所以，，因此，當時，；當時，，且，當且僅當，即時，等號成立；所以；當時，，且，當且僅當，即時，等號成立；所以，綜上.故選：C.【典例2-3】拋物線與圓交于、兩點，圓心，點為劣弧上不同于、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，可得圓心也是拋物線的焦點，過作準線的垂線，垂足為，根據拋物線的定義，可得故的周長，由可得，.的取值范圍為的周長的取值范圍為故選：.【典例2-4】已知圓與拋物線相交于M，N，且，則（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【詳解】因為圓與拋物線相交于M，N，且，由對稱性，不妨設，代入拋物線方程，則，解得，所以，故故選：B【典例2-5】已知拋物線，以為圓心，半徑為5的圓與拋物線交于兩點，若，則（

）A．4 B．8 C．10 D．16【答案】B【詳解】以為圓心，半徑為5的圓的方程為,由拋物線，得到拋物線關于x軸對稱，又∵上面的圓的圓心在x軸上，∴圓的圖形也關于x軸對稱，∴它們的交點A,B關于x軸對稱，因為|AB|=8，∴A,B點的縱坐標的絕對值都是4，∵它們在拋物線上，于是A點的橫坐標的值,不妨設A在x軸上方，則A點的坐標為,又∵A在圓上，∴,解得,故選：B.3、拋物線的綜合問題【典例3-1】已知為拋物線的焦點，為拋物線上的動點，點.則最大值的為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意知：，；，，；令，則，，則當，即時，取最大值，此時.故選：C.【典例3-2】如圖，已知拋物線的頂點在坐標原點，焦點在x軸上，且過點，圓，過圓心的直線l與拋物線和圓分別交于點P，Q，M，N，則的最小值為（

）A．23 B．26 C．36 D．62【答案】B【詳解】解法一：設拋物線的方程，則，得，所以拋物線方程為，焦點，圓，圓心，半徑，可得圓心恰好是拋物線的焦點，即直線l過焦點F.設直線l的方程為：，設P、Q坐標分別為和，由聯立，得，∴，，∴，，，當且僅當，即，時取等號.解法二：，又，，當且僅當，即，時等號成立.故選：B.【典例3-3】已知直線l過點，且垂直于x軸．若l被拋物線截得的線段長為，則拋物線的焦點坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】當時，，顯然，解得，故，解得，故拋物線，焦點坐標為故選：A【典例3-4】已知點在拋物線上.(1)求拋物線C的方程；(2)過點的直線l交拋物線C于A，B兩點，設直線，的斜率分別為，，O為坐標原點，求證：為定值.【解析】(1)∵點在拋物線C上，∴，解得，∴拋物線C的方程為.(2)證明：設直線，，，聯立，消去y可得，，由韋達定理有，，∴，即得證.【典例3-5】已知拋物線的焦點為，為坐標原點．(1)過作垂直于軸的直線與拋物