第21練空間幾何體學(xué)校____________姓名____________班級____________一、單選題1．已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開圖是一個圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，則，解得，則該圓錐的表面積為.故選：C.2．一個底面積為1的正四棱柱的頂點(diǎn)都在同一球面上，若此球的表面積為，則該四棱柱的高為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】設(shè)球的半徑為，則，解得設(shè)四棱柱的高為，則，解得故選：C3．如圖，△ABC是水平放置的△ABC的斜二測直觀圖，其中，則以下說法正確的是（

）A．△ABC是鈍角三角形 B．△ABC是等邊三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【詳解】解：將其還原成原圖，如圖，設(shè)，則可得，，從而，所以，即，故是等腰直角三角形.故選：C.4．已知圓柱的底面半徑和高都是2，那么圓柱的側(cè)面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因?yàn)閳A柱的底面半徑和高都是，所以圓柱的側(cè)面積.故選：B.5．圓柱內(nèi)有一個球，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，已知圓柱的體積為，則球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)球的半徑為R，則圓柱的底面圓的半徑為R，高為2R，所以，解得：，則球的體積為故選：A6．通用技術(shù)老師指導(dǎo)學(xué)生制作統(tǒng)一規(guī)格的圓臺形容器，用如圖所示的圓環(huán)沿虛線剪開得到的一個半圓環(huán)（其中小圓和大圓的半徑分別是1cm和4cm）制作該容器的側(cè)面，則該圓臺形容器的高為（

）A．cm B．1cm C．cm D．cm【答案】D【詳解】由已知圓臺的側(cè)面展開圖為半圓環(huán)，不妨設(shè)上、下底面圓的半徑分別為，，則，，解得，．所以圓臺軸截面為等腰梯形，其上、下底邊的長分別為和，腰長為，即,過點(diǎn)作,為垂足，所以，該圓臺形容器的高為，故選：D．7．在矩形中，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，沿將四邊形折起，使，若折起后點(diǎn)，，，，，都在球的表面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因?yàn)榫匦沃?，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，所以四邊形和四邊形是正方形，又沿將四邊形折起，使，所以幾何體是正三棱柱，，設(shè)球的球心在底面的射影為，因此，顯然是等邊三角形的中心，，在直角三角形中，，所以球的表面積為，故選：C8．在中，，，若將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】旋轉(zhuǎn)體是一個大圓錐去掉一個小圓錐，作出簡圖：所以，，所以旋轉(zhuǎn)體的體積：.故選：B.9．已知S，A，B，C是球O表面上的點(diǎn)，平面ABC，AB⊥BC，，，則球O的表面積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因?yàn)?、、、是球表面上的點(diǎn)，所以又平面，平面，所以，，，因?yàn)椋矫?，，所以平面，而平面，所以，所以可得為的中點(diǎn)，，，所以，所以球的半徑徑為，所以球表面積為．故選：A．10．已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.二、多選題11．在邊長為2的菱形中，，，垂足為點(diǎn)E，以DE所在的直線為軸，其余四邊旋轉(zhuǎn)半周形成的面圍成一個幾何體，則（

）A．該幾何體為圓臺 B．該幾何體的高為C．該幾何體的表面積為 D．該幾何體的體積【答案】BCD【詳解】解：由題意可知，該幾何體的結(jié)構(gòu)為半個圓錐和半個圓臺，該幾何體的高為，該幾何體的表面積為，體積為.故選：BCD12．“阿基米德多面體”也稱為半正多面體（semi-regularsolid），是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖所示，將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形、六個面為正方形的一種半正多面體，已知，則關(guān)于如圖半正多面體的下列說法中，正確的有（

）A．該半正多面體的體積為B．該半正多面體過A，B，C三點(diǎn)的截面面積為C．該半正多面體外接球的表面積為D．該半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)V、面數(shù)F、棱數(shù)E滿足關(guān)系式【答案】ABD【詳解】如圖，該半正多面體，是由棱長為2的正方體沿各棱中點(diǎn)截去8個三棱錐所得到的.對于A，因?yàn)橛烧襟w沿各棱中點(diǎn)截去8個三棱錐所得到的，所以該幾何體的體積為：，故正確；對于B，過A，B，C三點(diǎn)的截面為正六邊形ABCFED，所以，故正確.對于C，根據(jù)該幾何體的對稱性可知，該幾何體的外接球即為底面棱長為，側(cè)棱長為2的正四棱柱的外接球，所以該半正多面體外接球的表面積，故錯誤；對于D，幾何體頂點(diǎn)數(shù)為12，有14個面，24條棱，滿足，故正確.故選：ABD13．已知正方體的棱長為，則（

）A．正方體的外接球體積為 B．正方體的內(nèi)切球表面積為C．與異面的棱共有4條 D．三棱錐與三棱錐體積相等【答案】ACD【詳解】∵正方體外接球的半徑,內(nèi)切球的半徑∴正方體的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為A正確，B不正確；與異面的棱有，共有4條，C正確；∵，則三棱錐與三棱錐的高，底面積，故體積相等，D正確；故選：ACD．三、填空題14．將一個棱長為的正四面體放入一個正方體的玻璃容器，若要求該正四面體能在正方體容器中自由旋轉(zhuǎn)，則該正方體容器的棱長的最小值為___________.【答案】2【詳解】由題若正四面體能在正方體容器中自由旋轉(zhuǎn)，則當(dāng)正方體最小時，其內(nèi)切球是該正四面體的外接球，又由棱長為的正四面體的外接球半徑，此時正方體的棱長為.故答案為：.15．已知圓柱上、下底面的圓周都在一個體積為的球面上，圓柱底面半徑為，則該圓柱的表面積為__________．【答案】【詳解】設(shè)圓柱外接球半徑為：，圓柱的母線長為：，由圓柱的性質(zhì)得，外接球球心在上下底面圓心連線的中點(diǎn)處，所以外接球球心到底面的距離為圓柱母線的一半：，所以，又，解得，，所以圓柱的表面積為：.故答案為：.四、解答題16．已知正四棱柱，其中．(1)若點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，求三棱錐的體積．(2)求點(diǎn)到平面的距離【答案】(1)(2)【解析】(1)實(shí)際上需求三棱錐的體積．由正四棱柱，角形的面積為因?yàn)镻是棱上的動點(diǎn)且與平面平行，則只需寫出與平面間的距離即可．由于平面，不妨記三棱錐的高為則三棱錐的體積(2)以D為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．則可知設(shè)平面的法向量為則不妨設(shè)，同時設(shè)點(diǎn)到平面的距離為d則故點(diǎn)到平面的距離為17．如圖，在棱長為1的正方體中，截去三棱錐，求：(1)截去的三棱錐的體積；(2)剩余的幾何體的表面積．【答案】(1)(2)【解析】(1)∵正方體的棱長為1，三棱錐的體積(2)是邊長為的等邊三角形，，∴，，所以剩余幾何體表面積為．18．某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為，高為，圓錐的母線長為．(1)求這種“籠具”的體積；(2)現(xiàn)要