第12講導數(shù)的綜合應用學校____________姓名____________班級____________一、知識梳理1、不等式恒成立(1)分離變量.構造函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.(2)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；a≤f(x)能成立?a≤f(x)max.分類討論求參數(shù)：根據(jù)不等式恒成立求參數(shù)范圍的關鍵是將恒成立問題轉化為最值問題，此類問題關鍵是對參數(shù)分類討論，在參數(shù)的每一段上求函數(shù)的最值，并判斷是否滿足題意，若不滿足題意，只需找一個值或一段內的函數(shù)值不滿足題意即可.雙變量恒成立含參不等式能成立問題(有解問題)可轉化為恒成立問題解決，常見的轉化有：(1)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)min.(2)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)min>g(x)max.(3)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)min.(4)?x1∈M，?x2∈N，f(x1)>g(x2)?f(x)max>g(x)max.2、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點利用導數(shù)求函數(shù)的零點常用方法(1)構造函數(shù)g(x)，利用導數(shù)研究g(x)的性質，結合g(x)的圖像，判斷函數(shù)零點的個數(shù).(2)利用零點存在定理，先判斷函數(shù)在某區(qū)間有零點，再結合圖像與性質確定函數(shù)有多少個零點.3、構造函數(shù)證明不等式(1)五個常見變形：xex＝ex＋lnx，eq\f(ex,x)＝ex－lnx，eq\f(x,ex)＝elnx－x，x＋lnx＝lnxex，x－lnx＝lneq\f(ex,x).(2)三種基本模式①積型：aea≤blnbeq\o(→,\s\up17(三種同構方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：aea≤（lnb）elnb……f（x）＝xex，,同右：ealnea≤blnb……f（x）＝xlnx，,取對：a＋lna≤lnb＋ln（lnb）……f（x）＝x＋lnx，))②商型：eq\f(ea,a)＜eq\f(b,lnb)eq\o(→,\s\up17(三種同構方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：\f(ea,a)＜\f(elnb,lnb)……f（x）＝\f(ex,x)，,同右：\f(ea,lnea)＜\f(b,lnb)……f（x）＝\f(x,lnx)，,取對：a－lna＜lnb－ln（lnb）……f（x）＝x－lnx，))③和差型：ea±a＞b±lnbeq\o(→,\s\up17(兩種同構方式))eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(同左：ea±a＞elnb±lnb……f（x）＝ex±x，,同右：ea±lnea＞b±lnb……f（x）＝x±lnx.))考點和典型例題1、不等式恒成立【典例1-1】（2022·全國·高三專題練習）已知，，若存在，，使得成立，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】?x1,x2，當時，，遞減，當時，，遞增，所以當x＝－1時，取得最小值；當x＝－1時取得最大值為，所以，即實數(shù)a的取值范圍是故選：B．【典例1-2】（2022·全國·高三專題練習）已知，若對任意兩個不等的正實數(shù)都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】對任意兩個不等的正實數(shù)，都有恒成立，即為時，恒成立.所以在上恒成立，則而，則．故選：A．【典例1-3】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)，若關于x的不等式恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：，，令，顯然為增函數(shù)，則原命題等價于，又令，則，所以時，當時，即在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即恒成立，所以，所以，即得．故選：B【典例1-4】（2022·全國·高三專題練習）設實數(shù)，若不等式對恒成立，則t的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】對恒成立，即，即，令，，則，故在單調遞增，故，故，問題轉化為，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞增，在遞減，故（e），故.故選：B．【典例1-5】（2022·全國·高三專題練習）已知不等式對恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，即，構造函數(shù)，所以，令，解得：，令，解得：，故在上單調遞減，在上單調遞增，當時，與1的大小不定，但當實數(shù)a最小時，只需考慮其為負數(shù)的情況，此時因為當時，單調遞減，故，兩邊取對數(shù)得：，令，則，令得：，令得：，所以在單調遞增，在單調遞減，所以故a的最小值是．當時，，從四個選項均為負，考慮，此時有，兩邊取對數(shù)得：，所以令，則，當時，恒成立，所以在上單調遞增，無最大值，此時無解，綜上：故a的最小值是．故選：C2、利用導數(shù)研究函數(shù)的零點【典例2-1】（2022·河南·模擬預測（理））已知函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有3個交點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【詳解】因為函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有3個交點，所以有3個根.經(jīng)驗證：x=1為其中一個根.當時，可化為，及i.或時，方程有且僅有一個根x=-1；ii.且時，方程有兩個根，或x=-1.當時，可化為.令，（x>0）.則.當時，有，所以在上單減.因為，所以有且只有1個根x=1.所以需要有兩個根或x=-1，才有3個根，此時且.當時，有且僅有一個根x=-1，所以只需在有2個根.此時.在上，，單減；在上，，單增.且當時，；當時，；所以只需，即，亦即.記.則，所以當時，，所以在上單調遞減，所以當時，，在上單調遞增.所以，即（當且僅當x=1時取等號）.所以要使成立，只需，解得：.所以且.綜上所述：實數(shù)k的取值范圍是.故選：B【典例2-2】（2022·全國·高三專題練習）已知函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，則實數(shù)m取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意得：，則，問題轉化為y＝m和有2個交點，而，在和上，遞增，在上，遞減，當x趨于正無窮大時，無限接近于0，且，，，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：觀察圖象得：函數(shù)和的圖象有2個不同的交點時，實數(shù).故選：D．【典例2-3】（2022·陜西·寶雞中學模擬預測）已知曲線與在區(qū)間上有兩個公共點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】曲線與在區(qū)間上有兩個公共點，即在區(qū)間上有兩根，設，則，故當時，，單調遞增；當時，，單調遞減.又，，，故在區(qū)間上有兩根則故選：A【典例2-4】（2022·江西·模擬預測（理））已知函數(shù)）有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．（0，） B．（0，） C．（0，1） D．（0，e）【答案】A【詳解】令，所以或，令，則，令，則，當時，，h(x)在（－∞，0）上單調遞增；當時，，h(x)在（0，＋∞）上單調遞減，所以，即，所以g(x)在R上單調遞減，又，g（0）＝，所以存在使得，所以方程有兩個異于的實數(shù)根，則，令，則，當時，，k(x)在（－∞，1）上單調遞增；當時，，k(x)在（1，＋∞）上單調遞減，且．所以，所以與的部分圖象大致如圖所示，由圖知，故選：A．【典例2-5】（2022·浙江·赫威斯育才高中模擬預測）已知，函，若函數(shù)有三個不同的零點，為自然對數(shù)的底數(shù)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】當時，，即，故，令，則，令，得，當時，，當時，，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當時，方程有兩不等實根，當時，方程有一個實根；令，顯然,所以，令，則在上恒成立，則在上遞增，且，作出函數(shù)的圖象如圖所示：由圖象知：當時，方程在恰有一個實根，即此時有三個不同的零點，綜上，的取值范圍是.故選：B3、構造函數(shù)證明不等式【典例3-1】（2021·重慶合川·高二階段練習）已知函數(shù)(1)當，證明：；(2)若函數(shù)在上恰有一個極值，求a的值．【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】(1)由題設且，則，所以在上遞增，則，得證.(2)由題設在有且僅有一個變號零點，所以在上有且僅有一個解，令，則，而，故時，時，時，所以在、上遞增，在上遞減，故極大值，極小值，，要使在上與有一個交點，則或或.經(jīng)驗證，或時對應零點不變號，而時對應零點為變號零點，所以.【典例3-2】（2022·浙江·鎮(zhèn)海中學模擬預測）已知函數(shù)(1)求證：函數(shù)在上有唯一零點；(2)若方程有且僅有一個正數(shù)解，求證：．【解析】(1)解：由題意，函數(shù)，可得當時，可得且，所以，所以函數(shù)在上單調遞增，又因為，由零點存在定理可知，函數(shù)在上有唯一零點.(2)解：當時，，當時，，單調遞減；當，，單調遞增；當，，單調遞減，又由當時，；時，，所以當時，方程有且僅有一個正數(shù)解，現(xiàn)證不等式左側：，要證，只需證在上恒成立，只需證，令，可得，則，可得，令，解得或（舍去），可得在減，增，函數(shù)在軸交點為，在增，減，增，與