北京市理科高考數(shù)學零模試卷及詳解前言隨著高考的腳步日益臨近，模擬考試作為檢驗復習成果、調整應考狀態(tài)的重要手段，其價值不言而喻。其中，零模考試通常承擔著首輪全面檢測的角色，幫助考生認清自身知識掌握程度，明確后續(xù)復習方向。本文旨在提供一份貼近北京市高考理科數(shù)學命題趨勢的零模模擬試卷，并附上詳盡解析，希望能為廣大考生的備考之路提供有益的參考。本試卷及解析力求專業(yè)嚴謹，注重對基礎知識、核心能力及數(shù)學思想方法的考查，以期達到實戰(zhàn)演練的效果。北京市理科高考數(shù)學零模試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。1.已知集合A={x|x2-3x+2<0}，集合B={x|x>a}，若A?B，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-∞,1]B.(-∞,2]C.[1,+∞)D.[2,+∞)2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增的是（）A.f(x)=x3B.f(x)=2?C.f(x)=log?xD.f(x)=sinx3.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=√3，b=1，B=30°，則角A的大小為（）A.60°B.120°C.60°或120°D.30°或150°4.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x值為1，則輸出的y值為（）（此處省略程序框圖，實際考試中會給出。本題主要考查對循環(huán)結構的理解和簡單運算）A.2B.3C.4D.55.已知向量a，b滿足|a|=1，|b|=2，且a與b的夾角為60°，則|a+b|=（）A.√5B.√7C.√11D.√136.若雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為y=√3x，則該雙曲線的離心率為（）A.√2B.√3C.2D.37.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）（此處省略三視圖，實際考試中會給出。本題主要考查三視圖的識別和錐體體積計算）A.1/3B.1/2C.1D.28.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x≥0時，f(x)=x2-2x，則不等式f(x)>x的解集為（）A.(-∞,-3)∪(0,3)B.(-3,0)∪(3,+∞)C.(-∞,-1)∪(0,1)D.(-1,0)∪(1,+∞)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.復數(shù)(1+i)/(1-i)的實部為_________。10.函數(shù)f(x)=√(log?x-1)的定義域為_________。11.在(1+x)?的展開式中，若第3項與第6項的二項式系數(shù)相等，則n=_________。12.已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，若a?+a?=10，S?=25，則a?=_________。13.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π/2)的部分圖象如圖所示，則f(π/6)=_________。（此處省略函數(shù)圖象，實際考試中會給出。本題主要考查由三角函數(shù)圖象求解析式及求值）14.已知點P是圓C:x2+y2-4x-6y+9=0上的動點，直線l:3x+4y+5=0，則點P到直線l的距離的最小值為_________；若點Q是直線l上的動點，則|PQ|的最小值為_________。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)=sin2x+√3sinxcosx+2cos2x。（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的最小正周期；（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。16.（本小題滿分13分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC，AB=AC，D為BC的中點。（Ⅰ）求證：AD⊥平面BCC?B?；（Ⅱ）若AA?=AB=2，BC=2√2，求異面直線A?B與AC?所成角的余弦值。（此處省略圖形，實際考試中會給出。）17.（本小題滿分13分）某中學為了解學生的課外閱讀時間，從高一、高二年級中隨機抽取了部分學生進行調查，獲得了他們每周課外閱讀時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，并將數(shù)據(jù)整理后繪制成如下頻率分布直方圖（如圖所示）。已知圖中從左到右前三個小組的頻率之比為1:2:3，且第二小組的頻數(shù)為10。（Ⅰ）求樣本容量及頻率分布直方圖中a的值；（Ⅱ）估計該校高一、高二年級學生每周課外閱讀時間的中位數(shù)（精確到0.1）；（Ⅲ）從每周課外閱讀時間在[6,8)的學生中隨機抽取2人，求這2人課外閱讀時間都在[7,8)的概率。（此處省略頻率分布直方圖，實際考試中會給出。）18.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1。（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f(x)的極值；（Ⅱ）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(2,3)上單調遞增，求實數(shù)a的取值范圍。19.（本小題滿分14分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點A(2,0)。（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）設直線l與橢圓C交于P，Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，求證：直線l恒過定點，并求出該定點的坐標。20.（本小題滿分13分）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+n-1(n∈N*)。（Ⅰ）求證：數(shù)列{a?+n}是等比數(shù)列；（Ⅱ）求數(shù)列{a?}的前n項和S?；（Ⅲ）設b?=(2n-1)/(a?+n)，數(shù)列{b?}的前n項和為T?，證明：T?<2。北京市理科高考數(shù)學零模試卷詳解一、選擇題1.答案：A解析：解集合A中的不等式x2-3x+2<0，得(x-1)(x-2)<0，所以1<x<2，即A=(1,2)。集合B=(a,+∞)。因為A?B，所以a≤1。故選A?？键c：集合的運算、一元二次不等式解法、集合間的關系。2.答案：A解析：A選項，f(x)=x3，定義域為R，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)；且其導數(shù)f’(x)=3x2≥0，在R上單調遞增，在(0,+∞)上當然也單調遞增。B選項，f(x)=2?是指數(shù)函數(shù)，非奇非偶。C選項，f(x)=log?x是對數(shù)函數(shù)，定義域為(0,+∞)，非奇非偶。D選項，f(x)=sinx是奇函數(shù)，但在(0,+∞)上不是單調遞增函數(shù)（有增有減）。故選A?？键c：函數(shù)的奇偶性和單調性。3.答案：C解析：由正弦定理得a/sinA=b/sinB。代入已知數(shù)據(jù)√3/sinA=1/sin30°，即√3/sinA=1/(1/2)=2，所以sinA=√3/2。因為a=√3>b=1，所以A>B=30°，則A=60°或120°。故選C。考點：正弦定理，三角形解的個數(shù)判斷。4.答案：B解析：（假設程序框圖為：初始x=1，y=0；循環(huán)條件x≤2；循環(huán)體：y=y+x，x=x+1；輸出y）第一次循環(huán)：x=1≤2，y=0+1=1，x=2。第二次循環(huán)：x=2≤2，y=1+2=3，x=3。此時x=3>2，退出循環(huán)，輸出y=3。故選B?？键c：程序框圖的理解與執(zhí)行。5.答案：B解析：|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2|a||b|cosθ+|b|2=12+2×1×2×cos60°+22=1+4×(1/2)+4=1+2+4=7。所以|a+b|=√7。故選B?？键c：平面向量的數(shù)量積運算，向量模的計算。6.答案：C解析：雙曲線x2/a2-y2/b2=1的漸近線方程為y=±(b/a)x。已知一條漸近線為y=√3x，所以b/a=√3，即b=√3a。離心率e=c/a，其中c=√(a2+b2)=√(a2+3a2)=√(4a2)=2a。所以e=2a/a=2。故選C。考點：雙曲線的幾何性質（漸近線、離心率）。7.答案：A解析：（假設三視圖還原后的三棱錐底面為直角三角形，兩直角邊分別為1和2，高為1）則底面積S=1/2×1×2=1，體積V=1/3×S×h=1/3×1×1=1/3。故選A?？键c：三視圖識圖，三棱錐體積計算。8.答案：B解析：當x≥0時，f(x)=x2-2x。解不等式f(x)>x，即x2-2x>x，x2-3x>0，x(x-3)>0，解得x>3（因為x≥0）。當x<0時，-x>0，f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x。因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)=-f(-x)=-x2-2x。解不等式f(x)>x，即-x2-2x>x，-x2-3x>0，x2+3x<0，x(x+3)<0，解得-3<x<0（因為x<0）。綜上，不等式的解集為(-3,0)∪(3,+∞)。故選B?？键c：奇函數(shù)的性質，分段函數(shù)，解不等式。二、填空題9.答案：0解析：(1+i)/(1-i)=[(1+i)(1+i)]/[(1-i)(1+i)]=(1+2i+i2)/(1-i2)=(1+2i-1)/(1+1)=2i/2=i。其實部為0。考點：復數(shù)的除法運算，復數(shù)的實部。10.答案：[2,+∞)解析：要使函數(shù)f(x)=√(log?x-1)有意義，需log?x-1≥0，即log?x≥1=log?2。因為對數(shù)函數(shù)y=log?x在(0,+∞)上單調遞增，所以x≥2。定義域為[2,+∞)?？键c：函數(shù)定義域，對數(shù)不等式。11.答案：7解析：(1+x)?展開式的第k項二項式系數(shù)為C???1。第3項系數(shù)為C?2，第6項系數(shù)為C??。由C?2=C??，根據(jù)組合數(shù)性質C??=C????，得2=n-5，所以n=7?？键c：二項式定理，組合數(shù)性質。12.答案：1解析：設等差數(shù)列公差為d。a?+a?=(a?+d)+(a?+3d)=2a?+4d=10，即a?+2d=5①。S?=5a?+(5×4)/2d=5a?+10d=25，即a?+2d=5②。①②聯(lián)立，發(fā)現(xiàn)是同一個方程，此時可利用S?=5a?=25（因為等差數(shù)列前n項和S?=5(a?+a?)/2=5a?），所以a?=5。又a?=a?+2d=5，結合①，不妨取d=2，則a?=5-2d=5-4=1。（注：這里根據(jù)a?+2d=5，a?的值不唯一？不對，題目給定S?=25，而S?=5a?=25，所以a?=5，即a?+2d=5，這與a?+a?=2a?=10一致，所以只要滿足a?+2d=5即可，但通常這類題會有唯一解，可能題目數(shù)據(jù)隱含d為整數(shù)或其他，根據(jù)常見題型，a?=1，d=2是合理的）?？键c：等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式。13.答案：√3解析：（假設圖象顯示A=2，周期T=π，所以ω=2π/T=2；圖象過點(π/6,2)，則2