專題03相似三角形的判定與性質(zhì)重難點(diǎn)題型專訓(xùn)（18大題型+15道拓展培優(yōu)）題型一選擇或者補(bǔ)充條件使兩個三角形相似題型二證明兩三角形相似題型三尺規(guī)作圖使兩個三角形相似題型四格點(diǎn)圖中找相似三角形題型五相似三角形判定定理的證明題型六重心的有關(guān)性質(zhì)題型七相似三角形的判定與性質(zhì)綜合題型八利用相似三角形的性質(zhì)求解題型九證明三角形的對應(yīng)線段成比例題型十利用相似求坐標(biāo)題型十一在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形題型十二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決折疊問題題型十三運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決三角板問題題型十四運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決裁剪問題題型十五運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決動點(diǎn)問題題型十六運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決最值問題題型十七相似三角形的綜合問題題型十八運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決多結(jié)論問題知識點(diǎn)1：相似三角形的判定判定定理判定定理1：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩角對應(yīng)相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．判定定理2：如果兩個三角形的三組對應(yīng)邊成比例，那么這兩個三角形相似．簡稱為三邊對應(yīng)成比例，兩個三角形相似．如圖，如果，則．判定定理3：如果兩個三角形的兩組對應(yīng)邊成比例，并且對應(yīng)的夾角相等，那么這兩個三角形相似．簡稱為兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩個三角形相似．如圖，如果，，則．知識點(diǎn)2：相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對應(yīng)角相等．如圖，，則有．②相似三角形的對應(yīng)邊成比例．如圖，，則有（為相似比）．③相似三角形的對應(yīng)邊上的中線，高線和對應(yīng)角的平分線成比例，都等于相似比．如圖，∽，和是中邊上的中線、高線和角平分線，、和是中邊上的中線、高線和角平分線，則有④相似三角形周長的比等于相似比．如圖，∽，則有．⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方．如圖，∽，則有【經(jīng)典例題一選擇或者補(bǔ)充條件使兩個三角形相似】【例1】（24-25九年級上·河南南陽·階段練習(xí)）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠單獨(dú)判定的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查選擇或補(bǔ)充條件使兩個三角形相似，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．根據(jù)相似三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：和中，，添加后，滿足兩組對應(yīng)角相等，可以判定；添加后，滿足兩組對應(yīng)角相等，可以判定；添加后，不能滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，不能判定；添加，即后，滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可以判定，故選：C．1．（24-25九年級上·上海嘉定·階段練習(xí)）如圖所示，給出下列條件：①；②；③；④．其中能夠判定的個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】本題考查選擇或補(bǔ)充條件使兩個三角形相似，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．根據(jù)相似三角形的判定方法逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：和中，，添加后，滿足兩組對應(yīng)角相等，可以判定；添加后，滿足兩組對應(yīng)角相等，可以判定；添加后，不能滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，不能判定；添加，即后，滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可以判定，故選：C．2．（24-25九年級上·河南周口·期中）如圖，在和中，，點(diǎn)E在邊上，添加一個條件后，能判定與相似，這個條件是．(添加一個即可)【答案】（答案不唯一）【分析】本題主要考查三角形相似的判定，根據(jù)三角形相似的判定方法可再添加一組角對應(yīng)相等，或添加和的兩邊對應(yīng)成比例，或添加．【詳解】解：在和中，，故只需要增加一組角對應(yīng)相等即可，可添加，此時，故答案為：（答案不唯一）．3．（2024·福建福州·一模）如圖，中，點(diǎn)D是邊上一點(diǎn)，，連接．從下列條件中，選擇一個作為附加條件①；②；③，求證：．【答案】②，見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．可添加根據(jù)有兩組角對應(yīng)相等的兩個三角形相似來判定；或添加利用兩組對應(yīng)邊的比相等且相應(yīng)的夾角相等的兩個三角形相似來判定其相似．【詳解】證明：選擇①∵，∴，∵，∴．【經(jīng)典例題二證明兩三角形相似】【例2】（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）如圖，在四邊形中，已知，添加下列一個條件后，仍不能判定的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的判定定理，熟知相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，結(jié)合，可以根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個相似三角形得到，故A不符合題意；由得到，結(jié)合，不可以得到，故B符合題意；由，結(jié)合，可以根據(jù)兩組角對應(yīng)相等的兩個相似三角形得到，故C不符合題意；由，結(jié)合，可以根據(jù)兩組邊對應(yīng)成比例且它們的夾角相等的兩個相似三角形得到，故D不符合題意；故選：B．1．（24-25九年級上·上?！るA段練習(xí)）在和中，，下列各組的條件不能判定這兩個三角形相似的是（

）A．，； B．，，，；C．，，，； D．，，，．【答案】B【分析】本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定定理：兩角對應(yīng)相等，兩組邊對應(yīng)成比例且夾角相等，三邊對應(yīng)成比例，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定方法和勾股定理，對各個選項(xiàng)進(jìn)行分析即可．【詳解】A．相似：∵，∴．∵，∴．∵，∴，不符合題意；B．有一組角相等兩邊對應(yīng)成比例，但該組角不是這兩邊的夾角，故不相似，符合題意；C．相似：∵，，，，∴．又∵，∴，不符合題意；D．相似：∵，，，，，∴，，∴．∵，∴，不符合題意；故選：B．2．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）將一張矩形紙片如圖所示，點(diǎn)在邊上，現(xiàn)將矩形折疊，折痕為，點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)記為點(diǎn)，若點(diǎn)恰好落在邊上，則圖中與一定相似的三角形是．【答案】【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定，是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)得，從而得到，由折疊的性質(zhì)可得：，從而得到，由此推斷出．【詳解】解：四邊形是矩形，，，由折疊的性質(zhì)可得：，，，，．故答案為：．3．（24-25九年級上·北京延慶·期中）如圖，四邊形的對角線交于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且．求證：．【答案】見解析【分析】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理．首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到，然后根據(jù)角的和差關(guān)系得到，即可證明出．【詳解】證明：∵，∴∵∴∴∴．【經(jīng)典例題三尺規(guī)作圖使兩個三角形相似】【例3】（23-24九年級·陜西寶雞·期末）如圖，在△ABC中，∠B=2∠A，利用尺規(guī)作圖法在邊AC上求作一點(diǎn)D，使得△BDC∽△ABC．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】本題考查相似三角形的判定，作角平分線．掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．作∠ABC平分線，交AC于D即可．【詳解】解：如圖所示，點(diǎn)D即為所作求．由作圖可知：BD是∠ABC平分線，∴∠ABC=2∠CBD，∵∠ABC=2∠A，∴∠CBD=∠A，∵∠C=∠C，∴△BDC∽△ABC．1（23-24九年級·河南·期末）如圖，已知鈍角△ABC中∠ABC=2∠ACB．(1)請用無刻度直尺和圓規(guī)在AC上定一點(diǎn)P，使得△ABP∽△ACB．（保留痕跡，不寫作法）(2)請用數(shù)學(xué)語言簡述作圖的合理性．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了線段垂直平分線的基本作圖，熟練掌握作圖是解題的關(guān)鍵．(1)作線段BC的垂直平分線EF，交AC于點(diǎn)P，連接PB，點(diǎn)P即為所求作．(2)利用兩個角對應(yīng)相等的兩個三角形相似，說明即可．【詳解】（1）如圖，作線段BC的垂直平分線EF，交AC于點(diǎn)P，連接PB，則點(diǎn)P即為所求作．（2）根據(jù)作圖，得PB=PC，∴∠PBC=∠ACB，∵∠ABC=2∠ACB，∴∠ABP+∠PBC=2∠ACB，∴∠ABP=∠ACB，∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB．故作法是合理的．2、（23-24九年級·陜西西安·期末）如圖，在△ABC中，D為邊AB上任意一點(diǎn)，利用尺規(guī)作圖法，在邊AC上找一點(diǎn)E，使得△DEA∽△BCA.（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】見解析【分析】本題主要考查相似三角形，以點(diǎn)B為圓心，任意長度為半徑畫弧，交AB于M，交BC于N，以點(diǎn)D為圓心，以相同的半徑畫弧，再以MN為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接DF并延長，交AC于E，則∠ADE=∠ABC，結(jié)合∠A=∠A可得△DEA∽△BCA．【詳解】解：如圖，△ADE即為所作，．3、（23-24九年級·陜西榆林·期末）如圖，等腰△ABC的頂角∠A=108°，請用尺規(guī)作圖法，在BC邊上求作一點(diǎn)D，使得△ACD∽△BCA．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】圖見解析．【分析】以點(diǎn)B為圓心、BA長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D即可．【詳解】以點(diǎn)B為圓心、BA長為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則點(diǎn)D即為所作，如圖所示：理由如下：∵等腰△ABC的頂角∠BAC=108°，∴∠B=∠C=1由作圖可知，BA=BD，∴∠BDA=∠BAD=1∴∠ADC=180°?∠BDA=108°=∠BAC，在△ACD和△BCA中，∠ADC=∠BAC∠C=∠C∴△ACD～△BCA．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．【經(jīng)典例題四格點(diǎn)圖中找相似三角形】【例4】（24-25九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）在下列方格紙中，畫出了一些頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的三角形，其中與相似的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵；因此此題可根據(jù)相似三角形的判定定理進(jìn)行求解．【詳解】解：由格點(diǎn)圖可知：，則有：A、，所以該兩個三角形不相似；B、，所以該兩個三角形不相似；C、，所以該兩個三角形不相似；D、，三邊對應(yīng)成比例，所以該兩個三角形相似；故選D．1．（2023·貴州·模擬預(yù)測）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，和的頂點(diǎn)都在正方形的格點(diǎn)處，則與的周長之比是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了勾股定理與網(wǎng)格問題，相似三角形的判定；根據(jù)勾股定理求得各邊長，根據(jù)三邊對應(yīng)成比例的兩個三角形相似，即可求解．【詳解】解：設(shè)每個正方形網(wǎng)格的邊長都為1，則在中，，，，在中，，，，，，，∴，∴，與的周長之比為：，故選：．2．（24-25九年級上·上海閔行·階段練習(xí)）如圖，方格紙中每個小正方形的邊長為1，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)、、、、、、是邊上的7個格點(diǎn)，請在這7個格點(diǎn)中任意選取3個點(diǎn)作為三角形的頂點(diǎn)，使構(gòu)成的三角形與相似，符合題意的三角形共有個．【答案】5【分析】本題考查了相似三角形的判定，勾股定理與網(wǎng)格．欲求有幾個符合條件的三角形與相似，先利用勾股定理求出的三邊的長度，然后再去求以，，為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的三邊長，比較對應(yīng)三邊時否成比例，便可判定是不符合．按這種方法一一計算判定可得結(jié)論．【詳解】解：則，，．連接，，，．，．同理可找到，，，和相似，共5個．故答案為：5．3．（24-25九年級上·北京·階段練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，和的頂點(diǎn)都在邊長為1的小正方形的格點(diǎn)上．(1)____________．(2)判斷與是否相似，若相似，請給出證明；若不相似，請說明理由．(3)求．【答案】(1)135(2)，理由見解析(3)2【分析】本題考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）先求出，即可解答；（2）先得出，再得出，即可求證；（3）分別求出與的面積，即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，故答案為：135．（2）證明：由（1）同理可得，∵，∴，又∵∴；（3）解：∵，∴．【經(jīng)典例題五相似三角形判定定理的證明】【例5】（23-24·山東濟(jì)寧·一模）如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC上的點(diǎn)，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，現(xiàn)有如下結(jié)論：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正確的結(jié)論有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】C【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，結(jié)合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，據(jù)此知HC＜EC，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判斷③；求出∠FEC＜45°，根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD，∵AG＝GE，∴BG＝BE，∴∠BEG＝45°，∴∠BEA＞45°，∵∠AEF＝90°，∴∠HEC＜45°，

∴HC＜EC，∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即DH＞BE，故①錯誤；∵BG＝BE，∠B＝90°，∴∠BGE＝∠BEG＝45°，∴∠AGE＝135°，∴∠GAE+∠AEG＝45°，∵AE⊥EF，∴∠AEF＝90°，∵∠BEG＝45°，∴∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠GAE＝∠FEC，在△GAE和△CEF中，∵AG=CE，∠GAE=∠CEF,AE=EF,∴△GAE≌△CEF（SAS））,∴②正確；∴∠AGE＝∠ECF＝135°，∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°，∴③正確；∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°，∴∠FEC＜45°，∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯誤；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知識點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合比較強(qiáng)，難度較大．1、（23-24九年級上·全國·單元測試）如圖，在中，，，BD平分，，在圖中與相似的三角形（不包括）的個數(shù)為（

）個．A． B． C． D．【答案】C【分析】平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，可判斷△AED∽△ABC，再由兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似可判斷△BCD∽△ABC.【詳解】解：∵DE∥BC，∴△AED∽△ABC，∵AB=AC，∠A=36o，BD平分∠ABC，∴∠DBC=36o=∠A，∠C=72o，∴△BCD∽△ABC，∴有兩個與△ABC相似的三角形.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定.2．（24-25九年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，點(diǎn)E是的邊延長線上的一點(diǎn)，和交于點(diǎn)G，是的對角線，則圖中相似三角形共有對．【答案】4【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定定理．【詳解】解：∵，∴①．又∵，∴②，

∴③．由平行四邊形的性質(zhì)可得④，共有4對相似三角形．故答案為：4．3．（23-24九年級上·福建三明·期中）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在正方形ABCD的對角線AC上，∠EBF=45°．（1）當(dāng)BE=BF時，求證：AE=CF；（2）求證：△ABF∽△CEB；（3）如圖2延長BF交CD于點(diǎn)G，連接EG．判斷線段BE與EG的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由見解析．【分析】（1）根據(jù)BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，進(jìn)而得出∠AEB=∠BFC，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS證明兩個三角形全等；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA證明兩個三角形相似；（3）根據(jù)已知和正方形的性質(zhì)，對頂角的性質(zhì)得出△BEF∽△CGF，得出邊的比例關(guān)系，根據(jù)邊的比例關(guān)系轉(zhuǎn)換和對頂角的性質(zhì)得出△EFG∽△BFC，進(jìn)而得出∠BGE=45°，得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=．∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE．∴∠AEB=∠CFB．∴△ABE

≌△CBF．∴AE=CF．（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE=+∠ABE，∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE，∴∠BEC=∠ABF．∵∠BAF=∠BCE=，∴△ABF∽△CEB．（3）答：EB=EG，BE⊥EG

理由如下：如圖.∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC，∴△BEF∽△CGF∴.即.∵∠EFG=∠BFC，∴△EFG∽△BFC.∴∠EGF=∠BCF=45°.∴∠EBF=∠EGF=45°.∴EB=EG，∠BEG=90°∴EB=EG，BE⊥EG．【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，根據(jù)三角形相似得出的比例關(guān)系的轉(zhuǎn)換關(guān)系和題中的圖中的條件，判定另一組三角形相似，靈活運(yùn)用相關(guān)知識進(jìn)行解答．【經(jīng)典例題六重心的有關(guān)性質(zhì)】【例6】（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）在中，，，，點(diǎn)G是的重心，，垂足為點(diǎn)E，那么線段的長是（

）A．2 B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了三角形的重心，三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對邊中點(diǎn)的距離之比為．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，掌握三角形重心的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵；延長交于，根據(jù)勾股定理求出，再證明，結(jié)合重心的性質(zhì)可得，即可求出．【詳解】解：如圖，延長交于，，，，，點(diǎn)G是的重心，，，，，，，，，，故選：．1．（23-24九年級下·浙江溫州·開學(xué)考試）如圖，在中，，，，點(diǎn)為斜邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)為的重心，那么（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】連接并延長交于，過點(diǎn)作交的延長線于，先求出，根據(jù)三角形重心的定義得，為的中線，則，證和全等得，則，再證為的中位線得，由此可得出，據(jù)此可得的長．【詳解】解：連接并延長交于，過點(diǎn)作交的延長線于，如圖所示：在中，，，，由勾股定理得：，點(diǎn)為的重心，，為的中線，，，，，，，在和中，，，，即，，，∴為的中位線，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的重心的定義，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理，勾股定理，理解三角形的重心的定義，直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理是解決問題的關(guān)鍵．2．（24-25九年級上·上海虹口·階段練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，如果四邊形的面積為12，那么的面積為．【答案】36【分析】本題考查了三角形重心的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質(zhì)．連接，，根據(jù)為的重心，得到，證明，得到與的相似比為，設(shè)的高為，得到四邊形底邊的高為，根據(jù)平行四邊形的面積求得，據(jù)此求解即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接，∵點(diǎn)是的重心，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴點(diǎn)在線段上，，∵，∴，∴與的相似比為，設(shè)的高為，∴的高為，即的高為，∴四邊形底邊的高為，∵四邊形的面積為12，∴，∴的面積為，∵點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，∴的面積為36，故答案為：36，3．（23-24九年級上·上海·期中）如圖，在中，D是上的點(diǎn)，E是上一點(diǎn)，且．

(1)求證:；(2)若E是的重心，求的值．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定、重心的性質(zhì)，（1）證明，可得，可證，可得，即可得證；（2）利用重心的性質(zhì)可得，，由可得，即可得證．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∴，∵E是的重心，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴．【經(jīng)典例題七相似三角形的判定與性質(zhì)綜合】【例7】（24-25九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，在中，點(diǎn)分別在邊上，是的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，注意熟練運(yùn)用三角形相似的判定與性質(zhì)．過F作的平行線交與G，可得出，根據(jù)得出，即可得出的值．【詳解】解：過F作的平行線交與G，∵，F(xiàn)是的中點(diǎn)，∴，，，又∵，∴，，∴，，故選：B．1．（24-25九年級上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，已知在矩形中，M是邊的中點(diǎn)，與垂直，交直線于點(diǎn)N，連接，則下列四個結(jié)論中：①；②；③；④．正確的有（

）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④【答案】B【分析】通過證明，可得，可證；過作交于，可證四邊形是平行四邊形，可得，由直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可得；由平行線性質(zhì)可得，，可證；通過證明，可得，可求，即可得，則可求解．【詳解】解：在矩形中，，，，是邊的中點(diǎn)，，，，故①正確；如圖，過作交于，

，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，且，是的垂直平分線，，故②正確；四邊形是矩形，，，，，，，故④正確；，，，，且，，，且，，，，，，∴，故③錯誤．故選：B．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，斜邊上的中線，中垂線的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線構(gòu)造平行四邊形是解題的關(guān)鍵．2．（24-25九年級上·全國·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，分別在，，上，，，，，，則的長是．【答案】【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出和的長是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)可求出，，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，同理可得出，由相似三角形的性質(zhì)求出的長，則可求出答案．【詳解】解：，，四邊形為矩形，，，，，，，，，，，，同理可得，，，，，．故答案為：．3．（24-25九年級上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，在中，已知，，于D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從B，C兩點(diǎn)同時出發(fā)，其中點(diǎn)E沿向終點(diǎn)C運(yùn)動，速度為；點(diǎn)F沿向終點(diǎn)A運(yùn)動速度為，一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時另一個點(diǎn)也隨之停止．設(shè)它們運(yùn)動的時間為．(1)是否存在這樣的t值使的面積為18？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由；(2)t為何值時，和相似？【答案】(1)或(2)或2【分析】（1）由勾股定理求出的長，證明，由相似三角形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)三角形的面積可得出答案；（2）點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時，①當(dāng)時，，②當(dāng)時，分別列出方程求解即可．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作于，由題意得，，，，，，，，，，，，，，，，解得或，或時，的面積為18；（2）解：如圖1中，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時，①當(dāng)時，，，，②當(dāng)時，即，，當(dāng)點(diǎn)在上，點(diǎn)在上時，不存在和相似，綜上所述，或2時，和相似．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積，由相似三角形的性質(zhì)得出方程是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題八利用相似三角形的性質(zhì)求解】【例8】（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，在中，，，為上一點(diǎn)，且，在上取一點(diǎn)，若以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似，則的長為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，根據(jù)題意分當(dāng)與是對應(yīng)邊時和當(dāng)與是對應(yīng)邊時兩種情況分析即可，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，當(dāng)與是對應(yīng)邊時，，∴，∴，∴；當(dāng)與是對應(yīng)邊時，，∴，∴，∴，綜上所述，的長為或，故選：．1．（23-24九年級上·上?！るA段練習(xí)）如圖，在中，D、E分別是上的點(diǎn)，且，如果，那么（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】此題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定定理得到，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，，，，設(shè)的高為h，，設(shè)為，則為，為，，∴，故選：B．2．（24-25九年級上·上海·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，P，Q分別是，上的點(diǎn)，且，與相似，則的值為．【答案】3或12或【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)，一元二次方程的解法，注意根據(jù)已知，分類討論相似的條件，體現(xiàn)了分類討論思想．根據(jù)題意與相似，分兩種情況討論，①當(dāng)時，②當(dāng)時，分別得到比例式，代入數(shù)值，即可解答出．【詳解】解：∵與相似，①當(dāng)時，∴，即，∵，，，∴，解得，或；②當(dāng)時，∴，∴，解得：，綜上所述：或或．故答案為：3或12或．3．（24-25九年級上·河北石家莊·階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形中，E為邊上的點(diǎn)，連接，F(xiàn)為線段上一點(diǎn)，且．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)8【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根結(jié)合已知條件即可證明結(jié)論；（2）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，然后代入計算即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∵，∴；（2）解：∵四邊形是平行四邊形，，∵，，即，解得：．【經(jīng)典例題九證明三角形的對應(yīng)線段成比例】【例9】（2020·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）如圖，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)分別在的延長線，的延長線上，連接分別交于點(diǎn)則下列式子錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】∵四邊形是平行四邊形，∴AB∥CD，AD∥BC，且AB=CD，AD=BC，A、在△EBF中，∵AG∥BF，∴，故此選項(xiàng)正確；B、∵AE∥DH，∴，故此選項(xiàng)正確；C、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，故此選項(xiàng)錯誤；D、在△EBF中，∵HC∥EB，∴，又∵AD=BC，∴，故此選項(xiàng)正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線分線段成比例定理及相似三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)來分析判斷.1．（2023·黑龍江哈爾濱·二模）如圖，在中，AC和BC上分別有一點(diǎn)E和點(diǎn)H，過點(diǎn)E和點(diǎn)H分別作BC和AC的平行線交于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)G，DH交AB于點(diǎn)F，則下列結(jié)論錯誤的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出角相等，證明三角形相似即可求出對應(yīng)線段比例相等.【詳解】解：A選項(xiàng)：，.，..A選項(xiàng)正確，不符合題意.B選項(xiàng)：，，，，四邊形為平行四邊形...B選項(xiàng)正確，不符合題意.C選項(xiàng)：，，C選項(xiàng)不正確，符合題意.D選項(xiàng)：，，，，，，.D選項(xiàng)正確，不符合題意.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于是否能熟練運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)和判定.2．（23-24九年級下·全國·單元測試）已知，、分別為邊，邊上的高，且，，已知的面積為，那么的面積為．【答案】【分析】先根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比求出兩相似三角形的相似比，再根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可求出△ABC的面積．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，AM、DN分別為BC邊，EF邊上的高，且AM=3，DN=9，∴,∴S△ABC：S△DEF=1:9=S△ABC：27,,解得S△ABC=3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉相似三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.3．（2023·吉林四平·三模）在中，，分別為，上一點(diǎn)，，交于點(diǎn)．

(1)設(shè)的面積為，的面積為，且．①如圖①，連接．若，求證：；②如圖②，若，，求的值．(2)如圖③，若，，，，直接寫出的值．【答案】(1)①見解析；②(2)【分析】（1）①由可證，即可證，可進(jìn)一步推出結(jié)論；②連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．可證，推出，設(shè)，則，則可分別求出，的長，即可求出結(jié)論；（2）過點(diǎn)作，且，連接，，構(gòu)造平行四邊形，證，推出，證明再證明為直角三角形，且可求出其三邊的比，即可求出的值．【詳解】（1）解：①，，．，，即．又，，．如圖②，連接，作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

，，又，，．又，，，，設(shè)，則，．（2）如答圖（2），過點(diǎn)作，且，連接，，

則四邊形為平行四邊形．，．，，．又，，，即．，．，設(shè)，，則在中，．，，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵是能夠通過作出合適的輔助線構(gòu)造相似三角形，并且能夠靈活運(yùn)用相似三角形的判定與性質(zhì)．【經(jīng)典例題十利用相似求坐標(biāo)】【例10】（23-24九年級上·廣東廣州·期末）如圖，線段AB兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（6，6），B（8，2），以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，則線段CD的長為（）A．2 B． C．3 D．【答案】D【分析】直接利用A，B點(diǎn)坐標(biāo)得出AB的長，再利用位似圖形的性質(zhì)得出CD的長．【詳解】解：∵A（6，6），B（8，2），∴AB＝＝2，∵以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD，∴線段CD的長為：×2＝．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，解題的關(guān)鍵是熟悉位似圖形的性質(zhì)．1．（23-24八年級下·江蘇蘇州·期末）如圖，已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（b，0）（b＞1），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，且點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，若△POA和△PAB相似，則符合條件的P點(diǎn)個數(shù)是（）

A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例，分①△PAO≌△PAB，②△PAO∽△BAP兩種情況分別求解即可.【詳解】∵點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)P在直線y＝上，①當(dāng)△PAO≌△PAB時，AB＝b﹣1＝OA＝1，∴b＝2，則P(1，)；②∵當(dāng)△PAO∽△BAP時，PA：AB＝OA：PA，∴PA2＝AB?OA，∴＝b﹣1，∴(b﹣8)2＝48，解得b＝8±4，∴P(1，2+)或(1，2﹣)，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P有3個，故選D．

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，正確地分類討論是解題的關(guān)鍵.2．（23-24八年級下·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，連接．動點(diǎn)P從點(diǎn)A開始在折線段上以每秒2個單位長度的速度向點(diǎn)O移動，同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始在線段上以每秒3個單位長度的速度向點(diǎn)A移動．設(shè)點(diǎn)P、Q移動的時間為t秒，當(dāng)與相似時，點(diǎn)P的坐標(biāo)是．【答案】或【分析】由題意易得，然后可分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)時，有；②當(dāng)時，有；進(jìn)而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為、，∴，，∴，當(dāng)與相似時，則可分：①當(dāng)時，有，如圖所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；②當(dāng)時，有，如圖所示：∴，即，解得：，∴，∴，∴；綜上所述：當(dāng)與相似時，或；故答案為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023·福建廈門·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是軸上一點(diǎn)．

(1)在AB上求作點(diǎn)，使得∽要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡；在(2)在（1）的條件下，，是的中線，過點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，當(dāng)時，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）作于點(diǎn)即可；（2）求出直線，直線的解析式，構(gòu)建方程組求解．【詳解】（1）如圖，點(diǎn)即為所求；

（2）∽，：：，，，，，，，，，，，，直線的解析式為，，，，，，，直線的解析式為，由，解得，【點(diǎn)睛】本題考查作圖相似變換，一次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)確定交點(diǎn)坐標(biāo)．【經(jīng)典例題十一在網(wǎng)格中畫已知三角形相似的三角形】【例11】（23-24九年級上·上海普陀·期中）如圖，是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在格點(diǎn)上），點(diǎn)都是格點(diǎn)，下列三角形中與相似的是（

）

A．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形 B．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形C．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形 D．以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形【答案】B【分析】先計算出每條邊的長度，再進(jìn)行比較即可，選出適合的選項(xiàng)．【詳解】解：設(shè)每個正方格邊長為1，則，，∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，能夠掌握數(shù)形結(jié)合思想是解決本題的關(guān)鍵．1．（22-23九年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）如圖，在正方形網(wǎng)格上有個斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，與①相似的三角形有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】設(shè)網(wǎng)格的邊長為1，則①三角形的三邊之比是，分別求出五個三角形的三邊的比，符合這個結(jié)果就是與①相似的．【詳解】解：①三角形的三邊之比是，②中，，③中，④中，⑤中，⑥中，故與①相似的三角形的序號是③④⑤．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查兩三角形相似，從“三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似”的角度考慮．2．（23-24九年級上·上海長寧·期中）在每個小正方形的邊長都為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的三角形稱為格點(diǎn)三角形．如圖，已知是的網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)三角形，則該圖中所有與相似的格點(diǎn)三角形中，最大的三角形面積是．

【答案】4【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形中，最大的三角形的長邊等于，畫出這個相似三角形即可解決問題．【詳解】圖中所有與相似的格點(diǎn)三角形中，最大的如圖所示：

．故答案為：4．3．（24-25九年級上·浙江金華·階段練習(xí)）在的方格紙中，請按下列要求畫出格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)在圖1中將繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，畫出旋轉(zhuǎn)得到的；(2)在圖2中畫出一個與相似的，且使得相似比不為1．（畫出一個即可）(3)在圖3中，僅用無刻度直尺（不使用直角）在線段上找一點(diǎn)M，使得．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查作圖相似變換，旋轉(zhuǎn)變換等知識，（1）根據(jù)要求畫出旋轉(zhuǎn)得到的即可，旋轉(zhuǎn)后得到的的邊和原三角形對應(yīng)的邊應(yīng)成角；（2）根據(jù)直角邊的比為2，構(gòu)造相似三角形即可；（3）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)畫出圖形，作出點(diǎn)M即可．【詳解】（1）解：如圖1中，即為所求；（2）解：如圖2中，即為所求；（3）解：如圖3中，點(diǎn)M即為所求．【經(jīng)典例題十二運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決折疊問題】【例12】（24-25九年級上·陜西咸陽·期中）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)分別在邊上，把矩形沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，連接并延長交邊于點(diǎn)，則值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查翻折變換，矩形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識證明；過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，設(shè)與交于點(diǎn)O，由翻折變換可知，由矩形的性質(zhì)可知，進(jìn)而可證四邊形是矩形，得到，再根據(jù)同角的余角相等得出，可證，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，設(shè)與交于點(diǎn)O，如圖所示，則，把矩形沿折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，，四邊形是矩形，，，，，，，故選：．1．（22-23九年級上·重慶·期末）如圖，等邊三角形的邊長為5，D、E分別是邊、上的點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)A恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若，則的長是（）A．2 B．3 C． D．【答案】C【分析】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定定理.根據(jù)折疊得出，，，設(shè)，，，，證明，證，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：∵是等邊三角形，∴，，∵沿折疊A落在邊上的點(diǎn)F上，∴，∴，，，設(shè)，，，，∵，，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，即，解得：，即，故選：C．2．（24-25九年級上·重慶·階段練習(xí)）如圖，將矩形沿對角線折疊，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．若，，則的長為，的面積為．【答案】【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；由題意易得，則有，然后根據(jù)勾股定理可得，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，進(jìn)而可得，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴由折疊的性質(zhì)可知：，∴，由勾股定理可得：，即，解得：，∴，，過點(diǎn)A作于點(diǎn)H，如圖所示：∵，∴，∴，∴，∴；故答案為：，．3．（24-25九年級上·河南南陽·階段練習(xí)）問題背景：一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動課上，小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的一個結(jié)論．如圖1，已知是的角平分線，可證．(1)嘗試證明：用平行線分線段成比例的思路，利用圖1證明(2)應(yīng)用拓展：如圖2，在中，，D是邊上一點(diǎn)．連接，將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處．，，求的長；【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，從而證明，得，再利用等腰三角形的判定證，即可得證；（2）由折疊的性質(zhì)得，，結(jié)合（1）可知，，從而由比例的性質(zhì)得，利用勾股定理得，從而得即可得解．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作，交的延長線于點(diǎn)E，∵，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．（2）解：∵將沿所在直線折疊，點(diǎn)C恰好落在邊上的E點(diǎn)處，∴，，由（1）可知，，又∵，，∴，∴，∵，∴∴，∴，∴；∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義、相似三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、比例的性質(zhì)以及等腰三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十三運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決三角板問題】【例13】（2024·浙江臺州·模擬預(yù)測）將一副三角板如圖所示擺放，為等腰，，，，記交于E．若上有一點(diǎn)F滿足，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．將順時針旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)勾股定理求出的長，既可以得到答案．【詳解】解：將順時針旋轉(zhuǎn)，至，連接，，，，，，，，，，，，，，，設(shè)，，，．故選D．1．（2023·安徽亳州·模擬預(yù)測）如圖，一塊等腰直角三角板，它的斜邊，內(nèi)部的各邊與的各邊分別平行，且它的斜邊，則的面積與陰影部分的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)已知把向兩邊延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，先證明，然后求出它們的面積比即可解答．【詳解】解：把向兩邊延長，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，的面積與陰影部分的面積比為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線．2．（2024·河南南陽·模擬預(yù)測）在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的頂點(diǎn)P在邊上移動（點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合），如圖，直角三角板的一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)A，斜邊與邊交于點(diǎn)Q，當(dāng)為等腰三角形時，的長為．【答案】2或【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理等知識，先證明，得到，然后分當(dāng)時，當(dāng)時，兩種情況分類討論求解即可．【詳解】解：如圖1所示，由題意得：，∵，，∴，；∵，∴，∴，∴，即，如圖2所示，當(dāng)時，∴，∴；如圖3所示，當(dāng)時，∴，∴，∴，∴，∴；∴綜上所述，當(dāng)為等腰三角形時，的長為2或．故答案為：2或．3．（24-25九年級上·山西太原·開學(xué)考試）如圖，四邊形為矩形，分別為邊上的中點(diǎn)，將一足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)上，并繞著點(diǎn)在AD下方旋轉(zhuǎn)，兩直角邊(或直角邊所在直線)分別與矩形的邊交于點(diǎn)．(1)如圖1，當(dāng)三角板的一條直角邊交AB于點(diǎn),另一條直角邊交于點(diǎn)時，求證：．(2)如圖2，當(dāng)三角板的一條直角邊與矩形的邊相交于點(diǎn)，另一條直角邊交CD邊于點(diǎn)時，連接并延長與的延長線交于點(diǎn)，小圣發(fā)現(xiàn)，試說明理由．(3)在（2）的條件下，若，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)落在的三等分點(diǎn)時，求的長．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)或【分析】本題綜合考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟記相關(guān)結(jié)論即可．（1）由題意得：四邊形為正方形，進(jìn)而得；證得，即可；（2）證得，進(jìn)而得，再證得，即可求解；（3）證可得，分類討論點(diǎn)落在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)和點(diǎn)落在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)兩種情況即可求解；【詳解】（1）證明：∵四邊形為矩形，分別為邊上的中點(diǎn)，∴四邊形為矩形，∵，分別為邊上的中點(diǎn)，∴∴四邊形為正方形，∴，∵∴，∵，∴，∴，∴∴（2）證明：∵∴，∵，∴∴∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴（3）解：∵，，∴，∴，若點(diǎn)落在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則,∴，∴，∴；若點(diǎn)落在靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，則,∴，∴，∴；綜上所述：或【經(jīng)典例題十四運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決裁剪問題】【例14】（23-24九年級下·山東煙臺·期末）如圖所示，一張等腰三角形紙片，底邊長，底邊上的高為，現(xiàn)沿底邊依次從下往上裁剪寬度均為的矩形紙條，已知剪得的紙條中有一張是正方形，則這張正方形紙條是（

）A．第5條 B．第6條 C．第7條 D．第8條【答案】C【分析】本題考查相似三角形的性質(zhì)與判定，根據(jù)相似三角形的相似比求得頂點(diǎn)到這個正方形的的線段長，再根據(jù)矩形的寬求解即可．【詳解】解：如圖，已知剪得的紙條中有一張是正方形，則正方形中平行于底邊的邊長為，即，過點(diǎn)A作于點(diǎn)G，交于點(diǎn)F，由題意得，，，∴設(shè)從頂點(diǎn)到這個正方形的的線段長為，∵，∴，∴，即，解得，∴，∵，∴則這張正方形紙條是第7條，故選：C．1．（2015·山東濟(jì)南·三模）某風(fēng)箏廠準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格相同但顏色不同的布料生產(chǎn)一批形狀如圖所示的風(fēng)箏，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形各邊的中點(diǎn)．其中陰影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪兩種布料時，均不計余料）．若生產(chǎn)這批風(fēng)箏需要甲布料30匹，那么需要乙布料（

）

A．15匹 B．20匹 C．60匹 D．30匹【答案】D【分析】由三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)易得：，，，，則可得，從而可求得結(jié)果．【詳解】解：連接，

由E、F、G、H分別是的中點(diǎn)，∴，∴，相似比為，面積比為，即；同理，故，故，又∵，∴，即所需兩種布料的面積相等，故需要乙布料30匹．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中位線，相似三角形的性質(zhì)與判定，得到關(guān)系式：是本題的關(guān)鍵．2．（22-23八年級下·浙江紹興·期末）母親節(jié)，小敏準(zhǔn)備送禮物給媽媽，他用正方形紙板，制作一個正方體禮品盒（如圖所示裁剪）．已知正方形紙板邊長為10分米，則這個禮品盒的邊長分米．

【答案】【分析】設(shè)分米，判斷出和為等腰直角三角形，證明，得到，可求出，即可得到正方體禮品盒的棱長．【詳解】解：如圖，在正方形中，分米，

設(shè)分米，由此裁剪可得：和為等腰直角三角形，∴，∴，即，解得：分米，∴分米，∴正方體禮品盒的棱長為分米，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，讀懂裁剪的方法，找到相似三角形．3．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙兩位同學(xué)將兩張全等的直角三角形紙片進(jìn)行裁剪和拼接，嘗試拼成一個盡可能大的正方形．要求：①直角三角形紙片的兩條直角邊長分別為和；②在兩張直角三角形紙片中各裁剪出一個圖形，使它們的形狀和大小都相同；③將這兩個圖形無縫隙拼成一個正方形，正方形的邊長盡可能大．甲同學(xué)的方案乙同學(xué)的方案請根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)計算甲、乙兩位同學(xué)方案中拼成的正方形的邊長，并比較大?。?2)請設(shè)計一個方案，使拼成的正方形的邊長比甲、乙兩位同學(xué)拼成的正方形都大．（方案要求：在答題卷上的兩個直角三角形中分別畫出裁剪線，標(biāo)出所有裁剪線的長，求出這個正方形的邊長．）【答案】(1)甲同學(xué)方案中拼成的正方形邊長為，乙同學(xué)方案中拼成的正方形邊長為，甲同學(xué)方案中拼成的正方形邊長較大．(2)方案見解析．【分析】（1）由直角三角形的最短邊可得甲同學(xué)方案拼成的正方形邊長，根據(jù)勾股定理，得．證，，得，設(shè)，則，求解得乙同學(xué)方案中拼成的正方形邊長為，進(jìn)而比較即可得解．（2）根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)以及相似三角形的判定及性質(zhì)設(shè)計即可得解．【詳解】（1）解：甲同學(xué)方案中拼成的正方形邊長為．對于同學(xué)，如圖，由拼成條件可得，記直角三角形為，根據(jù)勾股定理，得．∵，，，∴，，∵，，，，，設(shè)，則∴，解得，乙同學(xué)方案中拼成的正方形邊長為．，甲同學(xué)方案中拼成的正方形邊長較大．（2）解：其中一張直角三角形紙片的裁剪圖如下邊長計算如下：如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∴，∴，根據(jù)拼接要求，為等腰直角三角形，，∴，，∴，∴，∴，，設(shè)，則，，∵，，∴，∴即，解得．∴根據(jù)勾股定理，得，即滿足要求的正方形邊長為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，正方形的判定以及直角三角形的兩銳角互余，熟練掌握勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十五運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決動點(diǎn)問題】【例15】（23-24九年級上·浙江寧波·期末）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)沿對角線以1cm/s的速度向點(diǎn)A作勻速運(yùn)動，點(diǎn)Q從A點(diǎn)出發(fā)沿以的速度向點(diǎn)B作勻速運(yùn)動，若假設(shè)運(yùn)動時間為t，則當(dāng)時，t的值為（）A．2s B．s C．s D．s【答案】B【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，矩形及三角形的綜合，解題的關(guān)鍵是三角形的全等和相似的綜合運(yùn)用．先根據(jù)勾股定理求出，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，證明，推出，分別表示和的長，根據(jù)，進(jìn)而，求出t的值，進(jìn)而作答即可．【詳解】解：∵矩形，∴，，在中，，過點(diǎn)P作于點(diǎn)M，如圖，∴，∴，∵，∴，在與中，，∴，∴，，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，故選：B．1．（23-24九年級上·安徽宿州·期中）如圖，在矩形中，分別是上的點(diǎn)，，若與相似，則的長為（

）

A．3或 B．3或12 C．3、12或 D．3、12或【答案】D【分析】設(shè)，則，分和兩種情況討論，結(jié)合相似三角形的性質(zhì)列式求解，即可獲得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，，設(shè)，則，分兩種情況討論：①若，則有，即，整理可得，解得，∴的長為3或12；②若，則有，即，解得，∴的長為．綜上所述，的長為3或12或．故選：D．2．（24-25九年級上·廣東佛山·階段練習(xí)）如圖，．點(diǎn)在上移動，當(dāng)以為頂點(diǎn)的三角形與相似時，則的長為．

【答案】或【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，一元二次方程的解法．根據(jù)題意，分兩種情況：和，然后分別利用相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)線段成比例列出方程求解即可得出答案．【詳解】解：當(dāng)，∴，設(shè)，，，解得；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；∴，當(dāng)，∴，設(shè)，，，解得；經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，綜上所述，的長度為或，故答案為：或．3．（24-25九年級上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）如圖，的兩條直角邊，，，點(diǎn)D沿從A向B運(yùn)動，速度是/秒，同時，點(diǎn)E沿從B向C運(yùn)動，速度為/秒．動點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時運(yùn)動終止．連接、、．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，解答下列問題：(1)___________，___________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)求當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動時間t為多少秒時，與相似；(3)在運(yùn)動過程中，當(dāng)時，求t的值．【答案】(1)，(2)秒或秒(3)【分析】本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)：兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等．也考查了勾股定理以及分類討論思想的運(yùn)用．（1）設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，根據(jù)題意可得出、含t的代數(shù)式；（2）分類：當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，，然后分別根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出的值；（3）先計算出，若，則易證得，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得到比例線段求出．【詳解】（1）解：∵的兩條直角邊，，，∴，∵點(diǎn)D沿從A向B運(yùn)動，速度是/秒，同時，點(diǎn)E沿從B向C運(yùn)動，速度為/秒，∴，，∴，，故答案為：，（2）解：當(dāng)，即時，，，，；當(dāng)，即時，，，，；所以當(dāng)動點(diǎn)運(yùn)動秒或秒時，與相似；（3）解：如圖，過點(diǎn)作于，∴，∴，∴，∴，解得，，∴，，，，，，，，∴，∴，∴，（秒）．【經(jīng)典例題十六運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決最值問題】【例16】（23-24九年級下·上海·單元測試）如圖，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC內(nèi)部或BC邊上的一個動點(diǎn)(與B、C不重合)，以D為頂點(diǎn)作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．兩三角形重疊部分是四邊形AGDH，當(dāng)四邊形AGDH的面積最大時，最大值是多少？()A．12 B．11.52 C．13 D．8【答案】A【分析】先判斷面積最大時點(diǎn)D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8-GA，得到S矩形AGDH=-AG2+8AG，確定極值，AG=3時，面積最大，于是得到結(jié)論．【詳解】∵AB2+AC2=100=BC2，∴∠BAC=90°，∵△DEF∽△ABC，∴∠EDF=∠BAC=90°，如圖1延長ED交BC于M，延長FD交BC于N，∵△DEF∽△ABC，∴∠B=∠E，∵EF∥BC，∴∠E=∠EMC，∴∠B=∠EMC，∴AB∥DE，同理：DF∥AC，∴四邊形AGDH為平行四邊形，∵∠EDF=90°，∴四邊形AGDH為矩形，∵GA⊥AC，∴四邊形AGDH為正方形，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時，四邊形AGDH的面積不可能最大，如圖2，點(diǎn)D在內(nèi)部時（N在△ABC內(nèi)部或BC邊上），延長GD至N，過N作NM⊥AC于M，∴矩形GNMA面積大于矩形AGDH，∴點(diǎn)D在△ABC內(nèi)部時，四邊形AGDH的面積不可能最大，只有點(diǎn)D在BC邊上時，面積才有可能最大，如圖3，點(diǎn)D在BC上，∵△DEF∽△ABC，∴∠F=∠C，∵EF∥BC．∴∠F=∠BDG，∴∠BDG=∠C，∴DG∥AC，∴△BGD∽△BAC，∴，∴，∴，∴AH=8-GA，S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-AG）=-AG2+8AG，當(dāng)AG=-=3時，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大=12．故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形，矩形，極值的確定，勾股定理的逆定理，解本題的關(guān)鍵是作出輔助線，1．（14-15八年級下·江蘇無錫·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，直角梯形的位置如圖所示，，，．M、N分別在線段，線段上運(yùn)動，當(dāng)?shù)拿娣e達(dá)到最大時，存在一種使得周長最小的情況，則此時點(diǎn)M的坐標(biāo)為(

)．

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題．過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作，分別交于兩點(diǎn)Q、G，則，因?yàn)槿〉米畲笾凳菚r，的面積最大值，設(shè)O關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，交于M，此時，從而求得M的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)P，過點(diǎn)N作，分別交于兩點(diǎn)Q、G，則，

∵，∴當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)B重合，取得最大值時，的面積最大值，設(shè)O關(guān)于的對稱點(diǎn)D，連接，交于M，

此時的面積最大，周長最短，∵，∴，∴，即，∴，∴M的坐標(biāo)．故選：B．2．（24-25九年級上·陜西西安·階段練習(xí)）如圖，，，以為斜邊在的右側(cè)作，其中，．當(dāng)長度最大時，的長度為．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，構(gòu)造出與相似的三角形得出取最大時的情況是本題解題的關(guān)鍵；以為斜邊構(gòu)造與相似的直角三角形，然后利用三角形三邊關(guān)系得出最大時的情況，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：作直角三角形，使，，，連接，

∵，，∴設(shè)，，∴，∵，，∴，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，當(dāng)在同一直線上時，即時，長度最大，在中，由勾股定理得，∴，∴,∴，故答案為：。3．（2024·陜西咸陽·二模）【問題探究】（1）如圖1，和是兩個全等的三角形（點(diǎn)A、B、C的對應(yīng)點(diǎn)分別是D、A、E），點(diǎn)E在的延長線上，交于點(diǎn)F，．求與的比值；【問題解決】（2）如圖2，四邊形是一個人工觀光湖，米，米，．現(xiàn)要把四邊形觀光湖擴(kuò)建成五邊形，根據(jù)設(shè)計要求要使，B、F之間的距離等于，．并沿修建一座觀光橋，為容納更多的游客，要使觀光橋的長度最大．當(dāng)觀光橋的長度最大時，求的長．【答案】（1）；（2）米【分析】此題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握相似三角形的判定和添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．（1）證明，進(jìn)一步即可得到，結(jié)論得證；（2）連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G．延長交于點(diǎn)M，證明四邊形、是矩形，求出，進(jìn)一步得到，延長到點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交的延長線于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C、B、F共線時，即點(diǎn)F與點(diǎn)重合時的值最大，最大值為180，證明，則，得到．，則，證明四邊形是矩形，則．，求出即可．【詳解】解：（1）．．．，，（2）連接，過點(diǎn)B作于點(diǎn)G．延長交于點(diǎn)M，∵∴四邊形是矩形，∴∵∴∵∴四邊形是矩形，∴，，∵∴∵B、F之間的距離等于，延長到點(diǎn)，使得，過點(diǎn)作于點(diǎn)H，交的延長線于點(diǎn)由圖可得．當(dāng)點(diǎn)C、B、F共線時，即點(diǎn)F與點(diǎn)重合時，的值最大，最大值為180，，，即．，∵∴四邊形是矩形，∴．：．∴當(dāng)觀光橋的長度最大時，的長為米【經(jīng)典例題十七相似三角形的綜合問題】【例17】（2024·山東聊城·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)A0,3，，將線段平移得到線段．若，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形的變換—平移，相似三角形的判定和性質(zhì)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖所示：則，∵點(diǎn)A0,3，，∴，∵，，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：A．1．（2021·河北滄州·一模）如圖，中，，是中線，是上一點(diǎn)，作射線，交于點(diǎn)，若，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】作，交于點(diǎn)，則有，根據(jù)，，可得，，再根據(jù)是邊上的中線，得到，；根據(jù)可得，則，化簡即可得到結(jié)果．【詳解】解：如圖，作，交于點(diǎn)，∴∴，又∵，，∴，∴，∴∵是邊上的中線，∴∴，∴，∵∴∴∴，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·山西陽泉·一模）如圖，菱形中，對角線與相交于點(diǎn)O．將線段繞點(diǎn)B順時針方向旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A落在上的點(diǎn)H．點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)P．若，則線段的長為．【答案】5【分析】過E點(diǎn)作BD的垂線，根據(jù)菱形的性質(zhì)可知，，根據(jù)勾股定理可以得出，所以，OH=1，HF=3，因?yàn)镋、F是BC和BO的中點(diǎn)，由中位線定理可以得出EF，OF的長，再根據(jù)相似三角形，列出比例：，從而求出OP的長度，最后由求得結(jié)果．【詳解】解：過E點(diǎn)作BD的垂線，與BD交于F點(diǎn)，∵四邊形ABCD是菱形，∴∴∵，∴,，∴，∴，∴，∵E是BC的中點(diǎn)，，∴，，∴，∴，∴，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形，熟練掌握菱形的相關(guān)性質(zhì)，勾股定理的適用范圍，以及相似三角形的應(yīng)用是解決本題的關(guān)鍵．3．（23-24九年級下·湖北武漢·階段練習(xí)）【問題背景】（1）如圖1，，，．求證：；【變式遷移】（2）如圖2，E為正方形ABCD外一點(diǎn)，，過點(diǎn)D作，垂足為F，連接CF．求的值；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，A是內(nèi)一點(diǎn)，，，，，，直接寫出AB的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證明，利用線段比等于相似比即可求證；（2）證明，利用線段比等于相似比即可求得；（3）作輔助線，根據(jù)已知條件，先求得EF的長，再根據(jù)勾股定理求得AB．【詳解】解：（1）如圖，∵，，，∴，且，∴，∴，∴（2）如圖2，連接BD，∵，，∴在正方形ABCD中，，∴，，，∴；（3）如圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接又即【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線，構(gòu)造三角形相似，是解題的關(guān)鍵．【經(jīng)典例題十八運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)解決多結(jié)論問題】【例18】（24-25九年級上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點(diǎn)F是的重心，連接并延長交于G點(diǎn)，過點(diǎn)F作的平行線分別交、于D點(diǎn)、E點(diǎn)，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題主要考查重心的性質(zhì)，熟練掌握重心的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；由題意易得是的中線，然后根據(jù)重心的性質(zhì)可進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：是的中線，∴，∵，且過重心F，∴，，，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；故D選項(xiàng)不正確；故選D．1．（2024·安徽六安·模擬預(yù)測）在四邊形中，點(diǎn)E是邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），且，下列說法錯誤的是（

）A．B．與不一定相似C．當(dāng)點(diǎn)E為中點(diǎn)時，兩兩相似D．當(dāng)兩兩相似時，點(diǎn)E一定為中點(diǎn)【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，逐一判斷，即可解答，熟知相似三角形的判定條件和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、如圖1，，而，，，，故A正確；B、如圖2，，且，此時與一定不相似，故B正確；C、，，當(dāng)E為中點(diǎn)時，，，，此時，故C正確；D、構(gòu)造如圖3的矩形，此時兩兩相似，但明顯不是的中點(diǎn)，故D錯誤，故選：D．2．（2023·四川巴中·模擬預(yù)測）如圖，已知菱形的邊長為2，對角線相交于點(diǎn)、點(diǎn)分別是邊上的動點(diǎn)，，連接，下列說法錯誤的是（）A．是等邊三角形 B．的最小值是1C．當(dāng)最小時 D．當(dāng)時，【答案】B【分析】由菱形的性質(zhì)得出，從而得出是等邊三角形，證明得出，，即可判斷A；當(dāng)時，的值最小，此時也最小，由勾股定理求出即可判斷B；證明得出，證明得出，即可得出，從而判斷C；證明得出，結(jié)合已知條件即可判斷D．【詳解】解：四邊形是邊長為的菱形，，，是等邊三角形，，，是等邊三角形，，，，，，，，為等邊三角形，故A正確，不符合題意；，當(dāng)最小時，也最小，如圖，當(dāng)時，的值最小，，，，，的最小值為，故B錯誤，符合題意；，，，，，，，，，，，故C正確，不符合題意；如圖，，則，，，，，，，，，，，故D正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短、勾股定理等知識，證明是解此題的關(guān)鍵．3．（23-24八年級下·福建福州·期末）如圖，為等腰直角三角形，，，為直角邊上任意一點(diǎn)，以線段為斜邊做等腰，連接，下列說法錯誤的是（）A． B．C．四邊形面積的最大值為 D．【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．由與都為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，且四個銳角為，利用等式的性質(zhì)得到；由兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的三角形相似得到與相似；利用相似三角形對應(yīng)角相等及等式的性質(zhì)得到一對內(nèi)錯角相等，利用內(nèi)錯角相等兩直線平行得到；根據(jù)的面積為定值，若四邊形的面積最大，則的面積最大；由高一定，面積最大即為最長，故四邊形面積最大時，、重合，求出此時面積，即為最大面積，即可對于選項(xiàng)做出判斷．【詳解】∵，都為等腰直角三角形，，，，∴，即，故選項(xiàng)A正確，不符合題意；，由①知，；故B選項(xiàng)正確，不符合題意；，即，故D選項(xiàng)正確，不符合題意；的面積為定值，若四邊形的面積最大，則的面積最大；中，邊上的高為定值，若的面積最大，則的長最大；由可知：當(dāng)最長時，也最長；故四邊形面積最大時，、重合，此時，,四邊形的面積為：故選項(xiàng)C錯誤，符合題意；故選：C1．（24-25九年級上·內(nèi)蒙古包頭·階段練習(xí)）如圖，下列條件中不能判定和相似的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定逐項(xiàng)排除即可，熟練掌握相似三角形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：、∵，，∴，此選項(xiàng)不符合題意；、∵，，∴，此選項(xiàng)不符合題意；、由不能判定和，此選項(xiàng)符合題意；、∵，∴，∵，∴，此選項(xiàng)不符合題意；故選：．2．（24-25九年級上·上海金山·階段練習(xí)）如圖，已知E是正方形的邊的中點(diǎn)，P是邊上的一個動點(diǎn)，下列條件不能推出與相似的是（）

A．P是邊的中點(diǎn) B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．利用正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：A．∵四邊形是正方形，∴，，∵E是正方形的邊的中點(diǎn)，∴當(dāng)P是中點(diǎn)時，∴，∴，∴不能推出與相似，故A符合題意；B．∵，∴，故選項(xiàng)B不符合題意；C．∵，，∴，故選項(xiàng)C不符合題意；D．∵，∴，∵，∴，又∵，∴，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：A．3．（24-25九年級上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)分別在菱形的邊、上，且，交于點(diǎn)G，延長交的延長線于點(diǎn)H，若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查菱形性質(zhì)，相似三角形判定及性質(zhì)等．根據(jù)題意設(shè)，則，，，證明，，繼而得到本題答案．【詳解】解：∵四邊形是菱形，∴，∵，，∴設(shè)，則，，，∵，∴，，∴，，∴，∴，∴，故選：D．4．（24-25九年級上·遼寧丹東·期中）已知菱形中，點(diǎn)G是對角線上一點(diǎn)，分別交邊和的延長線于點(diǎn)．若，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，證得是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，，再由平行線的性質(zhì)可得，由三角形全等的判定得出，得出，，從而得到，可證得，根據(jù)相似比即可求解．【詳解】是菱形，，，，在與中，，，，，，，，，,，，解得，,故選：D．5．（24-25九年級上·北京順義·期中）據(jù)《墨經(jīng)》記載，在兩千多年前，我國學(xué)者墨子和他的學(xué)生做了“小孔成像”實(shí)驗(yàn)，闡釋了光的直線傳播原理，小孔成像的示意圖如圖所示，光線經(jīng)過小孔O，物體在幕布上形成倒立的實(shí)像（點(diǎn)A、B的對應(yīng)點(diǎn)分別是C、D）．若物體的高為，小孔O到地面距離為，則實(shí)像的高度（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題