§1第一章基礎(chǔ)知識(shí)

1判斷題：

1.1設(shè)A與8都是非空集合，那么=且xwB}。()

1.2AXB=BXA()

1.3只要f是4到入的?一一映射，那么必有唯一的逆映射()

1.4假如夕是A到入的--映射，則夕[0(a)]=a。()

1.5集合A到B的可逆映射一定是A到B的雙射。()

1.6設(shè)A、B、。都是非空集合，則AxB到。的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。()

1.7在整數(shù)集Z上,定義“。"：aob=ab(a,bGZ),則“。”是Z的一種二元運(yùn)算。

()

1.8整數(shù)的整除關(guān)系是Z的一種等價(jià)關(guān)系。()

2填空題：

2.1若A={0,1},則AxA=o

2.2設(shè)A=[1,2),B={a,b},則AXB=。

2.3設(shè);{1,2,3}B={a,b)，則AxB=_______。

2.4設(shè)八二{1,2},則AxA=。

2.5設(shè)集合A={-1,()4}；。={1,2},則有AxA=o

2.6假如/是A與■間的一一映射，。是A的一種元，則廣廿(〃)]二。

2.7設(shè)A={a1,a?,…aj,則A上不一樣的二元運(yùn)算共有個(gè)。

2.8設(shè)A、B是集合，|A|=|B|=3,則共可定義個(gè)從A到B的映射，其中

有個(gè)單射，有個(gè)滿(mǎn)射，有個(gè)雙射。

2.9設(shè)A是n元集，B是m元集，那么A到B的映射共有___________個(gè).

2.10設(shè)A={a,b,c},則A到A的一映射共有個(gè).

2.11設(shè)A二{a,b,c,d,e},則A的一一變換共有個(gè).

2.12集合A的元間的關(guān)系?叫做等價(jià)關(guān)系，假如?適合下列三個(gè)條件：

2.13設(shè)A={a.b,c),那么A的所有不一樣的等價(jià)關(guān)系的個(gè)數(shù)為

2.14設(shè)?是集合A的元間的一種等價(jià)關(guān)系，它決定A的一種分類(lèi)：是

兩個(gè)等價(jià)類(lèi)。則[〃]=,]=0

2.15設(shè)集合A有一種分類(lèi)，其中人與&是A的兩個(gè)類(lèi)，假如4工4廠那么

A-nAj=

____o

2.16設(shè)A二{1,2,3,4,5,6),規(guī)定A的等價(jià)關(guān)系?如下：a?

bu>2|a-b,那么A的所有不一樣的等價(jià)類(lèi)是。

2.17設(shè)M是實(shí)數(shù)域R上的全體對(duì)稱(chēng)矩陣的集合，?是M上的協(xié)議關(guān)系，則由?

給出M的所有不一樣的等價(jià)類(lèi)的個(gè)數(shù)是。

2.18在數(shù)域F上的所有n階方陣的集合M”(F)中，規(guī)定等價(jià)關(guān)系~：4竺=秩

6)=秩也)，則這個(gè)等價(jià)關(guān)系決定的等價(jià)類(lèi)有個(gè)。

2.19設(shè)MIW(F)是數(shù)域F上的所有100階方陣的集合,在Woo(F)中規(guī)定等價(jià)關(guān)

系~如下：A'BO秩。)=秩(8),則這個(gè)等價(jià)關(guān)系所決定的等價(jià)類(lèi)共有個(gè)。

2.20若M=｛有理數(shù)域上的所有3須方陣｝,定義A~Bc秩(A)二秩(E),則

由“~“確定的等價(jià)類(lèi)有個(gè)。

3證明題：

3.1設(shè)。是集合A至ijB的一種映射，對(duì)于%,規(guī)定關(guān)系“~：

a?boMa)=(!)(b)證明：八”是A的一種等價(jià)關(guān)系.

3.2在復(fù)數(shù)集C中規(guī)定關(guān)系：a-b^\a\=\b\證明：是c的一種等價(jià)關(guān)

系.

3.3在n階矩陣的集合也⑺中規(guī)定關(guān)系….證明：…是

%(產(chǎn))的一種等價(jià)關(guān)系.

3.4設(shè)“~”是集合A的一種關(guān)系，且滿(mǎn)足：(1)對(duì)任意awA,有(2)對(duì)任

意若。~"，。~。,就有〃證明：”是A的一種等價(jià)關(guān)系.

3.5設(shè)G是一種群，在G中規(guī)定關(guān)系人O存在于gwG,使得

"二g-"g.證明：“"是G的一種等價(jià)關(guān)系.

第二章群論

1判斷題：

§2.1群的定義.

1.1設(shè)非空集合G有關(guān)一種乘法運(yùn)算滿(mǎn)足如下四條:

(A)G對(duì)于這個(gè)乘法運(yùn)算都是封閉的；

(B)Va,b,cG,均有(ab)c=a(bc)成立;

(0存在G,使得VaG,均有ea二a成立；

(D)VaG,都存在aG,使得aa二e成立。

則G有關(guān)這個(gè)乘法運(yùn)算構(gòu)成一種群。（）

1.2設(shè)非空集合G有關(guān)一種乘法運(yùn)算滿(mǎn)足如下四條:

A）GX寸于這個(gè)乘法運(yùn)算是封閉的；

B）Va,b,c^G,均有（ab）c=a（bc）成立；

C）存在EG,使得VaEG,均有ae「=a成立；

D）VaeG,都存在a^EG,使得成立。

則G有關(guān)這個(gè)乘法運(yùn)算構(gòu)成一種群。（）

1.3設(shè)G是一種非空集合,在G中定義了一種代數(shù)運(yùn)算,稱(chēng)為乘法,假如（1）G對(duì)乘法運(yùn)算

是封閉的（2）G對(duì)乘法適合結(jié)合律（3）G對(duì)乘法適合消去律,則G構(gòu)成群。（）

1.4設(shè)G是一種有限非空集合,G中定義了一種代數(shù)運(yùn)算稱(chēng)為乘法，假如（1）.G對(duì)乘法運(yùn)

算是封閉的；（2）.乘法適合結(jié)合律與消去律,則G對(duì)所給的乘法構(gòu)成一種群。（）

1.5實(shí)數(shù)集R有關(guān)數(shù)的乘法成群。（）

1.6若G是一種n階型,aG,a表達(dá)a的階，則|a|。（）

1.7若|a|=2,|b|=7,ab=ba,則|ab|=14。

1.8設(shè)Q為有理數(shù)集，在Q上定義二元運(yùn)算“。”，aob=a+b+ab（Va^e^^（&°））

構(gòu)成一種群。（）

§2.2變換群、置換群、循環(huán)群

1.9一種集合上的全體---變換作成一種變換群。（）

1.10一種集合A的所有變換作成一種變換群G.（）

1.11集合A的所有的一一變換作成一種變換群。（）

1.12素?cái)?shù)階群都是互換群。（）

1.13p（P為質(zhì)數(shù)）階群G是循環(huán)群.（）

1.14素?cái)?shù)階的群G一定是循環(huán)群.（）

1.153次對(duì)稱(chēng)群,3是循環(huán)群。（）

1.16任意群都同構(gòu)于一種變換群.（）

1.17有限群都同構(gòu)于一種置換群。（）

1.18任何一種有限群都與一種循環(huán)群同構(gòu)。（）

1.19在5次對(duì)稱(chēng)群‘5中，（15）（234）的階是6.（）

1.20在4次對(duì)稱(chēng)群S1中，（12）（324）的階為6。（）

1.21在中，（12）（345）的階是3。（）

1.22任意有限群都與一種互換群同構(gòu)。（）

1.23由于％階群是互換群，因此6?階群也為互換群。（）

1.246階群是互換群。（）。

1.254階群一定是互換群。（）

1.264階群一定是循環(huán)群。（）

1.27循環(huán)群一定是互換群。（）

1.28設(shè)G是群，a,b￡G,|a|=2,|b|=3,則|ab|=6。()

1.2914階互換群一定是循環(huán)群。()

1.30假如循冰群G=(。)中生成元〃的階是無(wú)限的，則G與整數(shù)加群同構(gòu)。

()

1.31有理數(shù)加群Q是循環(huán)群。()

1.32若一種循環(huán)群G的生成元的個(gè)數(shù)為2,則G為無(wú)限循環(huán)群。()

§2.3子群、不變子群。

1.33若H是群G的一種非空子集，且VajEH均有ab^H成立，則H是G的

一種子群。()

1.34若H是群G的一種非空有限子集，且Va,b￡H均有ab^H成立，則II是

G的一種子群。()

1.35循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。()

1.36假如群G的子群H是循環(huán)群，那么G也是循環(huán)群。()

1.37一種階是11的群只有兩個(gè)子群。()

1.38有限群G中每個(gè)元素。的階都整除群G的階。()

1.39設(shè)G是一種n階群，m|n,則G中一定有m階子群存在。()

1.40若G是60階群，則G有14階子群。(

1.41設(shè)G是60階群，則G有40階子群。()

1.42階為100的群一定含25階元。()

1.43階為100的群一定含25階子群。()

1.44階為81的群G中，一定具有3階元。()

,則〃MG。”"二”。

1.45設(shè)H是群G的一種非空子集

()

,則

1.46設(shè)H是群G的一種非空子集HWGoHHtH

()

1.47群G的子群〃是不變子群的充要條件為玖u"。

()

1.48群G的一種子群“元素個(gè)數(shù)與H的每一種左陪集?！钡膫€(gè)數(shù)相等.

()

1.49指數(shù)為2的子群不是不變子群。()

1.50若NAH,I】AG,則NAG。()

1.51若N是群G的不變子群,N是群N的不變子群，則N是G的不變子群。

()

1.52設(shè)HWG,KWG,貝IJHKWG。()

1.53若N?N,"G那么NH4G。()

§2.4商群、群的同態(tài)定理。

1.54群之間的同態(tài)關(guān)系是等價(jià)關(guān)系。()

1.55循環(huán)群的商群是循環(huán)群。()

1.56設(shè)f：GfG是群G到群3的同態(tài)滿(mǎn)射，aeG,則a與fQ)的階相

似。()

1.57設(shè)G是有限群，HWG,則|%|=回。()

/H\H\

1.58若°是群G到G的同態(tài)滿(mǎn)射，N是G的一種不變子群，則°(N)是G

的不變子群，且%3%(N)。()

1.59設(shè)f是群G到群G的同態(tài)映射，H△G,則f(H)△G。

()

1.60設(shè)f是群G到群G的同態(tài)映射，HWG則f(H)WG。

()

1.61若是群G到的一種同態(tài)滿(mǎn)射,N是G的一種不變子群,貝NN)是的不變子群,

且工

1.62若是群G到的同態(tài)滿(mǎn)射，是的一種不變子群，()表達(dá)N的原象，則0是G不

變子群，且=。()

------(p-----——-I-----

1.63設(shè)G和G都是群，G=G,NAG,N=9(N),則MG,且

G/N三GIN?()

2填空題：

2.1在群G中，a,b￡G,a2=e,a-lba=b2,則|b|=。

2.2在互換群G中，a,b￡G,|a|=8,|b|=3,則b|=。

23設(shè)a是群G的元,a的階為6,則a1的階為。

2.4設(shè)a是群G中的一種8階元,則a的階為_(kāi)______。

2.5設(shè)G是互換群，a、b^G,|a|=5,|b|=7,則|ab|=。

2.6群AG中有個(gè)1階元。

2.7在Ss中，4階元的個(gè)數(shù)為。

2.8在，中，3階元的個(gè)數(shù)為。

2.9設(shè)G為群，awG,若同=12,則,*卜。

n

2.10設(shè)群G={e,a?a2,好口，運(yùn)算為乘法，e為G的單位元，則a.

2.11若a,b是互換群G中的5階元和階元，則ab的階為。

2.12在整數(shù)加群Z中，<4>A<6>=。

2.1310階互換群G的所有子群的個(gè)數(shù)是o

2.14階數(shù)最小的非互換群的階數(shù)是o一種有限非可換群至少具有

____________個(gè)元素.

2.15任意群G一定同構(gòu)于G的一種。

2.16n次對(duì)稱(chēng)群Sn的階是。

2.179-置換f之3456781分解為互不相交的循環(huán)之積是

(543961827)

_______O

2.18n階有限群G一定______________置換群。

2.19每一種有限群都與一種_________群同構(gòu)。

(12345)

(T=

2.20已知(3125為臬上的元素，則0'=。

2.21給出一種5-循環(huán)置換乃二(31425),那么乃一'二o

2.22在4次龍?稱(chēng)群Si中，(134)2(312)-1______.

2.23在4次對(duì)稱(chēng)群Si中，(24)(231)=,(4321)~'=

,(132)的階為。

2.24在6次對(duì)稱(chēng)群S中，(1235)(36)=。

2.25(2431)-1=。

2.26設(shè)群G的元a的階是n,則ak的階是________.

2.27設(shè)群G中元素。的階為〃？，假如d二e,那么，〃與〃存在整除關(guān)系為

2.28已知群G中的元素〃的階等于50,則/的階等于。

2.29設(shè)G=(幻為循環(huán)群，那么(1)若。的階為無(wú)限，則G同構(gòu)于

,(2)若。的階為n,則G同構(gòu)于。

2.30若群G是一種6階循環(huán)群，則G與(模6剩余類(lèi)同構(gòu))

同構(gòu)。

2.31設(shè)G=(a)是循環(huán)群，則G與?！ǖ氖Ｓ囝?lèi)加群同構(gòu)的充要條件是

2.32整數(shù)加群(Z,+)的兩個(gè)生成元是一+1和-1?

2.33整數(shù)加群Z有__________個(gè)生成元.

2.34整數(shù)加群(Z,+)的生成元是o

2.35無(wú)限循環(huán)群G=(a)的生成元為_(kāi)a的逆___________。

2.36無(wú)限循環(huán)群G中能作為G的生成元的元素共有個(gè)。

2.37若G=(a)是一種無(wú)限循環(huán)的乘法群,則G的另一種生成元是______a的逆元

2.38剩余類(lèi)加群Z共有_4個(gè)元可作為它的生成元。

2.3916階循環(huán)群G中能作為G的生成元的元素的個(gè)數(shù)為_(kāi)8。

2.40模1()<1379>剩余類(lèi)加群(Z,+)中能作為7.的生成元的元素有。

2.41設(shè)G=(。)是12階循環(huán)群，則G的生成元是o

2.42設(shè)G是一種〃”'階群，其中〃是一種素?cái)?shù)，，〃是一種正整數(shù)，則G的真

子群的一切也許的階數(shù)是。

2.43設(shè)G是p階群，(p是素?cái)?shù))，則G的生成元有個(gè).

2.44剩余類(lèi)加群Zi2有個(gè)生成元.

2.45設(shè)H是群G的非空子集，則H是G的子群的充要條件是

2.46設(shè)6=(a)是6階循環(huán)群，則G的子攀有。

2.47設(shè)群G是24階群，G中元素a的階是6,則元素a?的階為

,子群H=<￡>的在G中的指數(shù)是o

2.48設(shè)為群G的子群，則A4是群G的子群的充足必要條件為

2.49設(shè)"是群G的子群，a,bjG,則Ha=Hb=。

2.50在3次對(duì)稱(chēng)群S3中，H={⑴,(⑵)是S3的一種子群,則H(23)=

2.51在3次對(duì)稱(chēng)群S」中，H=((1),(23)},則S：,對(duì)H的右陪集分解式是

2.52的子群H={(1),(1231(132)}的一切右陪集。

2.53G=(a)是21階群，H=(/).則[G:H]=。

2.54凱萊定理說(shuō)：任一種子群都同一種同構(gòu)。

2.55凱萊定理的內(nèi)容是：任一種子群都同一種同構(gòu)。

2.56設(shè)G是群，N是G的非空子集，則NAG的充要條件是

2.576階循環(huán)群有個(gè)子群.

2.58設(shè)G是由a生成的30階循環(huán)群，H=<a-5>,則G/H

2.59設(shè)G=(a)是10階群，H=(abMj/"=。

2.60設(shè)9：A-A,S^A則。(。"))口。

2.6116階循環(huán)群G中能作為G的生成元的元素的個(gè)數(shù)為

2.62設(shè)憶則"3。))=。

2.63模10的剩余類(lèi)加群Z10的生成元為。

2.64設(shè)a是群G中的一種6階元，則優(yōu)、的階為。

2.65一種6階的非互換群G中的非單位元的階一定是<

2.66剩余類(lèi)加群(4,十)中能作為它的生成元的元素有o

2.67設(shè)G是群，a,bEG,|a|=12,則|ba"b1|=。

2.68設(shè)G是一種20階的互換群，aeG,|a|=2,則G/<a：>會(huì)

2.69在整數(shù)加群Z中，川"，則"三一

2.70在整數(shù)加群Z中，〃=<-4>則k：H]=

2.71在12階循環(huán)群G中,G=<a>,H=<a2>,M%1_____

2.72在4次無(wú)■稱(chēng)群&中，S={(123)},則<S>=o

在Ss中，。=(235)(13)(24),則同=。

2.73

2.7421階群G中，7階子群的個(gè)數(shù)為o

設(shè)N",商群%中的單位元是。

2.75

Z”/

2.76在z勿中，H<Z2K>H=<[a]>,=ZsJiJ[a]=0

在整數(shù)加群Z中,II=<a>WZ,%=則2。

2.77

2.78設(shè)G.,G2分別為m,n階循環(huán)群，則Gi?G2的充要條件是

2.79Zj到Z2的所有同態(tài)映射是.

2.80在整數(shù)加群Z中，<12>+<18>+<10>=o

2.81在同構(gòu)的意義下，6階群有種。

2.82設(shè)G是模4的剩余類(lèi)加群，那么Aut⑹=o

2.83設(shè)G是正有理數(shù)作成的乘法群，a￡G,a=2"K(p,q為奇數(shù)，n為整

q

數(shù))，令*:@1〃，°是6到(Z,+)的同態(tài)映射，則Ker°=。

2.84設(shè)G,E是兩個(gè)階互素的有限群，則G到11的同態(tài)映射f為

2.85在環(huán)R=4Z={4k|k￡Z)中，(8)=。

2.86在整數(shù)加群Z中，S={22,32}則6>=o

2.87設(shè)群G中元素〃的階為〃？，假如〃"二?,那么〃？與〃存在整除關(guān)系為

2.88設(shè)G是一種〃階互換群，。是G的一種加(〃?<〃)階元，則商群

G/（。）的階等于。

2.89

7、一種非正方形的長(zhǎng)方形S的對(duì)稱(chēng)群是｛晨

13、平面上的正方形的對(duì)稱(chēng)群是________。

72.設(shè)a,b是群G的兩個(gè)元素，滿(mǎn)足aba=ba?b,as=l,b7=l,則b=。

3證明題：

3.1令6=｛44為郝介正交矩陣｝.證明，G對(duì)于矩陣的一般乘法作在一種群.

3.2設(shè)G是整數(shù)集，規(guī)定運(yùn)算：〃十。=。+人+4,VQ/WG.證明：G對(duì)運(yùn)算十

作成一種群.

3.3方程工3—1=C在更數(shù)范圍內(nèi)的三個(gè)根有關(guān)數(shù)的乘法構(gòu)成群.

3.4設(shè)叫（"￡K）'（4）C證明：一關(guān)矩陣的

乘法構(gòu)成群.

3.5全體可逆的”階方陣的集合1）有關(guān)矩陣的乘法構(gòu)成一種非互換群.

這個(gè)群的單位元是單位矩陣，每個(gè)元素（即可逆矩陣）工的逆元是力的逆矩陣4--

3.6設(shè)R為實(shí)數(shù)集，皿，〃￡氏4。0,令幾⑼：Rf”"I公+4心￡”,將R的

所有這樣的變換構(gòu)成一種集合G=｛九⑸忖,試證明：對(duì)丁變換一般的乘

法，G作成一種群。

3.7證明：若群G的每個(gè)元素都滿(mǎn)足方程Y=e,則G是一種Abel群（互換群）.

3.8設(shè)G是一種群，證明：G是互換群的充足必要條件是，對(duì)任意a/wG,均有

（"I=a2b2

3.9證明：在群G中，，尸與〃有相似的階.

3.10證明：在群G中，〃與人?！ㄒ?有相似的階.

3.11證明：在n階群G中每個(gè)元都滿(mǎn)足x?e.

3.12設(shè)C為群.G證明:c從I-1與b有相似的階.

3.13證明：在群G中，ab與ba有相似的階.

3.14設(shè)G為群.&b,cWG.證明：族,從。質(zhì)有相似的階.

3.15設(shè)T為C到G的同構(gòu)映射,o￡G.證明:與c有相似的階.

3.16設(shè)G為群,QCGQ的階為nT￡Zd=色力.證明:。rd"「=q

n

3.17設(shè)awG,以的階為力，證明以/的階是d,其中d=0，％）。

3.18證明：循環(huán)群是互換群.

3.19證明：有限群中階數(shù)不小于2的元的個(gè)數(shù)必是偶數(shù).

3.20證明：任意偶數(shù)階群必具有階為2的元素.

3.21設(shè)*為素?cái)?shù).證明:與中每一種非零元都是生成元.

3.22設(shè)G是一種群，awG.若a的階是正整數(shù)n.證明：對(duì)

tneZ,a,n=eo〃|tn

3.23設(shè)G是一種互換群，m是固定的正整數(shù).令{a￡G|""=e}.證

明：H是G的一種子群.

3.24假定。和5是一種群G的兩個(gè)元，并且以8=&以，又假定口的階是制，b

的階是看，（加/）?1,證明：口力的階是用修。

3.25設(shè)修，”2是群G的子群.證明：出門(mén)"？也是G的一種子群.

3.26設(shè)G是一種群，令C={?！?|0￥=.叼，VxwG}證明：c是G的一

種子群.

3.27設(shè)G是一種群，S是G的一種非空子集.令

C（S）={a^G\ax=xay也負(fù)}.證明：c（s）是G的一種子群.

3.28若群G的階是素?cái)?shù)p,則G是一種循環(huán)群，試證之.

3.29證明：循環(huán)群的子群也是循環(huán)群.

3.30若群G與群不同態(tài)，且G是循環(huán)群，證明：3也是循環(huán)群.

m

3.31證明：階為〃的群（p是素?cái)?shù)）一定包具有一種階為p的子群.

3.32設(shè)H,K是群G的不變子群，證明：HK也是G的不變子群。

3.33設(shè)H,K是群G的不變子群，且HC|K={e}.證明：

X/heHNkeK,均有hk=kh.

3.34設(shè)H,K是群G的不變子群，證明："CIK也是G的不變子群。

3.35設(shè)H是群G的子群，N是G的不變子群。證明：HN是G的子群.

3.36設(shè)G是一種n階有限群.證明：G的每一種元素都滿(mǎn)足方程x=J

3.37設(shè)G是一種群，C=[aeG\ax=xat是仃的中心，證明：c

是G的一種不變子群.

3.38設(shè)C是群G的中心，即。=伍￡6|“=.必，VxeG).且商群％是

循環(huán)群.證明：G互換群.

3.39若G是循環(huán)群，H是G的一種子群.證明：%也是循環(huán)群.

3.40設(shè)G是一種群，令9”——,XEG.證明：。是G到G的同構(gòu)映射的

充足必要條件是：G是一種互換群.

3.41設(shè)H是群G的子群，令Nc(H)={x|xeG,xH=Hx},證明NG(H)是G的子群.

3.42設(shè)G是群，令C={x|xeG,Vy“，xy=yx},證明C是G的正規(guī)子群。

3.43設(shè)G=(a)是一無(wú)限循環(huán)群，證明G的生成元只有兩個(gè)。

3.44設(shè)G是互換群，證明G中一切有限階元素構(gòu)成的集合T是G的一種子群，

且%7除單位元之外不具有限階元素。

3.45取定群G的元u,在G中定義新的“o"：aob=aub.Da.b^G.證明

(G,o)是群.

3.46證明循環(huán)群的子群也是循環(huán)群。

3.47設(shè)p是一種素?cái)?shù)，證明2P階群G中一定有一種p階子群N。

3.48若G是一種群,e是G的單位元,G中任何元都是方程的解，證明G

是一種互換群。

3.49若G是一種循環(huán)群,N是G的一種子群，證明也是一種循環(huán)群.

3.50證明階是素?cái)?shù)的群一定是循環(huán)群。

3.51設(shè)G是一種43階的有限群，證明G的子群只有單位元群及G自身。

3.52證明：群G為互換群為G到G的一種同構(gòu)映射。

3.53設(shè)G是一種1000階的互換群，a是G的一種100階元，證明

%”二Z,°

O

3.54設(shè)G是群，f：G-G,a—a)(Q￡G)證明f是群G的自同態(tài)U>G是互換

群。

3.55設(shè)G={(a,b)|a,|R,},在G上定義“?！保?a,

b)o(c,d)=(ac,，0+與證明心。)構(gòu)成一種群。

3.56設(shè)G是有限互換群，f：G->G,f(g)=gk(Wg￡G)證明

fCAut⑹=（k,|G|）=1°

3.57設(shè)G是100階的有限互換群，f:G-G,f(g)=g*Dg￡G),證明

fGAut(G)o

3.58設(shè)A4G,B?G假如存在a,b$G,使得Aa=Bb,則A=B。

3.59設(shè)G是互換群，m是固定的整數(shù)，令H={ala^G,a"=e},證明H〈G,

3.60設(shè)H〈G,令CG(H)={g|gWG,Vh€H,gh=hg},證明CG(H)?G°

3.61設(shè)G是非空有限集合，“?！笔荊的一種二元運(yùn)算，“?！边m合結(jié)合律及

左、右消去律，證明：(G,。)構(gòu)成一種群，當(dāng)G是無(wú)限集時(shí)呢？

3.62設(shè)G是階的互換群，H<G,|H|=200,證明：是一種循環(huán)群。

3.63證明：無(wú)限循環(huán)群的生成元的個(gè)數(shù)只有兩個(gè)。反之，一種循環(huán)群G的生成

元只有兩個(gè)，則G與否一定同構(gòu)于Z?

3.64設(shè)G是一種循環(huán)群，|G|H3,4,G的生成元的個(gè)數(shù)為2,證明G=Z。

3.65設(shè)G是有限群，H<G,a^G,證明存在最小正整數(shù)m,使a"￡H,且0)|同。

3.66設(shè)G是奇階群，則對(duì)任意g￡G,存在唯一元x￡G,使g=x2。

3.67證明：整數(shù)加群Z與偶數(shù)加群2Z同構(gòu)。

3.68設(shè)H〈G,g是G的一種固定元素，gHg-'={ghg'lheH}(1)證明：gHg-

<G0(2)證明：產(chǎn)g%,

3.69設(shè)氏歷G對(duì)復(fù)數(shù)的加法構(gòu)

成群，H對(duì)矩陣的加法也構(gòu)成群，證明：G=Ho

3.70設(shè)H是群G的非空子集，且H中元的階均有限，證為：

H<G<=>H1qHo

3.71設(shè)N7G,|G/N|=10,geG,|g|=12,證明：g2eNo

3.72設(shè)G是群，a,b￡G,ab=ba,|a|=m,|b|=n,<a>A<b>={e}.證明：

ab|=[m,n]（[m,n]是m,n的最小公倍數(shù)）0

3.73設(shè)。是一種n次置換，集合X={1,2,3,…，n）,在X中，規(guī)定關(guān)系

為k」U>m〃￡Z,使（7r（k）：4.證明：”是X上的一種等價(jià)關(guān)系。

3.74設(shè)4{⑴,(12)(34),(13)(24),(14)(23)}證明：K

3.75設(shè)G是群，H<G,規(guī)定關(guān)系@~bO”"'證明:

~是6的一種等價(jià)關(guān)系，且a所在的等價(jià)類(lèi)[a]=Ha。

3.76證明：15階群至多具有一種5階子群。

3.77設(shè)H^G,若H的任意兩個(gè)左陪集的乘積仍是一種左陪集，證明HVG,

200yl

€

3.78設(shè)N?G,[G:N]=,證明：對(duì)DxwG,恒有廣o

3.79設(shè)N?G,[G:N]=4,證明：存在M<G,且[G:M]=2。

3.80設(shè)H,N<G,"^^'={6},4￡“"￡",|。1=2,|勿=3證明：.=6。

3.81設(shè)H<G,證明：GoX/a,Z;￡G,假如由

3.82設(shè)km,證明:-z4。

3.83群G的非平凡子群N稱(chēng)為G的極小子群，假如不存在子群B使得

{e}<B<Nf證明：整數(shù)加群z沒(méi)有極小子群。

3.84假如%（G）是循環(huán)群，證明：G是互換群（其中C（G）是群G的中心）。

3.85證明：6階互換群是循環(huán)群。舉例闡明6階群不一定是循環(huán)群。

3.86證明：在一種有單位元的環(huán)R中，全體可逆元構(gòu)成的集合對(duì)R的乘他構(gòu)成

一種群。

3.87設(shè)H,KWG,則對(duì)任意a,b￡G則HaCKb=①或HaCKb是HCK的一

種右陪集，該成果能否推廣？

3.88設(shè)G是群.證明：假如對(duì)任意的工￡G,有M2=￡則C是互換群.

3.89證明：在群O中，假如ch=c,則An=c.

3.90設(shè)C為加群.證明：任給汴eZ,a,bw。，有川。十力="。十戒.

3.91證明：一種子群的左陪集的所有元素的逆元素構(gòu)成這個(gè)子群的一種右陪

集。

3.92設(shè)群G的子群月在G中的指數(shù)為2.證明:〃耳=Rn,0QGG.

3.93設(shè)C為群，月是C的子群.證明:G中每個(gè)元素屬于且屬于月的一種左陪集.

3.94設(shè)c是群，R是c的子群,。wG則”田9={g-叨gI力wH}是c的

子群.

3.95設(shè)C是群,￡是C的非空子集.證明：C中與0中每個(gè)元素都可互換的元素

仝體H={g€GIg工=工2Wc€8;是C的子群.

3.96設(shè)H={工CCI存在乃€M使得工*=1},證明：方是（C,?:的子群.

3.97設(shè)C是互換群.mi是一種固定的正整數(shù).令Hm={a€G|a"=8},

Hm={a^\aeG}.證明：中與Hm都是右的子群.

3.98證明：（4〃產(chǎn)品）"=（jfr-l,…，。

3.99設(shè)C是群，證明：門(mén)的中心0=（。€6|尹=工。,微€5是々的正規(guī)子

群.

3.100設(shè)門(mén)是群，q/QK/iQ證明：HKqQ

3.101設(shè)G是群，月和可分別是C的子群和正規(guī)子群.證明：（1）燈Q有是神的正

規(guī)子群；（2）HN是C的子群.

3.102設(shè)「為GKJ中心.證明：假如G/C是循式群，則C是互換群.

3.103設(shè)C為群,對(duì)任意的以bwG稱(chēng)風(fēng)”=。?2一】出為。.七的換位子,u的所

有換位子生成的子群叫做G的換位子群，記作]G,Gl證明：（I）1G,G.是仁的正規(guī)子群；（2）

商群G/1GG.是互換群；⑶若NwC,且G/N為互換群，則[GG.是N的子群.注:

是由所有換位子的也許乘積所構(gòu)成的集合.

3.104設(shè)C與G為群，“為G到G的同態(tài)映射.K=Ker4.證明：式。）=8⑶

當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的a.beG,有八X=hk.

3.105設(shè)G與々為群，”為G到C的同態(tài)映射.K=Kera,m￡4.證

明，也⑸）=（x€G|<p（x]=（p（d]]=aK,

3.106設(shè)3為C到G的同態(tài)映射，K=Ker”.刀為G的子群.證明：

LH=HK

3.107設(shè)C與C分別為m階與E介循環(huán)群.證明：0zG當(dāng)且僅當(dāng)八Im.

3.108設(shè)H、K都是群G的正規(guī)子群.證明G/HK-

3.109設(shè)群C在集合X上的作用是傳遞的.證明：假如H是G的正規(guī)子群，則X

在目的作用下的每個(gè)軌道有同樣多的元素.

3.H0設(shè)群c作用在集合x(chóng)上，工，ywX證明：假如存在。WG使得？/=。工

則%=g&gj.

3.111設(shè)m為不小于I的正整數(shù).令Gm=[acZm|（a,m）=D證明：Grx有

關(guān)剩余類(lèi)的乘法構(gòu)成一種互換群.

3.112設(shè)群G與群G同態(tài)，N是G的一種不變子群，N是N的逆象，證明

G/N二G/N。

3.113證明：設(shè)G是群，假如對(duì)任意的xeG,有則G是互換群。

3.114證明：任何方陣都可唯一地表到達(dá)一種對(duì)稱(chēng)矩陣與一種反對(duì)稱(chēng)矩陣之和。

3.115設(shè)a、b是群G的元素，a的階為2,b的階為3,且ab=ba,證明ab的階是

6.

3.116G=S*"={(1),(12)},那么H是S3的一種子群。

3.117一種群G的一種不空有限子集H作成G的一種子群的充足并且必要條件

a,beHnabeH;

7HC：

3.118設(shè)是所有n階可逆矩陣有關(guān)矩陣的乘法構(gòu)成的群.SZm(卬是所

有行列式等于1的九階矩陣所構(gòu)成的集合.則以4的是GZ4五)的子群.

3.119群。的任何兩個(gè)子群的交集也是C的子群.

3.120設(shè)乃為。的子群.則月在C中左陪集的個(gè)數(shù)與右陪集的個(gè)數(shù)相似.

3.121有限群C的任一元素的階都是群d的階數(shù)的因子.

3.122設(shè)G與G'為群,T是GOG的同構(gòu)映射，則⑴假如百為G的單位元，則

?、蕿楦兜膯挝辉?(2)任給aG@73-')為丁(。：的逆元,即《"')=

3.123假如C是互換群，則C的每個(gè)子群月都是C的正規(guī)子群.

3.124設(shè)6=6加(周耳二8加五),則*C.

3.125群C的任何兩個(gè)正規(guī)子群的交還是C的正規(guī)子群.

3.126設(shè)C與G是群,3是C到G的同態(tài)映射.⑴假如￡是心的單位元，則

是a的單位元；(2)對(duì)于任意的Q,GG,W(QT)是w?在@中的逆元.即

3.127設(shè)門(mén)與G是群，“是C到G的滿(mǎn)同態(tài).假如乃是C的正規(guī)子群，則是

C的正規(guī)子群.

3.128設(shè)G是循環(huán)群，G與G同態(tài)，證明G是循環(huán)群。

3.129設(shè)G是群，aGG,令CG(a)={x|xGG,xa=ax},證明：CG(a)WG

-

3.130設(shè)6~6,H,H={x|x￡G,f(x)eH}o證明：H/Kerf

會(huì)H,

3.131設(shè)G是群，u是G的一種固定元，定義"o"：aob=auzb(a,be

G),證明(G,o)構(gòu)成一種群.

3.132設(shè)G是群，1IWG。令NG(H)={x|xEG,xll=Hx}.CG(H)={x|x

￡G,VhEH,hx=xh}.證明：(1)NG(H)WG(2)CG(H)ANG(H)

3.133設(shè)G與G是兩個(gè)群，f：G?G,K=Kerf,〃WG,令H={x|x

GG,f(x)￡H},證明：HWG且H/Kg萬(wàn).

3.134設(shè)“和匕是一種群G的兩個(gè)元且"="，又設(shè)〃的階時(shí)=，〃，人的階

忖二〃，并且(皿〃)=1,證明：。力的階小4=〃〃7。

3.135設(shè)R為實(shí)數(shù)集，Pa,bwR*a*D,令

f:RfR,xH>ax+/?,X/x￡R

{ah}將R的所有這樣的變換構(gòu)成一種集合

。={/；必)忖4，"￡尺"二°},試證明：對(duì)于變換一般的乘法，G作成一種群。

3.136設(shè)