2024-2025學(xué)年山西省呂梁市高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)階段性

檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.

2.答題時(shí)使用0?5毫米的黑色中性(簽字)筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答即區(qū)域(黑色線框)內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1己知集合人{(lán)一2「皿2},84，<2},則m人()

*

A{1}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1)

2.已知復(fù)數(shù)z=(l+i)2,則|z|=()

「1

A.2B.V2C.1D.-

2

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是()

A./(x)=cosxB./(x)=-

X

C./(x)=-x^D.f(x)=2x-2'

2

4.已知數(shù)列{%}的各項(xiàng)均不為0,設(shè)甲：^=^_2^+2(?€N;/7>3)；乙：數(shù)列{%}是等

比數(shù)列，則甲是乙的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

______3—1----

5.已知滿足力8J.4C,AM=-AB+-AC,且向量84在向量前上的投影向量為

3ULU，

-BC,則tan/CA/4=()

4

A.-B.273C.—D.2

22

6.如圖，設(shè)矩形45co（45<4D）的周長(zhǎng)為8cm,把“。。沿力。向V48C折疊，，4。折

過(guò)去后交8c于點(diǎn)尸，記△4BP的周長(zhǎng)為/,面積為S,則7的最大值為（）

A.3-2后B.3+2百C.6+4上D.6-472

7.己知函數(shù)/（工）是定義在R上的奇函數(shù),且/（x+1）為偶函數(shù)，當(dāng)OWxWl時(shí),

/（X）=32V+2X-1,則下列結(jié)論中正確的是（)

門(mén)6)

A./(14)>3B.f<3

C./(ln3)<3D./(log218)<3

sin兀一；|的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè),

8.當(dāng)xe[0,2兀]時(shí),曲線y-2sincox-(刃>0)與y—si

\2

則實(shí)數(shù)刃的取值范圍是（）

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.sinOcosOtanO+----=1

Itan。J

B.sin40。9an10。一8)二1

C.在等差數(shù)列｛q｝中，q=團(tuán)，。桁=〃，(〃？/〃)，則%+”=。

D.在等差數(shù)列｛《J中，S,為其前〃項(xiàng)和，若S‘=6,58=10,則S16=I8

10.若實(shí)數(shù)x，y滿足廠+/--9=2,則()

3

223B>

X+y-<--

A.2

c<

D.7-

y_1.1

11.已知函數(shù)/(x)=lj-lnx,則下列結(jié)論正確的是()

A.若Ovavb,則/(a)>/(6)

B/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

*

c./(log20232024)+/(log20242023)=0

hi

D若/⑷=b一一--,?！?0,1),Z?G(0,+oo),則訛'=1

?e'-1

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.己知向量d二(2,3),b=且僅+2^)//，，則〃z=.

13.對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義數(shù)列｛。川+勺｝為數(shù)列｛q｝的“和數(shù)列”,若4=1,數(shù)列應(yīng)｝的“和

數(shù)列”的通項(xiàng)公式為3?2”，則數(shù)列｛%｝的前21項(xiàng)和S?產(chǎn).(結(jié)果保留指數(shù)形式)

14.在銳角IBC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若〃_々2=改，則1+2的

ba

取值范圍為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=2>/3sincoxcos(ox-2cos2+1(^>0,xeR),且/(x)的最小正周

期為兀.

(1)將函數(shù)/(x)的圖象向右平移e(e>o)個(gè)單位長(zhǎng)度.得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)是

偶函數(shù)，求夕的最小值;

（2）若/⑻=9,0,g,求COS26的值.

16.己知函數(shù)/'（x）=log2（x2-2x+2）.

（1）證明：曲線少=/（x）是軸對(duì)稱圖形；

（2）若函數(shù)8（"=2公）+§》3一2%+4在卜3,3]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

17.民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村需振興.為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，我市城市規(guī)劃管理局?jǐn)M將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)

域規(guī)劃成休閑度假區(qū)，通過(guò)文旅賦能鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展.度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個(gè)功能區(qū)：

△P5C區(qū)域規(guī)劃為露營(yíng)區(qū)，區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū)，△尸力。區(qū)域規(guī)劃為自由活動(dòng)區(qū).為

安全起見(jiàn)，預(yù)在魚(yú)塘四周圍筑護(hù)欄.已知48C=90。：AB=3\/3kin，4c=3km,P為

V43C內(nèi)一點(diǎn),Z5PC=120°.

（1）當(dāng)尸3=J^km時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（△48的周長(zhǎng)）；

（2）若4P8=120。，求tan/P氏4；

（3）為了容納更多的游客，露營(yíng)區(qū)的面積要盡可能大，求露營(yíng)區(qū)面積的最大值.

18.已知函數(shù)/（x）=x（lnx+/M）（〃？wR）.

（1）令g（x）=￡^+〃M+x，求g（x）的單調(diào)區(qū)間;

X

（2）若存在王,工2（*＜々）使得/（為）=/（工2），求證：XQVe22m.

19.對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛%｝,“若存在%-4=（m,％￡",加＞%）,必有。”用一％+]=/"，則稱

數(shù)列｛%｝具有〃⑴性質(zhì).

2"(〃=1,2)

（1）若數(shù)列｛/｝滿足%=＜判斷數(shù)列｛%｝是否具有M（l）性質(zhì)?是否

2n-5(n>3,?€

具有“（4）性質(zhì)?

（2）把（1）中滿足"⑺性質(zhì)的，從小到大一一列出，構(gòu)成新的數(shù)列｛"｝,若5；二2三一,

/=,22-1

求證：S”<2；

（3）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛%｝,設(shè)7=卜卜=%-%/<_/｝,若數(shù)列｛〃"｝具有“（0）性質(zhì)，求集

合「中元素個(gè)數(shù)的最大值.（寫(xiě)出表達(dá)式即可，結(jié)論不需要證明）

2024-2025學(xué)年山西省呂梁市高三上學(xué)期11月期中數(shù)學(xué)階段性

檢測(cè)試題

注意事項(xiàng)：

1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，認(rèn)真核對(duì)條形碼上的姓名、準(zhǔn)

考證號(hào)，并將條形碼粘貼在答題卡的指定位置上.

2.答題時(shí)使用0?5毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚.

3.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答即區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效.

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合”={一2，-1，?！梗?},3=沖2<2},則小=（）

A.{1}B{0,1}C.{0,1,2}D.{-1,0,1）

【正確答案】D

【分析】先解二次不等式化簡(jiǎn)集合4,再利用集合的交集運(yùn)算即可得解.

【詳解】因?yàn)?={%,2<2}={1卜及<工<公卜

又力={-2,-1,0,1,2},所以4c3={-1,0,1}.

故選：D.

2.已知復(fù)數(shù)z=（l+i『，則忖=（）

A.2B.72C.1D.-

【正確答案】A

【分析】利用更數(shù)的乘方運(yùn)算求出z,再利用亞模的運(yùn)算即可得解.

【詳解】復(fù)數(shù)z=（l+i）2=2i,所以解|=2.

故選：A.

3.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）

A./（X）=COSXB./（%）=-

X

c.=D.f（x）=2x-2-x

【正確答案】C

【分析】根據(jù)奇偶性、單調(diào)性的定義判斷.

【詳解】選項(xiàng)A中/（x）=cosx是偶函數(shù)，BCD三選項(xiàng)中函數(shù)都是奇函數(shù)；

/*）=1在（，力,0）和（0,口）上都是減函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，B錯(cuò)；

x

結(jié)合制函數(shù)性質(zhì)知/（》）=_j是減函數(shù)，C正確；

/。）=2'—2一中，設(shè)王＜工2，則2再＜2勺，而2f＞2f，

因此2』一2F＜2叼-2f，即/區(qū)）＜/區(qū)），/（力是增函數(shù),D錯(cuò).

故選：C.

4.己知數(shù)列｛凡｝的各項(xiàng)均不為0,設(shè)甲：Q“2=/_2〃"+2,￡N*,〃N3）；乙：數(shù)列｛%｝是等

比數(shù)列，則甲是乙的（）

A.充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】B

【分析】先驗(yàn)證甲是否能推出乙，再驗(yàn)證乙是否能推出甲求解.

【詳解】驗(yàn)證甲是否能推出乙，甲的意思是該數(shù)列隔項(xiàng)成等比數(shù)列，

甲可構(gòu)造數(shù)歹UL2,1,4,1,8,1,16,1,L,

顯然甲推不出乙，驗(yàn)證乙是否能推出甲，

因?yàn)閿?shù)列｛%｝是等比數(shù)列，所以?！?=%如2,限=荷,

所以%2=4_2?！?2（〃￡N*,〃之3）,

所以乙能推出甲，所以甲是乙的必要不充分條件.

故選：B.

,_______4.1_

5.已知V48C滿足萬(wàn)_1_正，AM=-AB+-AC,且向量瓦j在向量脛上的投影向量為

3

U8Uulcr

4-則tanNCA/力=（）

B.2百c百D.2

2

【正確答案】C

【分析】令8C=4,過(guò)A作4。工8c于。，利用投影向量的意義求出|而|,再利用垂直

關(guān)系的向?qū)П硎?，結(jié)合數(shù)最積的運(yùn)算律求出|而由給定向量等式確定點(diǎn)用的位置即可求

解.

【詳解】在VABC中，令BC=4,過(guò)A作力。18c于。，

防元二|網(wǎng)元|cos8=4|而

3UUT田里豌='曲鍵3”

由向量0在向量心上的投影向量為18C'得

\BC\244

解得|而|=3,則|而|=1,由方J.刀，得萬(wàn)?祝=（而+麗）?（而+反）

=AD2+DBDC=AD2-3=O>解得I而上百，由旃=：茄+:就，

'''I'一I''.?''一一I----?…

得力M—=。一4B）,即8%=w〃C，因此|8"|=1,||二2，

在Rt△力QM中，tanZCMJ=.

\MD\2

故選：C

6.如圖，設(shè)矩形48CQ（48</。）的周長(zhǎng)為8cm,把UC7）沿NC向VNBC折疊，，4。折

過(guò)去后交8。于點(diǎn)P,記戶的周長(zhǎng)為/,面積為S,則一的最大值為（）

C.6+45/2D.6-4V2

【正確答案】A

【分析】根據(jù)題意設(shè)44=x,8尸=。，利用三角形全等得到△月8。的周長(zhǎng)為4,再利用勾股

定理得出。關(guān)于x的表達(dá)式，進(jìn)而得到;關(guān)于x的表達(dá)式，利用換元法與基本不等式即可得

解.

【詳解】因?yàn)榫匦?8CQ（/8<4。）的周長(zhǎng)為8cm,

設(shè)為5=x,則4。二4一/，故0<x<4-x,得（）<x<2,

因?yàn)?B=CD,N8=NQ=90。，4APB=/CPD,

所以A4PB=ACPD，設(shè)8尸=Q,則QP=Q,4P=4-X-Q,

所以△/臺(tái)夕的周長(zhǎng)為/=48+4P+NP=x+a+4-x-〃=4,

在直角△AB尸中，由勾股定理得/+/=（4-工一?！?，解得4=4：一“）,

4(2-力,所以g二」x.三

則S=S△AIDBIP=—2AB-BP=—xa=—X'

224-x/24-x

令，=4-x,則x=47,2<z<4,

所以工=2_（4一））.2-（4—'）=3一」一±<3-2/￡.±=3-2五,

/2、//2tV2/

fA

當(dāng)且僅當(dāng)5=7,即z=2拉，x=4.2后時(shí)，等號(hào)成立，

所以亍的最大值為3-2正.

故選：A.

7.已知函數(shù)/（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且/（1+1）為偶函數(shù)，當(dāng)OVxWl時(shí),

/(X)=32X+2X-1,則下列結(jié)論中正確的是()

A./(14)>3B./停<3

c./(In3)<3D./(log218)<3

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)條件得到/(工)的周期和對(duì)稱軸，對(duì)A,根據(jù)周期可得到/(14)=/(2),再

(］6、(4、

根據(jù)對(duì)稱軸得到/(2)=/(0),結(jié)合解析式即可求解；對(duì)B,根據(jù)周期可得到/7=/-

再根據(jù)對(duì)稱軸得到/'-=/-,結(jié)合解析式即可求解；對(duì)C,D,結(jié)合函數(shù)在［0,1］上的

單調(diào)性和/(x)的對(duì)稱性即可判斷.

【詳解】???/"+1)為偶函數(shù)，.?./(—x+l)=/(x+D,即/(-x)=/(x+2),

即函數(shù)/(x)關(guān)于x=l對(duì)稱,

又“X)為奇函數(shù)，/./(X+2)=-/(x),

故/(x+4)=-〃x+2)=/(x),即/*)的最小正周期為4,

對(duì)A,???/(x)的最小正周期為周，/(14)=/(4x3+2)=/⑵,

又???/(x)關(guān)于x=1對(duì)稱，/(2)=/(0),

當(dāng)OWxWl時(shí)，/(X)=32X+2X-1,則/(0)=3。+2><0-1=0,

BP/(14)=0<3,故A錯(cuò);

對(duì)B,???/(*)的最小正周期為4,==

又???/(x)關(guān)于x=l對(duì)稱,

當(dāng)0?工(1時(shí)，/(x)=32r+2x-l,

2—2—ii(］6、

BPf-=3^+2x一一1=37+->3'+->3,故/—>3,故B錯(cuò)；

333

對(duì)C,當(dāng)04x41時(shí),/(X)=32X+2X-1,易知/(x)在［0,1］上單調(diào)遞增,

又/(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,.\/(ln3)=ln(2-ln3),

W331

?/1=Ine<In3<Ine2=—./.—<-In3<-1,HP—<2-In3<1.

222

故/(x)〉/1］=3嗎+2x』—l=3,故C錯(cuò)誤；

<272

胃</(；)=3嗎+2xl-l=3,故D對(duì).

故/10g2g

故選：D.

8.當(dāng)xc[0,2兀]時(shí)，曲線y=2sin的一§|>0）與y=sin7i--的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè),

則實(shí)數(shù)g的取值范圍是（）

(5131513)5_132號(hào))

A.3%,B.3，-^>C.3，-?D.

【正確答案】B

XXI7T

(7t--=5也弓與y=2sin①x-可的圖象，可得

10兀,_13兀1___

---<2n<----,從而可求解.

3co3co

X一

【詳解】由》二sin=sin],如圖所示，畫(huà)出y=sinsin］在xw［0,2K］時(shí)

的圖象,

對(duì)于/1(%)=2sin(3%-獷3>0),/(0)=-6，/(“皿=2,

令/(x)=0,得公1一四=既,keZ,得x=0.+1)兀，kwZ,

33①

由y=2sin（勿與y=sin]的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，

由圖知」《2?！础?，解得一（/<一,故B正確.

3CD3co36

故選：B.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列命題正確的是（）

A.sinOcos。tan^+----=1

Itan^J

B.sin40。卜an10。一8)=1

C.在等差數(shù)列｛%｝中，aK=m,am=nt(加工〃)，則qi=0

D.在等差數(shù)列｛%｝中，S,為其前〃項(xiàng)和，若S4=6,梟=10,則S16二18

【正確答案】AC

【分析】對(duì)于AB,由弦切互化結(jié)合三角恒等變換公式即可計(jì)算求解；對(duì)于CD,由等差數(shù)列

通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式即可計(jì)算求解.

【詳解】A選項(xiàng)，sin^cos^ftan+—!—[

Itane）

=sin0cos0+COS^1=sin26?+cos20=\,A選項(xiàng)正確.

（cos。sin9）

<sinl0°-^cosl0o

B選項(xiàng)，sin40°(tanl0°-\^j=sin40°sinl0°_^|s.n4()Ox

(cos10°Jcos10°

—sin10°—--cos10°.sin(10°—60°)2sin400sin50。

…32c飄cos10°

2sin400cos40°sin80°ccs100

--=-1,所以R選項(xiàng)錯(cuò)誤.

cos10°cos10°cos10°

C選項(xiàng)，在等差數(shù)列｛%｝中，%=m,cim=n,（"?工〃）,

a.+（n-\）d=m

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則〈:\，

%+=n

兩式相減得（〃一=加一〃,"2W〃，所以d=,

則q=〃?+〃-1,所以%1r=q+(〃?+〃-l)d=q—4=0,C選項(xiàng)正確.

4q+6d=6

D選項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差為d,則

8^+28(7=10

4a,+6J=66H—”

即4兩式相減得8"=_]"二二”㈣4_27,

4q+14d=5

8144T?

271

所以百6=16q+120d=16x——120x-=27-15=I2,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

168

故選：AC

2

1().若實(shí)數(shù)xj滿足f+V—y肛=2,則()

A.x2+y2<3B.xy>-

C.x+y2—\/6D.y-x<\/3

【正確答案】ACD

【分析】將等式變形為/+/一2二;絞號(hào)，利用/+）222盯可得選項(xiàng)A正確；通過(guò)配方

4

得。一歹）2+§號(hào)=2，利用。一切2之0可得選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

等式可變形為(x+v)2-2=烏孫，利用劃工/+)>可得選項(xiàng)c正確;通過(guò)配方可得

34

xy>-^,利用3-1)2=2-±盯可得選項(xiàng)》正確.

2、1

【詳解】對(duì)于A,x2+y2一-9二2可化為，/+/2一2二一漫不，，

33

Vx2+y2>2xy(當(dāng)且僅當(dāng)工=》時(shí)取等號(hào))，

x2+/-2=1祝孫,-(x2+/),

???1，+/)￡2,

x2+y2<3?選項(xiàng)A正確.

對(duì)于B,由X?+),2-2個(gè)=2得(x-y)2+3町=2,

33

4

A(x-y)2=2--xy30,

，孫wg,選項(xiàng)B錯(cuò)誤.

2Q

對(duì)于C,由—+j，——a=2得(x+y)2--xy=2,

33

8

A(x+y)2-2=-xy,

Vxy<(￡1ZL(當(dāng)且僅當(dāng)x=V時(shí)取等號(hào))，

,4

A(x+y)2-2=-xyVI-("方,

334

(x+y)2￡6,

/.-\/6￡x+y￡A/6,選項(xiàng)C正確.

28

D.rtix2+y2--盯=2得(x+4一一xy=2,

33

Q

???(x+y)2=2+-xy30,

?'?XV2—.

4

■>>2,4

由+y———中=2得-+一孫=2,

33

A(y-x)2=2-^4xy<2-^4x=

3

???一JJ￡y-x￡6，選項(xiàng)D正確.

故選：ACD.

X+]

II.已知函數(shù)/(“二丁]一批工，則下列結(jié)論正確的是()

A.若0<a<b,則/(。)>/(6)

B./(x)有兩個(gè)零點(diǎn)

C./(Iog20232024)+/(log20242023)=0

h.[

D.若/(a)=b一--—，「￡(0,1),Z>e(0,+oo),則*,=1

e-1

【正確答案】BCD

【分析】A選項(xiàng)，求出定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)/(x)=^——Inx在(0』),。,+8)上翼調(diào)遞

X—1

減，舉出反例得到A錯(cuò)誤：B選項(xiàng)，在A選項(xiàng)基礎(chǔ)上，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行求解；C選

項(xiàng)，計(jì)算出/(目+/(X)=0,C正確；D選項(xiàng)，計(jì)算得到/(〃)+/(叫=0,在C選項(xiàng)基

礎(chǔ)上求出D正確.

Y?1

【詳解】A選項(xiàng)，/(x)=——Inx定義域?yàn)?O』)U(l,+8),

X—1

分)=花—七步哥＜心

X4-I

故/(%)=Inx在(0,1),(1,+8)上單調(diào)遞減,

x-\

不妨取〃=L,b=3,此時(shí)滿足0<4<力，但/||=-3+ln2<0

22\/

(3

fg=5-ln^>0,f\a)<f(b),A錯(cuò)誤;

y?1

B選項(xiàng)，由A選項(xiàng)知，/（x）=------Inx在（0,1）,（1,+00）上單調(diào)遞減,

X—1

其中/(V=(1)

—+lnl0>0,f-=-3+ln2<0,

9

3]3,、9

=5-ln->0,/(8)=y-ln8<0,

由零點(diǎn)存在性定理可知，存在%￡（0,1）,々￡（1,+8），使得/（不）=/（吃）=0,

故/'（X）有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確;

-+1

C選項(xiàng)，/（，］+/3二手,1X+1.1+X,X+1八

In—+------Inx=-----+Inxd-------Inx=0,

xx\-xx-1

x

*242024I

而log20232024=

log20242023log20242023

故/(log20232024)+/'(k)g20242023)=0,C正確；

D選項(xiàng)，=Ine',

/I)e"-le6-l

又/⑷s一鐺，/(。)+/(門(mén)=0,

e-1

且4W(0,l),/)G(0,+oo),eAG(l,+co),結(jié)合C選項(xiàng)知，/'(}+/'(x)=0,

則“e6=1，D正確.

故選：BCD

2023互為倒數(shù)關(guān)系，從而研究得到/（J）

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:bg20232024,l°g2024+/(x)=0,并

由此得出D選項(xiàng)的思路，由/(。)+/(/)=0求出〃e"=1.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知向量5=(2,3),方=且伍+2$)//1,則〃7=.

【正確答案】1

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】由向量3=(2,3),5=卜,|),

則)+23=(2+2加,6),

又(5+25)//1,則2x6=3(2+2m),解得〃7=1,

故1

13.對(duì)于數(shù)列｛%｝,定義數(shù)列｛。川+勺｝為數(shù)列｛q｝的“和數(shù)列”,若q=1,數(shù)列｛凡｝的“和

數(shù)列”的通項(xiàng)公式為3,2”，則數(shù)列｛%｝的前21項(xiàng)和S21=.(結(jié)果保留指數(shù)形式)

【正確答案】4"-3.

【分析】利用等比數(shù)列求和公式求解即可.

【詳解】因?yàn)閝=1,數(shù)列｛%｝的“和數(shù)歹U”的通項(xiàng)公式為3?2"，

所以數(shù)列。7+%二3,2〃，

^2i=a\+他+%)+(%+%)+…+(a》+gJ

=1+3x22+3x2,+…+3x220=1+生支山?=4"-3，

1-4

故4"-3.

14.在銳角△49C中，角A,B,C的對(duì)邊分別為。，b,c,若〃一/二的，則￡+2的

ba

取值范圍為

(3424⑻

【正確答案】

\Z

【分析】本題根據(jù)余弦定理與正弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)，得到為—!—+2cos4,求出

ha2cosJ

cos4的范圍，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的特點(diǎn)，即可求得.

【詳解】由題意，因?yàn)?=/+c2—2qccosB，即a=c-2〃cos8,

由正弦定理可得,sinA=sinC-2sin4cos5=sin(<+5)-2sin4cosB=sin(8-/),

所以/-4+力=2kit或4+8—4=2kn+兀，keZ,

兀兀兀

又0<4<一，0<8<—，-<A+B<n,

222

/.2A=B,

北里

.?「24￡(0,四］,解得力三(二,二］,

I2)164)

(兀］

5Ae—,7t

(2)

COS力G

_,?absinAsinBsinA2sin/cos413

又因?yàn)橐?—=-----+------=-------------+-------------=-------+2cos4,

basinBsinA2sinJcosJsinA2cosA

令1=2cos4，則/?)=1+)，ze(\/2,\/3),

根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)/'(/)=/+；在(夜,班)上單調(diào)遞增，

所以7)欄,半，

\7

(廠r-\

所以則的取值范圍為緣，竽，

ba［23J

(364⑸

故答案為.春，十

關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題綜合考查了余弦定理、正弦定理以及對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，較為綜合.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

15.已知函數(shù)/(x)=2jlsin①尤85的一2852Gx+1R),且/(x)的最小正周

期為兀.

(1)將函數(shù)“X)的圖象向右平移0(夕＞0)個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)g(x)的圖象，若g(x)是

偶函數(shù)，求。的最小值；

(2)若/(。)=一，0€0卷,求cos2。的值.

53

【正確答案】(1)工

6

⑵生

10

【分析】(1)化簡(jiǎn)/(X)的解析式，根據(jù)/")的最小正周期求得利用三角函數(shù)圖象變換

的知識(shí)求得g(x),再根據(jù)g(x)是偶函數(shù)來(lái)求得(P的最小值.

(2)根據(jù)三角恒等變換的知識(shí)求得cos26.

【小問(wèn)1詳解】

/(x)=2VJsincoxcoscox-2cos2+1

=V3sin2a)x-cos2cox=2sin2cox--,

I6j

由于/(X)的最小正周期為兀，所以」=二=兀，口=1,

2(0co

所以/(x)=2sin2x-ih

將函數(shù)/(x)的圖象向右平移0(°>O)個(gè)單位長(zhǎng)度,

得到函數(shù)g(x)=/(x-0)=2sin"I=2sin2x-2夕一弓

由于g(x)是偶函數(shù)，所以—2/—7—,(p=-----------,kGZ,

6223

由于8〉0,所以左二-1時(shí)，。取得最小值為4.

6

【小問(wèn)2詳解】

6.

/⑻=2sin(2吃卜一，sin

3“4卜I

由于。￡|"0,四］,20￡|~0,空］,29_工￡|__四,四

33662

所以85(2(9-2=4

?

所以cos20=cos

=cos(20--jcos--sin20--jsin—

I6；6I6；6

4V3314>/3-3

=-x---------x-=----------.

525210

16.已知函數(shù)/")二唾2①一2x+2).

(1)證明：曲線y=/(x)是軸對(duì)稱圖形；

(2)若函數(shù)目("=2%)+[/-2工+。在卜3,3]上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析

【分析】(1)證明/(x)=/(2—x),即可說(shuō)明曲線y=/Q)是軸對(duì)稱圖形；

2

(2)首先求出g(x)=—X3+/—4工+2+。，然后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y與

3

2

〃(工)二-5/72+4工-2的圖象在［—3,3］上有三個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合九(%)的圖象即可求出實(shí)數(shù)。

的取值范圍.

【小問(wèn)1詳解】

由函數(shù)/(x)=log2(/—2x+2),定義域?yàn)镽,

則〃2-x)=k)g2［(2-x)2-2(2-x)+2］=k)g2(x2-2x+2),

因此可得/(x)=/'(2-x),

故函數(shù)y=/(%)的圖象關(guān)于x=1,即曲線y=/(%)是軸對(duì)稱圖形.

【小問(wèn)2詳解】

222

由g(x)=+—x3-2j4-a=x2-2x4-2+—x3-2x4-a=—x34-x2-4x+2+a,

v7333

2

若函數(shù)g(x)=2公)+§d-2%+〃在［-3,3］上有三個(gè)零點(diǎn)，

2

則方程8(力=3丁+/-41+2+〃=()在［_3,3］上有三個(gè)實(shí)根，

即。=一一/一/+4工-2在［-3,3］上有三個(gè)實(shí)根，

2

令力(耳二一5/一/十4X—2'則歹=。與/1a)的圖象在［-3,3］上有三個(gè)交點(diǎn),

又〃’(X)二一2/一2工+4=-2(工+2)(工一1),

當(dāng)一3Vx<-2或l<x?3時(shí)，h'a)vo,

則九(無(wú))在［-3,-2)和(1,3］上單調(diào)遞減,

當(dāng)一2〃<1時(shí)，h'M>0,則Mx)在(一2,1)上單調(diào)遞增，

32

又〃(一2)二—；X(—2)3—(—2『+4X(—2)—2=—9,A(l)=-1xl-I+4xl-2=1,

JJJJ

?232

/?(-3)=-1x(-3)-(-3)+4x(-3)-2=-5,//(3)=-|x3-3+4x3-2=-17,

因此可得h(x)的圖象如圖所示，

結(jié)合圖象，要使歹二。與九（幻的圖象在卜3,3］上有三個(gè)交點(diǎn)，

則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（一號(hào),-5.

17.民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村需振興.為響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，我市城市規(guī)劃管理局?jǐn)M將某鄉(xiāng)村一三角形區(qū)

域規(guī)劃成休閑度假區(qū)，通過(guò)文旅賦能鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展.度假區(qū)按如圖所示規(guī)劃為三個(gè)功能區(qū)：

△P3c區(qū)域規(guī)劃為露營(yíng)區(qū)，區(qū)域規(guī)劃為休閑垂釣區(qū)，△尸力。區(qū)域規(guī)劃為自由活動(dòng)區(qū).為

安全起見(jiàn)，預(yù)在魚(yú)塘四周圍筑護(hù)欄.已知//8C=90。：AB=3V3km，BC=3km,P為

（1）當(dāng)=時(shí)，求護(hù)欄的長(zhǎng)度（△尸的周長(zhǎng)）;

（2）若乙4尸8=120。，求

（3）為了容納更多的游客，露營(yíng)區(qū)的面積要盡可能大，求露營(yíng)區(qū)面積的最大值.

【正確答案】（1）（歷+46）km：

e26

3

3百，

（3）---km.

4

t分析】（1）在△PBC中，利用正弦定理求出/FC8,在中,利用余弦定理即可求

解得答案.

（2）設(shè)銳角=在△P8C與△44中，利用正弦定理建立關(guān)系，再利用差角的正

弦公式計(jì)算即得.

（3）設(shè)利用正弦定理求出P8,利用三角形面積公式建立關(guān)系，

借助三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.

【小問(wèn)1詳解】

PRR（’A&

在△尸8C中，由正弦定理得----------=----------,即一￡一=——,

sinZPCBsinZBPCsinAPCBsin120°

解得sin/PCB=!，而/PC8為銳角，則NPCZ=300,NP4C=30。,/夕34=60。.

2

在△產(chǎn)力3中，由余弦定理得尸片=（百）2+（3百）2-2x百x3由xcos600=21,即

PA-y[2\，

所以△44的周長(zhǎng)，即護(hù)欄的長(zhǎng)度為（亞+4#）km.

【小問(wèn)2詳解】

令銳角ZPBA=e，則NPBC=90°-aNPCB=60°-（90°一夕）=。—30。，

PB3

在△&C中，由正弦定理得麗E"k而'則Msml20°=3sm（"3。。）,

PBAB

在△尸48中，由正弦定理得，則P8sinl200=3Gsin(60。—。),

sinAPABsin/APB

于是3sin(8-30°)=373sin(60°-0)，即—sin<9--cos<9=cosO-gsin，)，

22

整理得JJsin0=2cos。，因此tan0=m8，所以.

33

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)ZPBC=8（0。<（p<60°）,則ZPCB=60。一夕，

PB3

在△曲中,由正弦定理得砌。=而而'則必=2氐r皿6。。,）'

于是△尸8C的面積

SAPBC=?^Csin(p=3\f3sin(60°-(p)sinq)=373sincpcos(p-sir協(xié)

=373(—sin2^+icos2??--)=—sin(卻+30。)-^，

rfn30°<2^+30°<150°,

44424

則當(dāng)2°+30。=90。，即夕=30。時(shí)，('S67O.L)，二4士，

所以露營(yíng)區(qū)面積的最大值為邁kn?.

4

18.已知函數(shù)/(x)=x(lnx+〃?)(〃7GR).

(1)令g(x)=￡^+〃M+x，求g(x)的單調(diào)區(qū)間；

X

(2)若存在菁,々(1V-2)使得/(石)=/(工2)，求證:X/2<e?E.

【正確答案】(1)當(dāng)陽(yáng)20時(shí)，g(x)在(0,XQ)上單調(diào)遞增；當(dāng)〃7<0時(shí)，g(x)在

八—1—J1—8〃?\f—1—yJ\一8〃?

0,—；------上單調(diào)遞增，在一------,+8上單調(diào)遞減

〃？

<47\4m7

(2)證明見(jiàn)詳解

【分析】(1)求出g(x)，分〃7=0、〃?>0和〃?<0三和情況討論;

(2)求出/(X)的極值點(diǎn)，求出土，令石=戊2，求出，，求出In/，求出In石，求出In石+也田2，

X2

求出X