大招單、多角平分線模型

付國模型介紹

模型一、角平分線垂兩邊

模型二、角平分線垂中間模型三、角平分線+平行線構造等腰三角形

模型四、利用角平分線作對稱模型五、內外模型

例題精講

考點一：角平分戰(zhàn)垂兩邊模型

【例1].如圖，已知在四邊形A8CD中，ZBC￡)=90°,8D平分NA8C,48=6,BC=9,

CD=4,則四邊形48CZ)的面積是30.

解：過點。作?！闘區(qū)4的延長線于點E，如圖所示.

???4。平分NA8C,

：.DE=DC=4,

**?SABCD=Sz\ABD+S^BCD>

=2A8?OE+2BC?CD

22

=AX6X4+AX9X4,

22

=30.

故答案為:30.

E/

【變式1T】.如圖，已知：ZB=ZC=90°,M是3c的中點，QM平分NAOC

求證：(1)人“平分/%&(2)AD=AB+CD.

(1)證明：過點M作于￡,

VZB=ZC=90°,

MC.LCD,

平分NAQC,ME_LA。，MCLCD,

：,ME=MC,

是8c的中點，

:?MC=MB,

:.MB=ME,

又ME1AD,

，AM平分ND4B.

(2)

?：ME1AD,MCLCD.

???NC=NOEM=90°,

在RtADCM和RtADEM中，

/DM=DM

'EM=CM'

ARtADCM^RtADEM(HL),

:?CD=DE,

同理4E=4B,

?：AE+DE=AD,

：?CD+AB=AD.

B

【變式1-2].已知：如圖所示，點P為N40B的平分線上一點，尸C_LQ4于C,NOA尸+

NO8P=180°,求證：OA+O8=2OC.

：.ZPDO=90a.

??J為N408的平分線OP上一點，PCLOA

：.PC=PD.NPCA=90°.

：.ZPCA=ZPDO.

在RtAFCV和KI△尸。。中，

<PO=PO

,PC=PD

/.RtAPCO^RtAPDO(HL),

：.OC=OD.

?；NOBP+NDBP=184°,且N0AP+N03P=180°,

:?NOAP=NDBP.

在AAC〃和尸中，

，ZPCA=ZPD0

<Z0AP=ZDBP,

PC=PD

:.IXACPmXBDP(A4S),

：.AC=BD.

?：AO+BO=AC+CO+BO,

???A0+80—BD+BO+CO,

：.AO+BO=DO+CO,

?"O+BO=2CO,

考點二：角平分線垂中間模型

【例2].如圖，3。是△A8C的角平分線，4以L3Q,垂足為R若NA4C=35°,NC=5(T,

則NCDE的度數(shù)為45°.

A

解：???B。是△ABC的角平分線，

:?NABF=NEBF=±NABC=17.5。,

又「AELBD,

；?NAFB=NEFB=90’,

：?NBAF=NBEF=90>-17.5°=72.5°,

VZAI3C=350,ZC=50°,

???NB4c=180°-35°-50°=95°,

???NAOB=180°-95°-17.5°=67.5°,

由十3。是△8OE的對禰軸，由對稱性可知，NADB=NEDB=67.5",

???NCOE=180°-67.50-67.5°=45°,

故答案為：45°.

》變式訓練

【變式2-1].如圖，已知，ZBAC=90°,AB=AC,8。是NA8C的平分線，且CE_LBD

交4。的延長線于點￡求證：BD=2CE.

證明：如圖，延長CE與84的延長線相交于點凡

VZEBF+ZF=90°,NACF+N/=90°,

???ZEBF=NACF,

在△A3。和△ACF中，

2EBF=NACF

<AB=AC,

ZBAC=ZCAF

AAABD^AACF(ASA),

：,BD=CF,

???8。是NA8C的平分線，

/.ZEBC=NEBF.

在aBCE和△8FE中，

rZEBC=ZEBF

?BE=BE,

ZCEB=ZFEB

/.△BC￡^ABFE(ASA),

:.CE=EF,

；?CF=2CE,

：,BD=CF=2CE.

【變式2-2].如圖，在AA8C中，NA8C=3NC,A。平分N8AC,BELADTE,求證:

8E=1(AC-A4).(提示：延長BE交AC于點廠).

2

VBF1AD,

???ZAEB=ZAEF.

??SD平分NBAC,

；?/BAE=NFAE

在△ABE和中，

'/AEB=NAEF

<AE=AE,

ZBAE=ZFAE

AA/\B￡^AAFE(ASA)

AZABF=ZAFB,AB=AF,BE=EF.

???ZC+ZCBF=ZAFB=/ABF,

NABF+NCBF=NA4C=3NC,

AZC+2ZCTF=3ZG

：?/CBF=/C.

:?BF=CF,

：,BE=—BF=^CF.

22

\'CF=AC-AF=AC-AB,

：.BE=—(AC-AB).

2

考點三：角平分線+平行線構造等腰三角形

【例3].如圖，在RtZXABC中，CM平分入4c4交43于點M,過點M作MN〃8C交AC

于點N,且MN平分NAMC,若AN=I,則的長為6.

解：???在RtZUBC中，C/W平分NACB交人8于點M,過點M作MN//BC交AC于點N,

且MN平分NAMC,

/.ZAMN=ZNMC=ZB,ZNCM=ZBCM=ZNMC,

AZ4CT=2ZB,NM=NC,

.??N8=3(T,

*：AN=1,

:.MN=2,

：,AC=AN+NC=3,

：?BC=6,

故答案為6.

A變式訓練

【變式37].如圖，在zMBC中，N4BC和N4CB的平分線交于點E,過點E作MN//BC

交A3于M,交AC于N,若BM+CN=9,則線段MM的長為9.

解：???/%氏?、NAC8的平分線相交于點E,

：?/MBE=/EBC,/ECN=/ECB,

?:MN//BC,

：.NEBC=NMEB,ZNEC=NECB,

，NMBE=NMEB,NNEC=/ECN,

EN=CN,

:?MN=ME+EN,

即MN=BM+CN.

?:BM+CN=9

:?MN=9,

故答案為：9.

【變式3-2].(1)如圖AABC中，BD、CQ分別平分/ABC,NACB,過點。作

交AB、AC于點￡、F,試說明8E+C/=EF的理由.

(2)如圖，△A8C中，BD、CO分別平分乙43C,ZACG,過。作￡/〃8c交A3、AC

于點E、F,則BE、CF、七廠有怎樣的數(shù)量關系？并說明你的理由.

解：(1)?.?8。平分NA8C,

/.NABD=NCBD,

,:EF〃BC,

：,/EDB=/DBC,

???ZABD=ZEDB,

:?BE=ED,

同理D/=C凡

：.BE+CF=EF；

(2)BE-CF=EF,

由(1)知BE=ED,

,?EF//BC,：.NEDC=NDCG=ZACD,

:,CF=DF,

又,：ED-DF=EF,

:,BE-CF=EF.

考點四：利用角平分線作對稱

【例4].如圖，在△ABC中，N8=2NC,NB4C的角平分線交BC于D

求證：AB+BD=AC.

證明：在4c取一點七使

在△48。和△4/?/）中，

rAB=AD

<ZBAD=ZEAD,

AD=AD

:.XABD9XAED、

B=NAED,BD=DE,

又???NB=2NC,

???/AED=2/C,

*/ZAED是△￡口?的外角，

：.4EDC=4C,

:?ED=EC,

:.BD=EC,

：?AB+BD=AE+EC=AC.

【變式47].如圖，在△ABC中，ZABC=60°,AD.CE分別平分N84C、ZACB,求證:

AC=AE+CD.

證明：在AC上取4/=4E,連接OF,

'：AD平分NZMC、

：.ZEAO=ZFAO,

在△4E。與△AFO中，

rAE=AF

<ZEA0=ZFA0

AO=AO

/.(SAS),

：.ZAOE=ZAOF-

???A。、CE分別平分N84C、/ACB,

???ZEC4+ZDAC=—ZACB+AzBAC=—(ZACB+ZBAC)=—(180°-ZB)=60°

2222

則NAOC=I80°-ZECA-ZDAC=120°；

/.^AOC=ZDOE=\20°,NAOE=NCOD=NAOF=60°,

則NCOF=60°,

.\ZCOD=ZCOF,

rZC0D=ZC0F

:,在△產OC與△OOC中,<co=co,

ZFC0=ZDC0

:.△FOC9RDOC(ASA),

：,DC=FC,

*：AC=AF+FC,

：.AC=AE+CD.

【變式4-2].如圖，已知△ABC中，AB=AC,NA=100°,B。平分N4BC,求證：BC=

BD+AD.

證明：如圖，在4c上截取BE=8A,延長4。到F使"=8C,連接CF.

又=8。是公共邊，BE=BA,

???/XABD沿XEBD

AZDEB=ZA=100°，則得NDEC=80°

,：AB=AC,8。平分/ABC,

/.ZABC=Z3=18QO~100°=40°,

2

A5

???N1=N2=/c=20。,Z3=40°

2

?:BC=BF,Z2=20°,

:?NF=NFCB=Z(1800-Z2)=80°則NF=NZ)EC

2

AZ4=80°-Z3=40°,

AZ3=Z4,/F=/DEC,

又YDC=DC,

:.△DCEg^DCF(A-tS)

：,DF=DE=AD

:.BC=BF=BD+DF=BD+AD

【變式4-3].如圖，/XABC'中，A3是N/MC'的平分線，E、“分另U為A3、AC'上的點，連

接OE、DF,NEQ"N/3AC=18O0.求證：DE=DF.

證明：在48上截取4G=4尸，連接。G,如圖所示:

:A。是N84C的平分線，

AZ1=Z2,

AG=AF

在△/1OG與△AO/中，Z1=Z2,

AD=AD

/.(SAS)

/.ZAGD=ZAFD,DG=DF

XVZ4ED+ZEDF+ZDM+ZME=360°,NEOF+N84c=180°.

/.ZAED+ZAFD=\SQ0,

又N4+NAGQ=I8O°t

:.N4=N3,

：?DE=DG,

：,DE=DF.

實戰(zhàn)演練

1.已知/人OK=80°,ZBOC=5Q°,OD是NAOA的角平分線，O￡'是N8OC的角平分

線，則NQOE=65°或15°.

解：???N4O3=80°,N3OC=50°,且。。，OE分別為N408,N30C的角平分線,

AZBOD=—ZAOB=4(r，ZEOB=—ZBOC=25°，

22

①當。。在N4OB內時，如圖1,

圖1

AZDOE=ADOB-zEOB=40°-25°=15°.

②當OC在NAOZ?外時，如圖2,

A

圖2

NDOE=ND0B+NE0B=4U°+25°=65°.

綜上所述，N。。七的度數(shù)為65°或15°.

故答案是：65°或15°.

2.(I)如圖①在△ABC,ZC=90°,AD平分NC/W,BC=6cm,BD=4cm,那么點。到

AB的距離是2cm

(2)如圖②，己知N1=N2,Z3=Z4,求證：AP平分N8AC.

國①圖②

解：(1)如圖①，作OE_LA9于E,

*/BC=6(77?，BD=4c，

CD=2cm,

???4。平分NCA4,ZC=90°,DELAB,

：,DE=CD=2cm,即點D到AB的距離是2cm,

故答案為：2；

(2)證明：如圖②，作PQ_LA3于。，PE上8c于E,PF_LAC于足

VZI=Z2,PD1AB,PEA.BC,

:?PD=PE,

同理，PF=PE,

:?PD=PF,又PQJ_AB,PFLAC,

???4尸平分NB4C.

3.如圖，已知在△ABC中，BE、C。分別是NABC、NACB的平分線，BE、CO相交于點

/,且BO+CE=BC.求NA的度數(shù).

解：在8c上截取BF=8D,

?:BD+CE=BC,

：.CF=CE,

,:BE、CO分別是NA8C、N4C8的平分線，

AZ1=Z2,ZECI=/FCL

fBD=BF

在△&)/與△877中，Z1=Z2,

IBI=BI

:.叢BD1W叢BF1(SAS),

:?NBFI=NBDI,

同理，ZCFI=ZCEL

VZBFZ+ZCF7=18O°,

AZBD/+ZCE/=I8O°,

???/4O/+N4E/=180°,

AZA+ZD/E=180°,

VZD/￡=ZB/C=1800-Z2-Z/CF=180°-2(NA4C+N4c8)=180°--(180°

22

-NA)=180°-NA,

AZA=60°.

4.如圖，在△AGC中，BD,CO分別平分NA4c和/ACB,DE//AB,DF//AC.若BC=6,

則△/)￡?1的周長為6.

/.NABD=NEBD,

*：ED//AB,

：.NBDE=NABD=NEBD,

：,BE=ED.

同理可得DF=FC,

???DE+EF+DF=BE+EF+FC=BC=6.

故答案為：6.

5.如圖，已知AQ〃8C,/以8的平分線與NC84的平分線相交于E,CE的連線交4P于

9：AD//BC,

J/AFE=/CBE,

VZPAB的平分線與NCSA的平分線相交于E,

???NFAE=NBAE,NCBE=NABE,

/.ZAFE=NABE,

在AAFE和△ABE中，

fZAFE=ZABE

{/FAE=NBAE,

IAE=AE

：.l\AFE9XABE(A4S),

:?FE=BE,AF=AB,

在ADEF和ACER中，

'NDFE:NCBE

?FE=BE,

ZFED=ZBEC

:?△DEFmACEB(ASA),

，DF=BC,

6.如圖，在RtZ\A8C中，ZABC=90°,CO平分NACB交4B于點。，OE_L4C于點E,

BF〃DE交CD于點F.求證：DE=BF.

B

證明：TCQ平分NAC8,

/.Z1=Z2,

VZ1=Z2,DELAC.NA8C=90°

：,DE=BD,

VZ3=90°-Zl,Z4=90°-Z2,

AZ3=Z4,

,:BF〃DE,

：.Z4=Z5,

，N3=N5,

：?BD=BF,

:?DE=BF.

7.如圖，已知等腰直角三角形48c中，ZA=90°,AB=AC,4。平分/ABC,CELBD

于點、E,若△BC。的面積為16,則的長為（）

解：方法一：過。作于尸，

???8D平分NABC,NA=90°,

：,AD=DF,

VZA=90°,AB=AC,

：,ZABC=ZACB=45°,

???△C。尸是等腰直角三角形，

:.DF=CF,

設AD=DF=CF=x,

工。=而〃2yp>2=V2r>

：,AB=AC=(1+V2)x，

在RtZ\48O與Rt△月?。中，

/AD=DF

<BD=BD'

???RlA4B/注Rt△/BO(HL),

：.BF=AB=(1+V2)x，

:?BC=BF+CF=(2+^2)x，

1△BCD的面積為16,

??」8C?。尸=2X(2+V2)x?x=16,

22

/.?=16(2-A/2)，

，￡>產=16(2-V2)>8產=16(V2+2),

?,?^=7BF2+DF2=8-

方法二：

延長延長CE和交于F,

VZ4=90°,AB=AC,

???/。尸=90°,

:8。平分NA8C,BE1CF,

:.NABD=NCBD,N8EC=90°,

?：/BDA=/CDE,

：./ABD=/ACF,

父XACF(AAS),

:?BD=CF,

■:ABE=/CBE,BELCF,

:.CF=BD=2CE,

設CE=x,則BD=2x,

???△BC。的面積為16,

：,1.BD*CE=—X2X-A=16,

22

.*.x=4,

：.BD=S,

故選：B.

8.如圖，在△A3。中，力。是NBA。的外角平分線，戶是A。上異于點A的任一點，試比

較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.

A

解：PB+PC>AB+AC.

如圖，在物的延長線上取一點E,使AE=AC,連接EP,

由AQ是N8AC的外角平分線，可知NC4P=N￡AP,

又AP是公共邊，AE=AC,

在△AC。與AAE尸中,

<AE=AC

<ZEAP=ZCAP,

AP=AP

???△4CPgZXAE尸（SAS）,

〃、而有一C=產石，在△8尸￡中，PB十PE>BE,

而BE=AB+AE=AB+AC,

故PB+PE>AB+AC,

所以PB+POAB+AC.

E

Z1=Z2,BELAE.

證明：延長BE交4c于M

???BE_LAE,

:.NAEB=NAEM=9U0

在△AEF中,

VZ1+Z3+ZAEB=18O°,

AZ3=900-Z1

同理，Z4=90°-Z2

VZ1=Z2,

???N3=N4,

：.AB=AM

VBE1AE,

:?BM=2BE,

：.AC-AB=AC-AM=CM,

???N4是△BCM的外角

:.Z4=Z5+ZC

???/ABC=3NC,AZABC=Z3+Z5=Z4+Z5

A3ZC=Z4+Z5=2Z5+ZC

AZ5=ZC

:.CM=BM

10.如圖，BD、CD分別平分NA8C、N4C8,過點。作直線分別交AB、AC于點上、F,

AE=AF,BE=4,CF=2,回答下列問題：

(1)證明：ED=FD；

(2)試找出N3OC與NA的數(shù)量關系，并說明理由；

(3)求石尸的長.

(1)證明：過。點分別作短G_L8C,DKA.AB,DH1AC,垂足分別為G,K,H,如圖,

:?/EKD=/FHD=90°,

:8。平分/ABC,CQ平分NAC8,

:?DK=DG=DH,

在△￡KQ和△尸”。中，

，ZDKE=ZDHF

<ZKED=ZHFD,

DK=DH

f：AE=AF

???ZAEF=NAFE,

:.△EKDqAFHD(AAS),

:.ED=FD；

(2)解：ZBDC=90c+—ZA.

2

理由如下：

???8Q平分NA8C,CO平分NAC8,

:?NDBC=L/ABC,ZDCB=—ZACB,

22

：,ZDBC+ZDCB=—(/4BC+/4C8),

2

?：NBDC+NDBC+NDCB=180°,

/.ZBDC+^(ZABC+ZACB)=180°,

2

VZA+ZABC+ZACB=\^,

???NA8C+NACB=180°-/A,

AZBDC+-1(180°-NA)=180°,

2

：,ZBDC=90°+2NA；

2

(3)解：如圖，

?：BD,CO分別平分NA8C,NAC8,

AZ1=Z2,N3=N4,

VZ2+Z7+Z4=180°,Z5+Z6+Z7=180°,

???N2+N4=N5+N6,即NI+N3=N5+N6,

\*NAE"=上人FE,

???N1+N5=N3+N6,

AZ5=Z3,Z1=Z6,

:.△BEDsACED,

：.ED：CF=BEzDF,

,:DE=DF,

則EN=CFBE=2又A=8,

則ED=242^

：?EF=2ED=472.

11.感知：如圖1,4D平分NBAC.ZB+ZC=180°,N8=90°,易知：DB=DC.

探究：如圖2,AO平分N8AC,ZABD+ZACD=l80a,ZABD<90°,求證：DB=DC.

應用：如圖3,四邊形"CO中，ZB=45°,ZC=135°,DB=DC=a,則A6-AC

=_y[2q_(用含a的代數(shù)式表示)

探究：

證明：如圖②中，DELABTE,QELAC于尸,

TQA平分NBAC,DE1AB,DF1AC,

:?DE=DF,

???NB+/ACO=18()°.ZACD+ZFCD=\^)Q,

：?ZB=/FCD,

在△DFC和△OE8中，

2F=NDEB

<ZFCD=ZB.

DF=DE

:.叢DFC邊4DEB(AAS),

：.DC=DB.

應用：解：如圖③連接4。、DELABE,DFLACfF,

???N8+NACO=180°.ZACD+ZFCD=\S0°,

:,NB=NFCD,

在△DFC和中,

rZF=ZDEB

<ZFCD=ZB

DC=DB

/.ADFC^ADEB(AAS),

:.DF=DE,CF=BE,

在Rl^ADF和RtAADE中，

/AD=AD

<DE=DF'

A^ADF^AADE(HL),

：.AF=AE,

：.AB-AC=(AE+BEI-CAF-CF)=2BE,

在中，VZDEB=9(r,NB=NEDB=45°,BD=a,

：.BE=?a,

2

：,AB-AC—及a.

故答案為近小

圖②圖⑶

12.如圖，已知△八BC的三個內角的平分線交于點0,點。在C4的延長線上，且AO=AO,

CB=CD,連接BD.

(1)求證：/OBD=/ODB；

(2)若N8AC=80°,求NACB的長度.

證明：(1)???△ABC三個內角的平分線交于點0,

???ZACO=Z13CO,

在△CO。和△COB中，

CD=CB

<ZOCD=ZOCB.

CO=CO

???△COOdCOB(SA5),

??.OD=OB,ZOBC=ZODC,

：.ZOBD=ZODB；

(2)VZB4C=80°,

/.ZBAD=1OO°,

???N84O=40",

.??NO40=140°,

???AO=A。，

：.ZODA=20°,

：.ZCBO=20°,

，NABC=40°,

???NBCA=60°.

13.(1)如圖①，在RizMBC中，NC=90°,N8=45°,40平分N84C,交4c于點D如

果作輔助線。七_L/W于點，則可以得到AC、CD、三條線段之間的數(shù)量關系為3

=AC+CQ；

(2)如圖，△A8C中，NC=2N6,AO平分NBAC,交BC于點、D.(1)中的結論是否

解：(1)如圖1,〈AZ)平分NR4C,

：.ZCAD=ZEAD,

在△C4。和△E4。中

2C=NAED

<ZCAD=ZEAD,

AD=AD

.?.△CAD0△E4Q(/US),

；?CD=DE,AC=AE,

VZB=45°,ZDEB=90°,

:.DE=EB,

:?DC=BE,

：.AE+BE=AC+DC=AB,

故答案為：AB=AC+CD.

(2)成立.

證明：如圖2,在A4上截取4￡=AC,連接。E.

???在△ACD和△AEO中

AC=AE

<Z