2025年下學期高中數(shù)學競賽榮譽認定試卷一、選擇題（共8題，每題5分，共40分）已知復數(shù)(z=\frac{1+i}{1-i}+(1-i)^2)，則(|z|=)（）A.(\sqrt{2})B.2C.(\sqrt{5})D.3設集合(A={x\midx^2-4x+3<0})，(B={x\mid\log_2(x-1)<1})，則(A\cap(\complement_{\mathbb{R}}B)=)（）A.((1,2])B.([2,3))C.((1,3))D.((2,3))已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示，則(\omega+\varphi=)（）A.(\frac{\pi}{6})B.(\frac{\pi}{3})C.(\frac{\pi}{2})D.(\frac{2\pi}{3})在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(25\pi)已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的左、右焦點分別為(F_1)，(F_2)，過(F_2)的直線與雙曲線右支交于(A)，(B)兩點，若(|AF_1|=3|AF_2|)，且(\angleF_1AF_2=120^\circ)，則雙曲線的離心率為（）A.(\frac{\sqrt{13}}{2})B.(\sqrt{7})C.(\frac{\sqrt{10}}{2})D.(\sqrt{13})已知(a=\ln\frac{3}{2})，(b=\frac{1}{2}\ln2)，(c=2-\sqrt{2})，則(a)，(b)，(c)的大小關系為（）A.(a>b>c)B.(c>a>b)C.(b>a>c)D.(c>b>a)已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)在(x=-1)處取得極大值，在(x=3)處取得極小值，則(a+b=)（）A.-10B.-8C.8D.10甲、乙、丙、丁四名學生參加數(shù)學競賽，四人在成績公布前預測自己的排名：甲說：“我不會是最后一名。”乙說：“我會是第一名?！北f：“我會是第三名?！倍≌f：“我會是第一名或第四名。”成績公布后，發(fā)現(xiàn)只有一人預測錯誤，則第一名是（）A.甲B.乙C.丙D.丁二、填空題（共6題，每題5分，共30分）二項式(\left(x-\frac{2}{x}\right)^6)的展開式中常數(shù)項為________。已知向量(\boldsymbol{a}=(1,2))，(\boldsymbol=(m,1))，若(\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}-\boldsymbol))，則(m=)________。已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_3+a_7=10)，則(S_9=)________。若直線(y=kx+1)與圓((x-2)^2+(y-3)^2=4)相切，則(k=)________。已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_2x,&x>0,\end{cases})則(f(f(-1))=)；若(f(a)=\frac{1}{2})，則(a=)。（本小題第一空2分，第二空3分）已知正實數(shù)(x)，(y)滿足(x+2y=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})的最小值為________；若(x^2+y^2\geqm)恒成立，則(m)的最大值為________。（本小題第一空2分，第二空3分）三、解答題（共6題，共80分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，內角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，已知(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\cosA=-\frac{1}{2})。（1）求角(B)的大??；（2）求(\triangleABC)的面積。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC=AA_1=2)，(\angleACB=90^\circ)，點(D)為棱(A_1B_1)的中點。（1）求證：(CD\perp)平面(A_1ABB_1)；（2）求二面角(A-CD-B)的余弦值。（本小題滿分14分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(E)的標準方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與橢圓(E)交于(A)，(B)兩點，(O)為坐標原點，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{2})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分14分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求實數(shù)(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n+1}<\ln(n+1)<1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})（(n\in\mathbb{N}^*)）。（本小題滿分14分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+n+1)（(n\in\mathbb{N}^*)）。（1）證明：數(shù)列({a_n+n+2})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（3）設(b_n=\frac{a_n}{2^n})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(S_n)。（本小題滿分14分）已知函數(shù)(f(x)=\lnx-\frac{1}{2}ax^2+(a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(a=2)時，求函數(shù)(f(x))的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))有兩個極值點(x_1)，(x_2)（(