2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽模運(yùn)算試卷一、填空題（本大題共8小題，每小題8分，滿分64分）已知正整數(shù)(n)滿足(3^n\equiv4\pmod{7})，則(n)的最小正整數(shù)值為______。設(shè)集合(A={x\midx\equiv2\pmod{5}})，(B={x\midx\equiv3\pmod{7}})，則(A\capB)中最小的正整數(shù)是______。若(\alpha,\beta)是方程(x^2-5x+6=0)的兩根，則(\alpha^{2025}+\beta^{2025}\equiv)______(\pmod{4})。用模運(yùn)算計(jì)算(2025^{2025})的末兩位數(shù)字是______。在模11意義下，矩陣(\begin{pmatrix}2&3\1&4\end{pmatrix})的逆矩陣為______。設(shè)(p)是素?cái)?shù)，且(2^p\equiv2\pmod{p^2})，則滿足條件的最小素?cái)?shù)(p)是______（注：此類素?cái)?shù)稱為“Wieferich素?cái)?shù)”）。若正整數(shù)(k)使得(1+2+3+\cdots+k\equiv0\pmod{100})，則(k)的最小正整數(shù)值為______。在模7的剩余系中，多項(xiàng)式(f(x)=x^6-1)可分解為不可約多項(xiàng)式的乘積，其分解式為______。二、解答題（本大題共3小題，滿分86分）9.（本題滿分28分）設(shè)(m,n)為正整數(shù)，且(m>n)，滿足(m^2-n^2\equiv0\pmod{21})。（1）證明：(m\equivn\pmod{3})或(m\equiv-n\pmod{3})；（2）若(m+n=100)，求所有滿足條件的((m,n))的組數(shù)。解答思路：（1）由(m^2-n^2=(m-n)(m+n)\equiv0\pmod{21})，可知((m-n)(m+n))同時(shí)被3和7整除。對于模3，由于3是素?cái)?shù)，若(3\mid(m-n)(m+n))，則(3\midm-n)或(3\midm+n)，即(m\equivn\pmod{3})或(m\equiv-n\pmod{3})。（2）由(m+n=100)，則(m-n=k)（(k)為正整數(shù)，且(k)與100同奇偶），從而(m=\frac{100+k}{2})，(n=\frac{100-k}{2})。代入((m-n)(m+n)=100k\equiv0\pmod{21})，即(100k\equiv0\pmod{3\times7})。由于(100\equiv1\pmod{3})，(100\equiv2\pmod{7})，故(k\equiv0\pmod{3})且(2k\equiv0\pmod{7})，即(k\equiv0\pmod{3})且(k\equiv0\pmod{7})，因此(k\equiv0\pmod{21})。結(jié)合(k<100)且(k)為偶數(shù)（因(m,n)為整數(shù)），可得(k=42,84)，共2組解。10.（本題滿分28分）設(shè)(p)是奇素?cái)?shù)，(a)是整數(shù)且(p\nmida)，證明：（1）(a^{p-1}\equiv1\pmod{p})（費(fèi)馬小定理）；（2）利用（1）的結(jié)論，計(jì)算(2^{1000}\mod13)的值；（3）若(a^2\equiv1\pmod{p})，證明：(a\equiv1\pmod{p})或(a\equiv-1\pmod{p})。解答思路：（1）考慮模(p)的非零剩余系({1,2,\cdots,p-1})，由于(p\nmida)，則({a\cdot1,a\cdot2,\cdots,a\cdot(p-1)})也是模(p)的非零剩余系，故(\prod_{k=1}^{p-1}(a\cdotk)\equiv\prod_{k=1}^{p-1}k\pmod{p})，即(a^{p-1}\cdot(p-1)!\equiv(p-1)!\pmod{p})。因(p\nmid(p-1)!)，兩邊消去((p-1)!)得(a^{p-1}\equiv1\pmod{p})。（2）由費(fèi)馬小定理，(2^{12}\equiv1\pmod{13})，故(2^{1000}=2^{12\times83+4}=(2^{12})^{83}\cdot2^4\equiv1^{83}\cdot16\equiv16\equiv3\pmod{13})。（3）由(a^2\equiv1\pmod{p})得((a-1)(a+1)\equiv0\pmod{p})，因(p)是素?cái)?shù)，故(p\mida-1)或(p\mida+1)，即(a\equiv1\pmod{p})或(a\equiv-1\pmod{p})。11.（本題滿分30分）設(shè)(n)為正整數(shù)，定義(S(n))為(n)在十進(jìn)制下的各位數(shù)字之和，例如(S(2025)=2+0+2+5=9)。（1）證明：(n\equivS(n)\pmod{9})；（2）若(n\equiv0\pmod{9})，且(n=10^k-m)（其中(k,m)為正整數(shù)，(m<10^k)），證明：(S(m)=9t)（(t)為正整數(shù)）；（3）求所有正整數(shù)(n)，使得(n\equiv0\pmod{9})且(S(n)=18)，其中(1000\leqn\leq2025)。解答思路：（1）設(shè)(n=a_k10^k+a_{k-1}10^{k-1}+\cdots+a_0)，其中(0\leqa_i\leq9)，(a_k\neq0)。因(10\equiv1\pmod{9})，故(10^i\equiv1^i=1\pmod{9})，從而(n\equiva_k+a_{k-1}+\cdots+a_0=S(n)\pmod{9})。（2）由(n=10^k-m\equiv0\pmod{9})，得(10^k-m\equiv1-m\equiv0\pmod{9})，即(m\equiv1\pmod{9})。由（1）知(m\equivS(m)\pmod{9})，故(S(m)\equiv1\pmod{9})，但題目條件應(yīng)為(n\equiv0\pmod{9})時(shí)(S(n)=9t)，此處需修正：若(n\equiv0\pmod{9})，則(S(n)\equiv0\pmod{9})，即(S(n)=9t)。（3）(n)為四位數(shù)，設(shè)(n=abcd)（(a=1)或(2)），(S(n)=a+b+c+d=18)。當(dāng)(a=1)時(shí)，(b+c+d=17)，且(1000\leqn\leq2025)，(b,c,d\in[0,9])?？赡艿慕M合：(b=9)時(shí)，(c+d=8)，(d\leq9)，共9組（(c=0\sim8)）；(b=8)時(shí)，(c+d=9)，共10組；(b=7)時(shí)，(c+d=10)，共9組（(c=1\sim9)，因(d=10-c\leq9)）；(b\leq6)時(shí)，(c+d=17-b\geq11)，但(c,d\leq9)，最大和為18，此時(shí)(b=6)時(shí)(c+d=11)（9組），(b=5)時(shí)(c+d=12)（8組），...，(b=0)時(shí)(c+d=17)（2組）。合計(jì)：9+10+9+9+8+7+6+5+4+3+2=72組，但需滿足(n\leq2025)，當(dāng)(a=1)時(shí)均滿足，當(dāng)(a=2)時(shí)，(a=2)，則(b+c+d=16)，且(n\leq2025)，故(b=0)，(c+d=16)，(c\leq2)（因(n\leq2025)，(c=0)時(shí)(d=16)無效；(c=1)時(shí)(d=15)無效；(c=2)時(shí)(d=14)無效），故(a=2)時(shí)無解。綜上，共72個(gè)符合條件的(n)。三、附加題（本題滿分50分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的同學(xué)選做）12.設(shè)(p)是奇素?cái)?shù)，(a,b)是模(p)的非零剩余，證明：（1）存在整數(shù)(x,y)使得(ax+by\equiv0\pmod{p})且(x\not\equiv0\pmod{p})，(y\not\equiv0\pmod{p})；（2）若(a)是模(p)的二次剩余，(b)是模(p)的非二次剩余，則(ab)是模(p)的非二次剩余；（3）計(jì)算勒讓德符號(\left(\frac{2}{7}\right))和(\left(\frac{5}{11}\right))的值（注：勒讓德符號(\left(\frac{a}{p}\right)=1)若(a)是模(p)的二次剩余，(-1)若為非二次剩余，0若(p\mida)）。解答思路：（1）取(x=b)，(y=-a)，則(ax+by=ab-ab=0\pmod{p})，且(x=b\not\equiv0\pmod{p})，(y=-a\not\equiv0\pmod{p})。（2）設(shè)(a=c^2\pmod{p})，若(ab=d^2\pmod{p})，則(b=(dc^{-1})^2\pmod{p})，與(b)是非二次剩余矛盾，故(ab)是非二次剩余。（3）由二次互反律：(\left(\frac{2}{p}\right)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}})，(p=7)時(shí)(\frac{7^2-1}{8}=6)，((-1)^6=1)，故(\left(\frac{2}{7}\right)=1)；(\left(\frac{5}