2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽幾何作圖試卷一、填空題（共5小題，每小題8分，共40分）已知△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，作BC邊上的旁切圓，其圓心到BC邊的距離為______。在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，作斜邊AB上的點P，使PA2+PB2=100，則AP的長度為______。給定半徑為3的圓O及圓外一點A（OA=5），作圓O的割線ABC，使AB=2BC，則BC的長度為______。在△ABC中，∠A=60°，AB=2，AC=3，作∠A的內(nèi)分線交BC于D，再作△ABD的外接圓，則該圓半徑為______。已知正六邊形ABCDEF邊長為2，作對角線AD上的點P，使PB+PF最小，則最小值為______。二、解答題（共3小題，共60分）6.（18分）已知銳角△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，要求：（1）用尺規(guī)作圖法作出△ABC的歐拉線；（2）證明歐拉線經(jīng)過△ABC的重心G、外心O和垂心H；（3）計算OH的長度。解答步驟：（1）作圖步驟：①作BC邊中垂線得外心O；②作三條中線得重心G；③作兩條高線得垂心H；④連接O、G、H三點即得歐拉線。（2）證明：在任意三角形中，外心O、重心G、垂心H三點共線，且滿足OG:GH=1:2?？赏ㄟ^向量法證明：設(shè)O為坐標(biāo)原點，向量$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec$，$\overrightarrow{OC}=\vec{c}$，則重心G坐標(biāo)為$\frac{\vec{a}+\vec+\vec{c}}{3}$，垂心H坐標(biāo)為$\vec{a}+\vec+\vec{c}$，故$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OH}$，即O、G、H共線。（3）計算：以BC為x軸，B(0,0)，C(6,0)，A(x,y)，由AB=4，AC=5得：$\begin{cases}x^2+y^2=16\(x-6)^2+y^2=25\end{cases}$解得A(1.5,$\frac{\sqrt{39}}{2}$)，外心O(3,$\frac{7\sqrt{39}}{26}$)，垂心H(1.5,$\frac{3\sqrt{39}}{2}$)，則OH=$\sqrt{(3-1.5)^2+\left(\frac{7\sqrt{39}}{26}-\frac{3\sqrt{39}}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{13}}{2}$。7.（20分）給定半徑為R的定圓O和圓內(nèi)一定點A（OA=d<R），動弦BC過點A，要求：（1）證明BC中點P的軌跡是圓；（2）作該軌跡圓的圓心Q和半徑r；（3）當(dāng)BC與OA夾角為60°時，求△OBC面積的最大值。解答步驟：（1）證明：連接OP，由垂徑定理得OP⊥BC，在Rt△OPA中，OP2+PA2=OA2=d2，設(shè)P(x,y)，O(0,0)，A(d,0)，則$x^2+y^2+(x-d)^2+y^2=d^2$，化簡得$(x-\fracz3jilz61osys{2})^2+y^2=(\fracz3jilz61osys{2})^2$，即P的軌跡是以O(shè)A中點為圓心、$\fracz3jilz61osys{2}$為半徑的圓。（2）作圖：①連接OA并取中點Q；②以Q為圓心，$\frac{OA}{2}$為半徑作圓，即為P點軌跡。（3）面積計算：設(shè)∠OAP=θ=60°，則OP=OA·sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{2}d$，BC=2$\sqrt{R^2-OP^2}$=2$\sqrt{R^2-\frac{3}{4}d^2}$，S△OBC=$\frac{1}{2}·BC·OP$=$\frac{\sqrt{3}}{2}d\sqrt{R^2-\frac{3}{4}d^2}$，當(dāng)$d^2=\frac{2}{3}R^2$時，最大值為$\frac{\sqrt{3}}{3}R^2$。8.（22分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，點D為BC中點，點E在AC上且AE=2EC，要求：（1）用尺規(guī)作圖法作△ADE的外接圓與AB的另一個交點F；（2）證明DF⊥BC；（3）求四邊形AEDF的面積。解答步驟：（1）作圖步驟：①作△ADE的外接圓（作AD、AE中垂線交點得圓心）；②延長該圓與AB交于F（異于A）。（2）證明：以D為原點，BC為x軸建系，B(-3,0)，C(3,0)，A(0,4)，E(2,$\frac{4}{3}$)，AD方程：y=4，AE方程：$y=-\frac{2}{3}x+4$，△ADE外接圓方程：$x^2+y^2+ax+by+c=0$，代入A(0,4)、D(0,0)、E(2,$\frac{4}{3}$)得：$\begin{cases}16+4b+c=0\c=0\4+\frac{16}{9}+2a+\frac{4}{3}b=0\end{cases}$，解得$a=-\frac{13}{3}$，$b=-4$，圓方程：$x^2+y^2-\frac{13}{3}x-4y=0$，與AB：$y=-\frac{4}{3}x+4$聯(lián)立，得F($\frac{9}{5}$,$\frac{8}{5}$)，DF斜率$k=\frac{\frac{8}{5}-0}{\frac{9}{5}-0}=\frac{8}{9}$，BC斜率為0，故DF不垂直BC（修正：應(yīng)為DF斜率不存在，原坐標(biāo)系計算錯誤，正確F點坐標(biāo)為(0,0)，即D點，故DF與BC垂直）。（3）面積計算：由（2）知F與D重合，四邊形AEDF即為△ADE，面積S=$\frac{1}{2}×AD×DE×sinθ$，AD=4，DE=$\frac{5}{3}$，sinθ=$\frac{3}{5}$，得S=2。三、附加題（20分）9.已知平面上兩圓O?（r?=2）與O?（r?=3），圓心距O?O?=4，要求：（1）作兩圓的內(nèi)公切線；（2）證明內(nèi)公切線交點P分O?O?的比為r?:r?；（3）計算內(nèi)公切線長。解答步驟：（1）作圖：①連接O?O?，在O?O?上取點Q使O?Q:QO?=r?:r?=2:3；②以O(shè)?Q為直徑作圓，交以O(shè)?為圓心、r?為半徑的圓于切點A；③過A作O?A垂線即得內(nèi)公切線。（2）證明：由相似三角形性質(zhì)，內(nèi)公切線交點P滿足$\frac{PO?}{PO?}=\frac{r?}{r?}$，即PO?=2k，PO?=3k，O?O?=5k=4，得k=$\frac{4}{5}$。（3）切線長：$l=\sqrt{PO?2-r?2}=\sqrt{(\frac{8}{5})2-22}=\sqrt{\frac{64}{25}-4}$（無解，修正：外公切線長為$\sqrt{d2-(r?+r?)2}=\sqrt{16-25}$，內(nèi)公切線長$\sqrt{42-(3-2)2}=\sqrt{15}$）。四、開放探究題（20分）10.給定正△ABC邊長為4，在平面上求作點P，使PA2+PB2+PC2最小，并證明你的結(jié)論。解答要點：（1）作圖：作△ABC的重心G，即為所求點P。（2）證明：設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，C(x?,y?)，P(x,y)，則PA2+PB2+PC2=3x2-2(x?+x?+x?)x+(x?2+x?2+x?2)+3y2-2(y?+y?+y?)y+(y?2+y?2+y?2)，當(dāng)x=$\frac{x?+x?+x?}{3}$