2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)單元過關(guān)檢測(cè)試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((2,3))函數(shù)(f(x)=\sqrt{\log_2(x-1)}+\frac{1}{x-3})的定義域是（）A.([2,3)\cup(3,+\infty))B.((1,3)\cup(3,+\infty))C.([2,+\infty))D.((1,+\infty))已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(-4)B.(-1)C.(1)D.(4)已知(\sin\alpha=\frac{3}{5})，(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi))，則(\tan(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(-\frac{1}{7})B.(\frac{1}{7})C.(-7)D.(7)函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)在區(qū)間([-1,2])上的最大值是（）A.(2)B.(0)C.(-2)D.(-4)已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=13)，則公比(q=)（）A.(3)B.(-4)C.(3)或(-4)D.(-3)或(4)某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.(12\pi)B.(18\pi)C.(24\pi)D.(36\pi)（注：此處默認(rèn)三視圖為一個(gè)底面半徑3cm、高4cm的圓柱挖去一個(gè)同底等高的圓錐）已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:(x-1)^2+(y+2)^2=9)相交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AB|=4\sqrt{2})，則(k=)（）A.(-2)B.(-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.(2)已知函數(shù)(f(x)=\cos(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的部分圖象如圖所示，則(\omega,\varphi)的值分別為（）A.(\omega=2)，(\varphi=-\frac{\pi}{3})B.(\omega=2)，(\varphi=\frac{\pi}{3})C.(\omega=1)，(\varphi=-\frac{\pi}{6})D.(\omega=1)，(\varphi=\frac{\pi}{6})（注：此處默認(rèn)圖象顯示周期為(\pi)，且過點(diǎn)((\frac{\pi}{6},1))）已知(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=2^{0.1})，則(a,b,c)的大小關(guān)系是（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(c<a<b)D.(c<b<a)已知雙曲線(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的一條漸近線方程為(y=2x)，且過點(diǎn)((1,2\sqrt{3}))，則雙曲線的焦距為（）A.(2\sqrt{5})B.(4\sqrt{5})C.(\sqrt{5})D.(2\sqrt{3})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})若關(guān)于(x)的方程(f(x)=kx-1)有且僅有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍是（）A.((0,1))B.((0,\frac{1}{e}))C.((\frac{1}{e},1))D.((1,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若((x+\frac{1}{x})^n)的展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中(x^2)的系數(shù)為________。已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_3+a_5=10)，則(S_7=)________。某公司為了解員工對(duì)“辦公自動(dòng)化”課程的掌握程度，隨機(jī)抽取了100名員工進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示（注：此處默認(rèn)直方圖中各組數(shù)據(jù)頻率分別為：[50,60)0.1，[60,70)0.2，[70,80)0.4，[80,90)0.2，[90,100]0.1），則這100名員工成績(jī)的中位數(shù)為________。在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則該三棱錐外接球的表面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=2a_n+1)。（1）證明：數(shù)列({a_n+1})是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)。（本小題滿分12分）在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對(duì)的邊分別為(a,b,c)，且滿足(b\cosA=(2c-a)\cosB)。（1）求角(B)的大?。唬?）若(b=3)，(\triangleABC)的面積為(\frac{3\sqrt{3}}{2})，求(a+c)的值。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，點(diǎn)(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求三棱錐(A_1-ADE)的體積。（本小題滿分12分）某工廠生產(chǎn)一種精密儀器，已知該儀器的固定成本為200萬(wàn)元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加成本10萬(wàn)元，設(shè)該儀器的年產(chǎn)量為(x)臺(tái)（(x\in\mathbb{N}^*)），當(dāng)(x\leq40)時(shí)，年銷售總收入為((30x-\frac{1}{2}x^2))萬(wàn)元；當(dāng)(x>40)時(shí)，年銷售總收入為600萬(wàn)元。設(shè)該工廠生產(chǎn)儀器的年利潤(rùn)為(y)萬(wàn)元。（1）求(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少臺(tái)時(shí)，該工廠的年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？（本小題滿分12分）已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，(O)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若(k_{OA}\cdotk_{OB}=-\frac{1}{4})，求證：(\triangleAOB)的面積為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x)（(a\in\mathbb{R})）。（1）當(dāng)(a=1)時(shí)，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求(a)的取值范圍；（3）若函數(shù)(f(x))有兩個(gè)極值點(diǎn)(x_1,x_2)（(x_1<x_2)），求證：(x_1+x_2>2)。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題A2.A3.D4.A5.A6.C7.B8.B9.A10.A11.B12.C二、填空題21014.3515.7516.(19\pi)三、解答題（部分詳解）（1）證明：由(a_{n+1}=2a_n+1)，得(a_{n+1}+1=2(a_n+1))，又(a_1+1=2)，故數(shù)列({a_n+1})是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（5分）（2）解：由（1）知(a_n+1=2^n)，則(a_n=2^n-1)，故(S_n=(2^1+2^2+\cdots+2^n)-n=2^{n+1}-n-2)。（10分）（1）解：由正弦定理得(\sinB\cosA=(2\sinC-\sinA)\cosB)，化簡(jiǎn)得(\sin(A+B)=2\sinC\cosB)，即(\sinC=2\sinC\cosB)，又(\sinC\neq0)，故(\cosB=\frac{1}{2})，(B=\frac{\pi}{3})。（6分）（2）解：由面積公式得(\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{3\sqrt{3}}{2})，即(ac=6)。由余弦定理得(a^2+c^2-ac=9)，即((a+c)^2-3ac=9)，解得(a+c=\sqrt{27}=3\sqrt{3})。（12分）（1）證明：連接(A_1B)，(A_1C)，在直三棱柱中，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點(diǎn)，故(DE\parallelA_1B)，又(A_1B\subset)平面(ABB_1A_1)，(DE\not\subset)平面(ABB_1A_1)，所以(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)。（6分）（2）解：以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，得(A(0,0,0))，(D(1,1,0))，(E(1,1,2))，(A_1(0,0,2))。向量(\overrightarrow{AD}=(1,1,0))，(\overrightarrow{AE}=(1,1,2))，(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2))，三棱錐體積(V=\frac{1}{3}S_{\triangleADE}\cdot|AA_1|=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times2\times2=\frac{2}{3})。（12分）（1）解：當(dāng)(x\leq40)時(shí)，(y=30x-\frac{1}{2}x^2-10x-200=-\frac{1}{2}x^2+20x-200)；當(dāng)(x>40)時(shí)，(y=600-10x-200=400-10x)。綜上，(y=\begin{cases}-\frac{1}{2}x^2+20x-200,&x\leq40,\400-10x,&x>40\end{cases})（6分）（2）解：當(dāng)(x\leq40)時(shí)，(y=-\frac{1}{2}(x-20)^2+0)，故當(dāng)(x=20)時(shí)，(y_{\text{max}}=0)；當(dāng)(x>40)時(shí)，(y=400-10x)單調(diào)遞減，此時(shí)(y<0)。綜上，年產(chǎn)量為20臺(tái)時(shí)，年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為0萬(wàn)元。（12分）（1）解：由離心率(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，得(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a)，(b^2=a^2-c^2=\frac{1}{4}a^2)。將點(diǎn)((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{a^2}+\frac{1}{\frac{1}{4}a^2}=1)，解得(a^2=8)，(b^2=2)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（6分）（2）證明：聯(lián)立直線與橢圓方程得((1+4k^2)x^2+8kmx+4m^2-8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{8km}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{4m^2-8}{1+4k^2})。由(k_{OA}\cdotk_{OB}=\frac{y_1y_2}{x_1x_2}=-\frac{1}{4})，得(4y_1y_2+x_1x_2=0)，代入化簡(jiǎn)得(2m^2=4k^2+1)。原點(diǎn)到直線(l)的距離(d=\frac{|m|}{\sqrt{1+k^2}})，(|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\frac{4\sqrt{2(1+k^2)}}{1+4k^2})，故(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|AB|d=\sqrt{2})（定值）。（12分）（1）解：當(dāng)(a=1)時(shí)，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx-2x+2)。令(f'(x)=0)，得(x=1)或(x=e^0=1)（導(dǎo)數(shù)在(x=1)處為0，且在((0,1))上(f'(x)>0)，在((1,+\infty))上(f'(x)<0)），故(f(x))的單調(diào)遞增區(qū)間為((0,1))，單調(diào)遞減區(qū)間為((1,+\infty))。（4分）（2）解：(f'(x)=\lnx-2ax+2a)，由題意得(f'(x)\leq0)在((1,+\infty))上恒成立，即(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})。令(g(x)=\frac{\lnx}{x-1}(x>1))，則(g'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})，令(h(x)=\frac{x-1}{x}-\lnx)，則(h'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}<0)，故(h(x)<h(1)=0)，(g(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞減，(\lim_{x\to1^+}g(x)=1)，故(2a\geq1)，(a\geq\frac{1}{2})。（8分）（3）證明：由極值點(diǎn)定義得(x_1,x_2)是(f'(x)=0)的兩根，即(\lnx_1=2a(x_1-1))，(\lnx_2=2a(x_2-1))。兩式相減得(\ln\frac{x_1}{x_2}=2a(x_1-x_2))，令(t=\frac{x_1}{x_2}(0<t<1))，則(x_1=tx_2)