2025年下學期高中數(shù)學競賽極端原理試卷一、選擇題（每題5分，共30分）已知集合A={1,2,3,...,2025}，從中任取k個元素，使得其中必有兩個數(shù)的差為12，則k的最小值為（）A.1013B.1014C.1015D.1016在△ABC中，AB=5，AC=7，BC=8，點P為三角形內任意一點，則PA+PB+PC的最小值為（）A.10B.11C.12D.13已知正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，則(a+1/a)2+(b+1/b)2+(c+1/c)2的最小值為（）A.100/3B.100C.100/9D.100/27圓周上有2025個點，將其任意染成紅、藍兩種顏色，則至少存在多少個同色三角形（）A.135B.136C.137D.138已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，若對于任意x∈[0,3]，都有f(x)≤m成立，則m的最小值為（）A.0B.2C.4D.6在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點P為空間任意一點，且滿足PA=2PB，則點P的軌跡所圍成的幾何體體積為（）A.4π/3B.8π/3C.16π/3D.32π/3二、填空題（每題5分，共30分）已知正整數(shù)n≤2025，且n滿足存在正整數(shù)a,b,c，使得a2+b2+c2=n，則n的最大值為。設x,y,z為非負實數(shù)，且x+y+z=1，則x2y+y2z+z2x的最大值為。平面上有10個點，任意三點不共線，任意兩點之間連一條線段，將每條線段染成紅、藍兩種顏色之一，則同色三角形的個數(shù)至少為。已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，則使得a?>2025成立的最小n值為。在△ABC中，∠A=60°，BC=4，點D,E分別在邊AB,AC上，則DE長度的最小值為。已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x-2|+...+|x-2025|，則f(x)的最小值為。三、解答題（每題20分，共60分）已知正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=3，求證：(a2+3)(b2+3)(c2+3)≥64。證明：由柯西不等式知：(a2+3)(1+3)≥(a+√3·√3)2=(a+3)2，即(a2+3)≥(a+3)2/4同理可得(b2+3)≥(b+3)2/4，(c2+3)≥(c+3)2/4三式相乘得(a2+3)(b2+3)(c2+3)≥[(a+3)(b+3)(c+3)]2/64由均值不等式知(a+3)(b+3)(c+3)≤[(a+3+b+3+c+3)/3]3=(a+b+c+9)3/27=(3+9)3/27=123/27=64因此[(a+3)(b+3)(c+3)]2/64≥642/64=64，即(a2+3)(b2+3)(c2+3)≥64當且僅當a=b=c=1時等號成立，原不等式得證。已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=f(a?)+1，求證：對于任意正整數(shù)n，都有a?≤2??1。證明：用數(shù)學歸納法①當n=1時，a?=1≤2?=1，不等式成立②假設當n=k時，不等式成立，即a?≤2??1則當n=k+1時，a???=f(a?)+1=a?3-3a?2+2a?+1令g(x)=x3-3x2+2x+1，x∈(0,2??1]求導得g'(x)=3x2-6x+2，令g'(x)=0得x=1±√3/3當x∈(0,1-√3/3)時，g'(x)>0；當x∈(1-√3/3,1+√3/3)時，g'(x)<0；當x∈(1+√3/3,+∞)時，g'(x)>0因此g(x)在x=1-√3/3處取得極大值，在x=1+√3/3處取得極小值又因為g(0)=1，g(2)=8-12+4+1=1，g(1)=1-3+2+1=1所以當x∈(0,2]時，g(x)≤g(1-√3/3)≈g(0.4226)≈0.075-3×0.1786+2×0.4226+1≈0.075-0.5358+0.8452+1≈1.3844<2當x>2時，g(x)=x3-3x2+2x+1=x2(x-3)+2x+1因為x≤2??1，所以x2(x-3)+2x+1≤(2??1)2(2??1-3)+2×2??1+1當k≥2時，2??1≥2，2??1-3≥-1，所以(2??1)2(2??1-3)≥-4因此g(x)≤-4+2×2??1+1=2?-3≤2?（當k≥2時）綜上，a???=g(a?)≤2?，即當n=k+1時不等式成立由①②可知，對于任意正整數(shù)n，都有a?≤2??1在平面直角坐標系中，已知點A(0,1)，B(0,-1)，C(1,0)，D(-1,0)，點P(x,y)為平面上任意一點，記d(P,Q)表示點P到點Q的距離，求d(P,A)+d(P,B)+d(P,C)+d(P,D)的最小值。解：由對稱性，不妨設P(x,y)在第一象限，即x≥0,y≥0則d(P,A)+d(P,B)=√(x2+(y-1)2)+√(x2+(y+1)2)由距離公式的幾何意義知，這表示點P到(0,1)和(0,-1)的距離之和由橢圓定義知，當x=0時，該距離之和取得最小值2d(P,C)+d(P,D)=√((x-1)2+y2)+√((x+1)2+y2)同理，當y=0時，該距離之和取得最小值2因此當P為原點(0,0)時，d(P,A)+d(P,B)+d(P,C)+d(P,D)取得最小值4經檢驗，原點處確實滿足條件，因此最小值為4四、附加題（每題30分，共60分）已知正整數(shù)n≥2，在n×n的方格表中，每個格子內填入1或-1，記第i行的乘積為R?，第j列的乘積為C?，求證：R?+R?+...+R?+C?+C?+...+C?≤2n。證明：設R?中1的個數(shù)為k，-1的個數(shù)為n-k則R?+R?+...+R?=k×1+(n-k)×(-1)=2k-n同理設C?中1的個數(shù)為m，-1的個數(shù)為n-m則C?+C?+...+C?=2m-n因此R?+...+R?+C?+...+C?=2(k+m)-2n要證原式，只需證2(k+m)-2n≤2n，即k+m≤2n顯然k≤n，m≤n，因此k+m≤2n，當且僅當k=n且m=n時等號成立此時所有R?=1，所有C?=1，即方格表中所有數(shù)均為1因此原不等式成立，當且僅當所有格子內都填入1時等號成立圓周上有2025個點，將其任意染成紅、藍兩種顏色，求證：必存在兩個同色點，使得它們之間的弧長不超過圓周的1/2024。證明：用反證法，假設不存在兩個同色點使得它們之間的弧長不超過圓周的1/2024即任意兩個同色點之間的弧長都大于圓周的1/2024不妨設圓周長度為1，紅點有m個，藍點有n個，m+n=2025則紅點將圓周分成m段弧，每段弧長>1/2024，因此m×(1/2024)<1，即m<2024同理n<2024，因此m+n<4048，這與m+n=2025矛盾矛盾說明假設不成立，因此必存在兩個同色點，使得它們之間的弧長不超過圓周的1/2024已知函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，且f(0)=f(1)=0，求證：存在ξ∈[0,1]，使得|f'(ξ)|≥4∫?1|f(x)|dx。證明：設M=∫?1|f(x)|dx，要證存在ξ∈[0,1]，使得|f'(ξ)|≥4M用反證法，假設對任意x∈[0,1]，都有|f'(x)|<4M由拉格朗日中值定理知，對任意x∈[0,1/2]，存在ξ?∈(0,x)，使得f(x)=f(0)+f'(ξ?)x=f'(ξ?)x因此|f(x)|=|f'(ξ?)|x<4Mx同理對任意x∈[1/2,1]，存在ξ?∈(x,1)，使得f(x)=f(1)+f'(ξ?)(x-1)=f'(ξ?)(x-1)因此|f(x)|=|f'(ξ?)|(1-x)<4M(1-x)所以∫?1|f(x)|dx=∫?1/2|f(x)|dx+∫?/21|f(x)|dx<∫?1/24Mxdx+∫?/214M(1-x)dx計算得4M×(1/2×(1/2)2)+4M×(1/2×(1/2)2)=4M×(1/8+1/8)=4M×1/4=M即∫?1|f(x)|dx<M，與M=∫?1|f(x)|dx矛盾因此假設不成立，原命題得證已知正整數(shù)n≥2，集合A={1,2,...,n}，S是A的所有子集構成的集合，對任意X,Y∈S，定義X+Y={x+y|x∈X,y∈Y}，求|X+Y|的最小值。解：設X中元素個數(shù)為k，Y中元素個數(shù)為m則|X+Y|≥|X|+|Y|-1=k+m-1（舒爾不等式）當X={1,2,...,k}，Y={1,2,...,m}時等號成立因此要使|X+Y|最小，只需k+m最小當k=1，m=1時，k+m-1=1，此時|X+Y|=1但X,Y為非空子集，當X={1}，Y={1}時，X+Y={2}，|X+Y|=1當n≥2時，這樣的子集存在，因此|X+Y|的最小值為1在空間直角坐標系中，已知球O的半徑為2，點A(1,0,0)，B(-1,0,0)，C(0,1,0)，D(0,-1,0)，E(0,0,1)，F(xiàn)(0,0,-1)在球面上，點P為球面上任意一點，求PA2+PB2+PC2+PD2+PE2+PF2的值。解：設P(x,y,z)，則x2+y2+z2=4PA2=(x-1)2+y2+z2=x2-2x+1+y2+z2=4-2x+1=5-2x同理PB2=5+2x，PC2=5-2y，PD2=5+2y，PE2=5-2z，PF2=5+2z因此PA2+PB2+PC2+PD2+PE2+PF2=(5-2x)+(5+2x)+(5-2y)+(5+2y)+(5-2z)+(5+2z)=30即所求值為30五、開放題（40分）請設計一個運用極端原理解決的數(shù)學問題，并給出詳細解答。問題：在平面直角坐標系中，已知點A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)，點P(x,y)滿足x≥0,y≥0,x+y≤1，求x2+y2+xy的最大值。解答：由題意知點P在△ABC內部或邊界上令f(x,y)=x2+y2+xy求偏導得?f/?x=2x+y，?f/?y=2y+x令偏導數(shù)為0得2x+y=0，2y+x=0，解得x=0,y=0此時f(0,0)=0在邊界AB上：y=0,0≤x≤1，f(x,0)=x2，最大值為f(1,0)=1在邊界AC上：x=0,0≤y≤1，f(0,y)=y2，最大值為f(0,1)=1在邊界BC上：x+y=1,0≤x≤1，f(x,1-x)=x2+(1-x)2+x(1-x)=x2+1-2x+x2+x-x2=x2-x+1求導得2x-1=0，x=1/2，此時f(1/2,1/2)=3/4比較各點函數(shù)值：f(1,0)=1，f(0,1)=1，f(1/2,1/2)=3/4因此最大值為1，當(x,y)=(1,0)或(0,1)時取得通過極端原理，函數(shù)在邊界點處取得最大值，驗證了極端情況的重要性已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1，求證：對于任意正整數(shù)n，都有a?=2?-1。證明：用數(shù)學歸納法①當n=1時，a?=1=21-1，等式成立②假設當n=k時，等式成立，即a?=2?-1則當n=k+1時，a???=2a?+1=2(2?-1)+1=2??1-2+1=2??1-1等式也成立由①②可知，對于任意正整數(shù)n，都有a?=2?-1該數(shù)列的每一項都是前一項的2倍加1，通過歸納法可以證明其通項公式，體現(xiàn)了極端情況下的遞推關系在△ABC中，已知AB=AC=2，∠BAC=120°，點D,E,F分別在邊BC,AB,AC上，且DE∥AC，DF∥AB，求四邊形AEDF面積的最大值。解：由題意知△ABC為等腰三角形，BC=2√3設BD=x，則DC=2√3-x因為DE∥AC，所以△BDE∽△BCA，相似比為x/(2√3)因此DE=AC×x/(2√3)=2x/(2√3)=x/√3同理DF=AB×(2√3-x)/(2√3)=(2√3-x)/√3四邊形AEDF為平行四邊形，面積S=DE×DF×sin120°代入得S=(x/√3)×[(2√3-x)/√3]×(√3/2)=x(2√3-x)×√3/6=(-√3/6)x2+(2√3×√3/6)x=(-√3/6)x2+x求導得S'=-√3/3x+1，令S'=0得x=3/√3=√3此時S=(-√3/6)(√3)2+√3=(-√3/6)(3)+√3=-√3/2+√3=√3/2因此四邊形AEDF面積的最大值為√3/2，當BD=√3時取得通過建立函數(shù)關系，利用導數(shù)求極值，得到了面積的最大值，體現(xiàn)了極端原理在幾何中的應用已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，求函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值和最小值。解：求導得f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3計算區(qū)間內關鍵點的函數(shù)值：f(0)=03-3×02+2×0=0f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)≈-0.385f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)≈0.385f(3)=33-3×32+2×3=27-27+6=6比較各點函數(shù)值：f(3)=6最大，f(1-√3/3)≈-0.385最小因此函數(shù)在區(qū)間[0,3]上的最大值為6，最小值約為-0.385通過求導找到極值點，再比較端點值，得到函數(shù)在區(qū)間上的最值，體現(xiàn)了微積分中的極端原理應用已知正整數(shù)n≥2，求證：1+1/2+1/3+...+1/n不是整數(shù)。證明：設S=1+1/2+1/3+...+1/n令2?是不超過n的最大2的冪次，即2?≤n<2??1在S中，只有1/2?的分母含有2?這個因子，其他項的分母含有的2的冪次都小于k將S通分，公分母為N=1×2×3×...×n分子中只有1/2?對應的項不含因子2，其他項都含因子2因此分子為奇數(shù)，分母為偶數(shù)，S=奇數(shù)/偶數(shù)，不是整數(shù)通過分析最大冪次項的特性，證明了調和級數(shù)的部分和不是整數(shù)，體現(xiàn)了極端項分析的重要性在平面直角坐標系中，已知橢圓x2/4+y2=1，點P為橢圓上任意一點，F(xiàn)?,F?為橢圓的兩個焦點，求|PF?|×|PF?|的最大值和最小值。解：由橢圓方程知a=2，b=1，c=√3，F(xiàn)?(-√3,0)，F(xiàn)?(√3,0)設P(x,y)，則|PF?|=√[(x+√3)2+y2]，|PF?|=√[(x-√3)2+y2]|PF?|×|PF?|=√{[(x+√3)2+y2][(x-√3)2+y2]}=√[(x2+y2+3)2-(2√3x)2]=√[(x2+y2+3)2-12x2]因為y2=1-x2/4，代入得=√[(x2+1-x2/4+3)2-12x2]=√[(3x2/4+4)2-12x2]=√[9x?/16+6x2+16-12x2]=√[9x?/16-6x2+16]=√[(3x2/4-4)2]=|3x2/4-4|因為x2∈[0,4]，所以3x2/4∈[0,3]，3x2/4-4∈[-4,-1]因此|3x2/4-4|=4-3x2/4當x2=0時，最大值為4；當x2=4時，最小值為1通過代數(shù)變形，將距離乘積轉化為關于x2的函數(shù)，利用極端值求得了最值，體現(xiàn)了極端原理在解析幾何中的應用已知正實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=1，求證：a3+b3+c3≥1/9。證明：由冪平均不等式知(a3+b3+c3)/3≥[(a+b+c)/3]3=1/27因此a3+b3+c3≥3×1/27=1/9當且僅當a=b=c=1/3時等號成立通過不等式直接證明，利用了極端情況下的等號成立條件，體現(xiàn)了極端原理在不等式證明中的應用在棱長為1的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點P為空間任意一點，求PA+PB+PC+PD的最小值。解：由對稱性，點P應在正方體中心時取得最小值正方體中心坐標為(1/2,1/2,1/2)PA=√[(1/2)2+(1/2)2+(1/2)2]=√3/2同理PB=PC=PD=√3/2因此PA+PB+P