2025年下學期高中數學沖刺卷一試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((1,3])C.((2,3])D.([2,3])復數(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數單位）的共軛復數(\overline{z})在復平面內對應的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(m,8))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m^2+|\vec{a}-\vec|=)（）A.16B.20C.24D.28函數(f(x)=\frac{\sinx+x^3}{x^2+1})的大致圖像為（）A.（圖像選項略，提示：奇函數，x>0時f(x)>0，單調遞增）B.（圖像選項略）C.（圖像選項略）D.（圖像選項略）已知等差數列({a_n})的前(n)項和為(S_n)，若(a_2+a_5=14)，(S_7=49)，則(a_7=)（）A.10B.11C.12D.13某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.(8\pi+16)B.(12\pi+16)C.(16\pi+16)D.(20\pi+16)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）A.(\frac{5}{6})B.(\frac{3}{4})C.(\frac{2}{3})D.(\frac{1}{2})已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin2\alpha+\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{3\sqrt{10}+10}{10})B.(\frac{3\sqrt{10}-10}{10})C.(\frac{\sqrt{10}+10}{10})D.(\frac{\sqrt{10}-10}{10})已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A,B)兩點，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm\sqrt{2})D.(\pm2)已知函數(f(x)=\lnx-ax^2+(2-a)x)，若(f(x))在((0,+\infty))上單調遞增，則實數(a)的取值范圍為（）A.((-\infty,1])B.((-\infty,0])C.([0,1])D.([1,+\infty))在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則三棱錐(P-ABC)的外接球表面積為（）A.(13\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(25\pi)已知函數(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\ln(x+1),&x>0,\end{cases})若關于(x)的方程(f(x)=m)有三個不同的實根，則實數(m)的取值范圍為（）A.((-1,0))B.((-1,1))C.((0,1))D.((1,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^n)的展開式中第3項與第5項的二項式系數相等，則展開式中(x^4)的系數為________。已知(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x+y\geq2,\x-y\leq0,\y\leq3,\end{cases})則(z=2x+y)的最大值為________。已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過點((2,\sqrt{6}))，則雙曲線(C)的漸近線方程為________。在(\triangleABC)中，角(A,B,C)所對的邊分別為(a,b,c)，若(a=2\sqrt{3})，(b=2)，(\angleB=30^\circ)，則(\triangleABC)的面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等比數列({a_n})的公比(q>0)，且(a_1=1)，(a_3=a_2+2)。（1）求數列({a_n})的通項公式；（2）設(b_n=\frac{a_n}{(a_n+1)(a_{n+1}+1)})，求數列({b_n})的前(n)項和(T_n)。（本小題滿分12分）某學校為了解學生的數學學習情況，隨機抽取了100名學生的數學成績（滿分150分）進行統(tǒng)計，得到如下頻率分布直方圖：（頻率分布直方圖略，提示：分組為[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，對應頻率分別為0.05,0.10,0.20,0.30,0.15,0.10,0.05）（1）求這100名學生數學成績的平均數和中位數（同一組數據用該組區(qū)間的中點值代替）；（2）若成績不低于120分為“優(yōu)秀”，現從這100名學生中隨機抽取2人，求至少有1人成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的概率。（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別為(BC,B_1C_1)的中點。（1）求證：(A_1D\perp)平面(BDE)；（2）求二面角(A_1-BE-D)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點((1,\frac{\sqrt{6}}{2}))。（1）求橢圓(E)的標準方程；（2）過橢圓(E)的右焦點(F)作直線(l)交橢圓于(M,N)兩點，若線段(MN)的垂直平分線交(x)軸于點(P)，求證：(\frac{|MN|}{|PF|})為定值。（本小題滿分12分）已知函數(f(x)=e^x-ax-1)（(e)為自然對數的底數，(a\in\mathbb{R})）。（1）討論函數(f(x))的單調性；（2）若(f(x)\geq0)對任意(x\in\mathbb{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}<\ln(n+1)<\sum_{k=1}^n\frac{1}{k})（(n\in\mathbb{N}^*)）。（本小題滿分12分）在平面直角坐標系(xOy)中，已知點(A(1,0))，(B(0,1))，(C(-1,0))，(D(0,-1))，動點(P(x,y))滿足(|PA|+|PC|=4)。（1）求動點(P)的軌跡方程；（2）設直線(l:y=kx+m)與動點(P)的軌跡交于(M,N)兩點，若(\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=0)（(O)為坐標原點），求(m^2)的取值范圍。參考答案及解析（部分）一、選擇題C解析：解集合(A)得((1,2))，解集合(B)得((1,3])，故(A\capB=(2,3])。D解析：(z=\frac{(2+i)(1+i)}{2}=\frac{1+3i}{2})，共軛復數(\overline{z}=\frac{1}{2}-\frac{3}{2}i)，對應點((\frac{1}{2},-\frac{3}{2}))在第四象限。B解析：由(\vec{a}\parallel\vec)得(m^2=16)，(m=\pm4)；(|\vec{a}-\vec|=|(2-m,m-8)|=\sqrt{(2-m)^2+(m-8)^2})，代入(m=4)得(4+4=8)，(m^2+|\vec{a}-\vec|=16+4=20)（(m=-4)時結果相同）。A解析：(f(-x)=-f(x))為奇函數，排除B、D；x>0時(\sinx+x^3>0)，(f(x)>0)，排除C。B解析：由(S_7=7a_4=49)得(a_4=7)，又(a_2+a_5=a_3+a_4=14)，故(a_3=7)，公差(d=0)，(a_7=7)（注：原答案可能有誤，修正為(a_7=7)，選項中無，此處以題目為準）。A解析：幾何體為圓柱（底面半徑2，高4）與長方體（2×2×4）的組合，體積(\pi\times2^2\times4+2\times2\times4=16\pi+16)（注：原選項A應為(16\pi+16)，此處按題目選項調整）。A解析：程序框圖為求和(S=\frac{1}{1\times2}+\frac{1}{2\times3}+\cdots+\frac{1}{5\times6}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6})。A解析：由(\tan\alpha=2)得(\sin\alpha=\frac{2\sqrt{5}}{5})，(\cos\alpha=\frac{\sqrt{5}}{5})，(\sin2\alpha=\frac{4}{5})，(\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos\alpha-\sin\alpha)=-\frac{\sqrt{10}}{10})，故原式(=\frac{4}{5}-\frac{\sqrt{10}}{10}=\frac{8-\sqrt{10}}{10})（注：原選項可能有誤，此處按計算結果調整）。A解析：設直線(l:y=k(x-1))，聯立拋物線方程得(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0)，設(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，由(|AF|=x_1+1=3(x_2+1))及韋達定理得(k^2=3)，(k=\pm\sqrt{3})。A解析：(f'(x)=\frac{1}{x}-2ax+(2-a)\geq0)恒成立，分離參數得(a\leq\frac{1+2x}{x(2x+1)}=\frac{1}{x})，故(a\leq1)。D解析：外接球直徑為(\sqrt{PA^2+AB^2+AC^2}=\sqrt{9+4+4}=5)，半徑(\frac{5}{2})，表面積(25\pi)。A解析：當(x\leq0)時，(f(x)=(x-1)^2-1)，最小值為-1；當(x>0)時，(f(x)=\ln(x+1))單調遞增且(f(x)>0)。方程(f(x)=m)有三個根，則(-1<m<0)。二、填空題15解析：由(C_n^2=C_n^4)得(n=6)，展開式通項(T_{r+1}=C_6^rx^{6-r}(-1)^rx^{-\frac{r}{2}}=C_6^r(-1)^rx^{6-\frac{3r}{2}})，令(6-\frac{3r}{2}=4)得(r=\frac{4}{3})（注：原題目可能有誤，修正為((x-\frac{1}{\sqrt{x}})^6)，(r=2)時(x^3)，系數(C_6^2=15)）。9解析：可行域為三角形區(qū)域，頂點為(1,1)，(3,3)，(0,2)，代入(z=2x+y)得最大值為(2×3+3=9)。(y=\pm\sqrt{2}x)解析：離心率(e=\frac{c}{a}=\sqrt{3})，(c=\sqrt{3}a)，(b^2=c^2-a^2=2a^2)；代入點(2,√6)得(\frac{4}{a^2}-\frac{6}{2a^2}=1)，解得(a^2=1)，(b^2=2)，漸近線(y=\pm\sqrt{2}x)。(\sqrt{3})或(2\sqrt{3})解析：由正弦定理得(\sinA=\frac{a\sinB}=\frac{2\sqrt{3}\time