2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)概括能力培養(yǎng)試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）（一）概念辨析型已知集合A={x|y=ln(x2-3x+2)}，B={x|2x-1≥0}，則A∩B=（）A.[1/2,1)∪(2,+∞)B.(1/2,1)∪(2,+∞)C.[1/2,1]∪[2,+∞)D.(1/2,1]∪[2,+∞)考查要點(diǎn)：函數(shù)定義域與集合運(yùn)算的綜合概括能力，需先通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域求出集合A，再結(jié)合不等式求解集合B，最終通過(guò)數(shù)軸法得出交集。下列關(guān)于函數(shù)f(x)=sin|x|+|sinx|的命題中，正確的是（）A.是周期函數(shù)且最大值為2B.是偶函數(shù)且在(π,2π)單調(diào)遞增C.圖像關(guān)于直線x=π對(duì)稱D.有無(wú)數(shù)個(gè)零點(diǎn)且在[0,π/2]上的解析式為2sinx考查要點(diǎn)：分段函數(shù)性質(zhì)的概括能力，需通過(guò)分類討論去掉絕對(duì)值符號(hào)，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析奇偶性、單調(diào)性及對(duì)稱性。（二）邏輯推理型在△ABC中，“sinA>cosB”是“△ABC為銳角三角形”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件考查要點(diǎn)：三角不等式與三角形形狀的邏輯關(guān)系概括，需通過(guò)反例（如A=120°，B=30°）說(shuō)明充分性不成立，再用銳角三角形性質(zhì)證明必要性成立。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，若bn=an+λ（λ為常數(shù)）是等比數(shù)列，則λ=（）A.-1B.0C.1D.2考查要點(diǎn)：遞推數(shù)列的構(gòu)造轉(zhuǎn)化能力，需通過(guò)待定系數(shù)法將線性遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列通式，概括出常數(shù)λ的取值規(guī)律。（三）模型建構(gòu)型某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品A和B，每件A產(chǎn)品需甲材料3kg、乙材料2kg，獲利50元；每件B產(chǎn)品需甲材料1kg、乙材料4kg，獲利30元?，F(xiàn)有甲材料120kg、乙材料100kg，則最大利潤(rùn)為（）A.1800元B.1900元C.2000元D.2100元考查要點(diǎn)：線性規(guī)劃模型的概括能力，需根據(jù)資源約束條件建立目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)可行域頂點(diǎn)代入法求解最值。函數(shù)f(x)=x3-3x2+2在區(qū)間[-1,3]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及極值點(diǎn)個(gè)數(shù)分別為（）A.2,2B.3,2C.2,3D.3,3考查要點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與函數(shù)圖像的綜合概括，需通過(guò)求導(dǎo)分析單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)，區(qū)分極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系。二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）已知向量a=(m,2)，b=(1,n)，若a⊥b且|a|=|b|，則mn=______?？疾橐c(diǎn)：平面向量數(shù)量積與模長(zhǎng)公式的綜合應(yīng)用，需通過(guò)垂直條件（m+2n=0）和模長(zhǎng)等式（m2+4=1+n2）聯(lián)立求解。二項(xiàng)式(2x-1/√x)?展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____?？疾橐c(diǎn)：二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式應(yīng)用，需先寫(xiě)出展開(kāi)式通項(xiàng)Tr+1=C??(2x)???(-1/√x)?，令x的指數(shù)為0求出r=4，代入計(jì)算得15×16=240。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=120°，PA=3，則該三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____?？疾橐c(diǎn)：空間幾何體與球的組合問(wèn)題，需先求出△ABC外接圓半徑r=2（正弦定理2r=AB/sin∠ACB=2/sin30°=4），再根據(jù)球心距d=PA/2=1.5，由R2=r2+d2=4+2.25=6.25，得表面積4πR2=25π。已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集為_(kāi)_____。考查要點(diǎn)：分段函數(shù)不等式的求解，需先求出x<0時(shí)的解析式f(x)=-f(-x)=-x2-2x，再分x-1≥0和x-1<0兩類討論，解得解集(-∞,0)∪(2,+∞)。三、解答題（共6小題，共70分）（一）基礎(chǔ)運(yùn)算題（10分）已知△ABC中，角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c，且滿足ccosB+bcosC=2acosA。（1）求角A的大小；（2）若a=√3，△ABC面積為3√3/4，求b+c的值?？疾橐c(diǎn)：正余弦定理的綜合應(yīng)用，第（1）問(wèn)需用正弦定理將邊化角，得sin(A)=2sinAcosA，結(jié)合A∈(0,π)得A=π/3；第（2）問(wèn)用面積公式1/2bcsinA=3√3/4得bc=3，再由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得(b+c)2=12，即b+c=2√3。（二）函數(shù)綜合題（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3ax2+3x+1。（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?？疾橐c(diǎn)：導(dǎo)數(shù)幾何意義與單調(diào)性的應(yīng)用，第（1）問(wèn)求導(dǎo)得f’(x)=3x2-6x+3，切線斜率k=f’(2)=3，切線方程為y=3x-3；第（2）問(wèn)轉(zhuǎn)化為f’(x)=3x2-6ax+3≤0在(1,2)恒成立，分離參數(shù)得a≥(x2+1)/(2x)，求函數(shù)g(x)=(x2+1)/(2x)在(1,2)上的最大值5/4，故a≥5/4。（三）數(shù)列應(yīng)用題（12分）某企業(yè)2025年初投入1000萬(wàn)元研發(fā)資金，計(jì)劃以后每年比上一年增加20%的研發(fā)投入，按此計(jì)劃：（1）求2030年（共6年）的研發(fā)投入總額；（2）從哪一年開(kāi)始，當(dāng)年研發(fā)投入將超過(guò)5000萬(wàn)元？（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）考查要點(diǎn)：等比數(shù)列模型的實(shí)際應(yīng)用，第（1）問(wèn)根據(jù)等比數(shù)列求和公式得S?=1000×(1.2?-1)/0.2≈8929.92萬(wàn)元；第（2）問(wèn)解不等式1000×1.2??1>5000，兩邊取對(duì)數(shù)得n-1>log?.?5=(lg5)/(lg1.2)≈(1-0.3010)/(0.0791)≈8.84，故n=10，即2034年。（四）立體幾何題（12分）如圖，在直三棱柱ABC-A?B?C?中，AC=BC=AA?=2，∠ACB=90°，D為AB中點(diǎn)。（1）求證：AC?⊥平面CDB?；（2）求二面角B-CB?-D的余弦值?？疾橐c(diǎn)：空間線面垂直的證明與空間角計(jì)算，第（1）問(wèn)通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，證明向量AC?·CD=0且AC?·CB?=0；第（2）問(wèn)求出平面CB?D的法向量n=(1,-1,1)，平面CBB?的法向量m=(1,0,0)，計(jì)算cosθ=|n·m|/(|n||m|)=√3/3。（五）解析幾何題（12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，右焦點(diǎn)為F(√3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于A,B兩點(diǎn)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線l的斜率為1，求弦AB的長(zhǎng)度。考查要點(diǎn)：橢圓方程與弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，第（1）問(wèn)由c=√3，e=c/a=√3/2得a=2，b=1，方程為x2/4+y2=1；第（2）問(wèn)聯(lián)立直線y=x-√3與橢圓方程，得5x2-8√3x+8=0，由弦長(zhǎng)公式|AB|=√(1+12)·√[(8√3/5)2-4×8/5]=8/5。（六）創(chuàng)新探究題（12分）對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在實(shí)數(shù)m,n(m<n)，使得f(x)在[m,n]上的值域?yàn)閗m,kn，則稱f(x)為“k倍值函數(shù)”，[m,n]為函數(shù)的“k倍值區(qū)間”。（1）判斷函數(shù)f(x)=x3是否為“2倍值函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）若函數(shù)f(x)=alnx+x(a>0)存在“1倍值區(qū)間”，求實(shí)數(shù)a的取值范圍?？疾橐c(diǎn)：新定義函數(shù)的探究能力，第（1）問(wèn)假設(shè)存在區(qū)間[m,n]滿足m3=2m且n3=2n，解得m=-√2,n=0或m=0,n=√2，故是“2倍值函數(shù)”；第（2）問(wèn)轉(zhuǎn)化為方程alnx+x=x即alnx=0在(0,+∞)有兩個(gè)不等實(shí)根，需a>0且函數(shù)g(x)=alnx在(0,1)和(1,+∞)各有一個(gè)零點(diǎn)，得a∈(0,e)。四、附加題（共2小題，每小題10分，共20分）在平面直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)P(x?,y?)、Q(x?,y?)的“曼哈頓距離”為|x?-x?|+|y?-y?|。已知點(diǎn)A(1,0)，B(-1,0)，動(dòng)點(diǎn)M滿足曼哈頓距離MA+MB=4，則點(diǎn)M的軌跡所圍成圖形的面積為_(kāi)_____?？疾橐c(diǎn)：新定義幾何概念的理解，需通過(guò)分類討論（x≥0,y≥0時(shí)x+1+y+x-1+y=4即x+y=2）得出軌跡為邊長(zhǎng)2√2的正方形，面積8。已知函數(shù)f(x)=e?-ax2-bx-1(a,b∈R)，若f(x)在x=0處取得極值，且曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線斜率為e-1，則a+b=______。考查要點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用與極值條件的綜合，由f’(0)=1-b=0得b=1，f’(1)=e-2a-b=e-1得a=0，故a+b=1。試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明本試卷嚴(yán)格遵循《2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試大綱》要求，突出對(duì)數(shù)學(xué)概括能力的分層考查：基礎(chǔ)層（選擇題1-6、填空題7-10）：通過(guò)概念辨析、公式應(yīng)用等題型，考查對(duì)數(shù)學(xué)定義