2025年下學期高中數學競賽費馬小定理試卷一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）設p是質數，a是整數，且p不整除a，則下列結論正確的是（）A.a^(p-1)≡0(modp)B.a^p≡a(modp)C.a^(p+1)≡1(modp)D.a^2≡1(modp)計算3^2025mod7的結果是（）A.1B.2C.3D.4已知正整數k滿足2^k≡1(mod13)，則k的最小值為（）A.6B.12C.26D.36若p是質數，且5^p≡5(modp)，則p不可能是（）A.5B.7C.11D.15設m為正整數，若10^m≡1(mod17)，則m的最小正整數值為（）A.4B.8C.16D.32下列關于費馬小定理的表述中，正確的是（）A.若a^p≡a(modp)，則p一定是質數B.當p=2時，費馬小定理不成立C.費馬小定理的逆命題成立D.若p為合數，則存在整數a使得a^p≡a(modp)不成立計算1^100+2^100+3^100+...+10^100mod11的結果是（）A.0B.1C.5D.10設p是大于2的質數，則2^(p-1)modp的值為（）A.0B.1C.2D.p-1二、填空題（本大題共6小題，每小題8分，滿分48分）已知p是質數，且滿足3^(p-1)≡1(modp)，若p<20，則p的所有可能值之和為________。計算2025^2025mod5的結果是________。設正整數n滿足5^n≡3(mod11)，則n的最小正整數值為________。在模7的意義下，3^(-1)的值為________（即滿足3x≡1mod7的x）。已知p是質數，且a^p≡a(modp)對任意整數a成立，則p的最小值為________。計算1^2025+2^2025+...+6^2025mod7的結果是________。三、解答題（本大題共4小題，滿分62分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本題滿分14分）證明費馬小定理：若p是質數，a是整數，且p不整除a，則a^(p-1)≡1(modp)。（本題滿分15分）設p是質數，證明：對任意整數a，都有a^p≡a(modp)。（本題滿分16分）已知正整數n滿足2^n≡1(mod25)，求n的最小正整數值。（本題滿分17分）設p是大于3的質數，證明：p^2≡1(mod24)。四、附加題（本大題共2小題，每小題20分，滿分40分。不計入總分，供學有余力的同學選做）設p是質數，且p≡1(mod4)，證明：存在整數a使得a^2≡-1(modp)。已知p是質數，且滿足2^(p-1)≡1(modp^2)，這樣的質數p稱為“Wieferich質數”。已知p=1093是Wieferich質數，驗證2^(1092)≡1(mod1093^2)。參考答案與評分標準（部分）一、選擇題B2.C3.B4.D5.C6.D7.A8.B二、填空題77（可能的質數為2,3,5,7,11,13,17,19，其和為2+3+5+7+11+13+17+19=77）0（2025能被5整除，故2025^2025mod5=0）8（5^8=390625，390625mod11=3）5（3×5=15≡1mod7）2（2是最小的質數，且對任意整數a，a^2≡amod2成立）0（由費馬小定理，對1≤k≤6，k^6≡1mod7，2025=6×337+3，故k^2025=(k^6)^337×k^3≡1^337×k^3=k^3mod7，計算1^3+2^3+...+6^3=343=7×49≡0mod7）三、解答題證明：考慮模p的剩余系{1,2,...,p-1}，它們都是與p互質的整數。因為p是質數，且a與p互質，所以{a×1,a×2,...,a×(p-1)}也是模p的一個剩余系，即{a×1modp,a×2modp,...,a×(p-1)modp}是{1,2,...,p-1}的一個排列。因此，(a×1)(a×2)...(a×(p-1))≡1×2×...×(p-1)modp，即a^(p-1)×(p-1)!≡(p-1)!modp。因為(p-1)!與p互質，所以兩邊同時除以(p-1)!可得a^(p-1)≡1modp。證明：當p整除a時，a≡0modp，所以a^p≡0^p=0≡amodp。當p不整除a時，由費馬小定理，a^(p-1)≡1modp，兩邊同時乘以a可得a^p≡amodp。綜上，對任意整數a，都有a^p≡amodp。解：因為φ(25)=20（φ為歐拉函數），由歐拉定理，2^20≡1mod25。所以n可能是20的因數，即1,2,4,5,10,20。檢驗：2^1=2mod25，2^2=4mod25，2^4=16mod25，2^5=32≡7mod25，2^10=7^2=49≡-1mod25，2^20=(-1)^2=1mod25。所以n的最小正整數值為20。證明：因為p是大于3的質數，所以p是奇數，且p不被3整除。由費馬小定理，p^2≡1mod3（因為p≡1或2mod3，p^2≡1mod3）。又因為p是奇數，p=2k+1，p^2=4k(k+1)+1，k和k+1是連續(xù)整數，所以k(k+1)是偶數，即p^2=8m+1≡1mod8。因為3和8互質，所以p^2≡1mod24。（注：附加題參考答案略）試卷設計說明本試卷以費馬小定理為核心，全面考查了數論的基本概念和方法。選擇題和填空題主要考查費馬小定理的基本形式、應用