2025年下學期高中數(shù)學競賽反演變換試卷一、選擇題（共5小題，每小題6分，共30分）已知平面上一點P關于反演中心O的反演點為P'，若OP=4，反演冪k=16，則OP'的長度為（）A.2B.4C.8D.16解析：根據(jù)反演變換定義，有(OP\cdotOP'=k)。代入(OP=4)，(k=16)，得(4\cdotOP'=16)，解得(OP'=4)。答案為B。在反演變換下，過反演中心的直線的像為（）A.不過反演中心的直線B.過反演中心的直線C.不過反演中心的圓D.過反演中心的圓解析：反演變換中，過反演中心的直線上任意點P的反演點P'仍在該直線上（因OP與OP'共線），故像為原直線。答案為B。若反演變換將半徑為r的圓變?yōu)榘霃綖镽的圓，且反演中心到原圓圓心的距離為d（d>r），則反演冪k滿足（）A.(k=d^2-r^2)B.(k=(d-r)(d+r))C.(R=\frac{|k|r}{|d^2-r^2|})D.(R=\frac{|k|}{|d^2-r^2|})解析：設原圓圓心為C，半徑r，反演中心O，OC=d。反演后圓心為C'，半徑(R=\frac{|k|r}{|d^2-r^2|})（推導需用圓的反演公式）。答案為C。平面上兩點A、B關于反演中心O的反演點分別為A'、B'，若OA=3，OB=5，AB=4，則A'B'的長度為（）A.(\frac{15}{4})B.(\frac{20}{3})C.(\frac{12}{5})D.(\frac{20}{7})解析：由勾股定理逆定理，OA2+AB2=32+42=52=OB2，故∠OAB=90°。利用反演變換的距離公式：(A'B'=\frac{|k|\cdotAB}{OA\cdotOB})，其中(k=OA\cdotOA'=OB\cdotOB')。取k=OA·OB=15（特殊值法），則(A'B'=\frac{15\times4}{3\times5}=4)？？？（注：此處原數(shù)據(jù)可能需調整，正確公式為(A'B'=\frac{|k|\cdotAB}{OA\cdotOB})，若k=15，則A'B'=4，但選項無4，推測題目中k=OA·OA'，需設OA'=k/3，OB'=k/5，用余弦定理：(A'B'^2=OA'^2+OB'^2-2\cdotOA'\cdotOB'\cdot\cos\theta)，其中θ=∠AOB。由OA=3，OB=5，AB=4，得cosθ=3/5，代入得：(A'B'^2=(k/3)^2+(k/5)^2-2(k/3)(k/5)(3/5)=k2(1/9+1/25-6/75)=k2(25+9-18)/225=16k2/225)，故A'B'=4k/15。因k未給定，若取k=15（使OA'=5，OB'=3），則A'B'=4，仍無選項。推測題目應為AB=5，OA=3，OB=4，則A'B'=15/4，選A。此處按原題數(shù)據(jù)可能存在疏漏，正確思路需用反演距離公式。反演變換下，與反演中心不共線的三個點構成的三角形與其反演點構成的三角形的關系為（）A.相似B.全等C.位似D.以上均不對解析：反演變換非保距或保角變換（僅保圓性和反演中心處的保角性），三角形不一定相似或全等。答案為D。二、填空題（共5小題，每小題6分，共30分）已知反演變換的反演中心為O，反演冪k=-9（負冪），點P在以O為圓心、3為半徑的圓上，則P的反演點P'的軌跡方程為________。解析：因k=-9<0，反演變換為(OP\cdotOP'=-9)。P在圓OP=3上，故(3\cdotOP'=-9)?(OP'=-3)（絕對值為3），即P'軌跡為以O為圓心、3為半徑的圓（負冪反演下，圓的反演仍為圓）。答案：(x^2+y^2=9)（以O為原點）。若反演變換將圓C：((x-2)^2+y^2=1)變?yōu)橐粭l直線，則反演中心的軌跡方程為________。解析：圓反演為直線的充要條件是反演中心在原圓上（此時反演冪k=0？不，應為原圓過反演中心）。圓C圓心(2,0)，半徑1，故反演中心軌跡為圓C本身：((x-2)^2+y^2=1)。答案：((x-2)^2+y^2=1)。設反演中心為O，點A、B在反演圓上（即OA=OB=√k），則∠AOB與∠A'OB'的關系為________。解析：因A、B在反演圓上，故A'=A，B'=B，∠AOB=∠A'OB'。答案：相等。在平面直角坐標系中，反演中心為原點O，反演冪k=4，點P(1,2)的反演點P'的坐標為________。解析：設P'(x,y)，則OP·OP'=4，且P、O、P'共線。OP=√(12+22)=√5，OP'=4/√5。向量OP=(1,2)，單位向量為(1/√5,2/√5)，故P'=OP'·單位向量=(4/√5)(1/√5,2/√5)=(4/5,8/5)。答案：(4/5,8/5)。若兩圓關于反演中心O互為反演像，且兩圓半徑分別為r和R，反演中心到兩圓圓心的距離分別為d1和d2，則r、R、d1、d2滿足的關系式為________。解析：設圓C1（d1,r）反演為圓C2（d2,R），則(d2=\frac{|k|d1}{|d12-r2|})，(R=\frac{|k|r}{|d12-r2|})，消去k得(\frac{d2}{R}=\frac{d1}{r})。答案：(\frac{d1}{r}=\frac{d2}{R})。三、解答題（共4小題，11題15分，12題20分，13題25分，14題30分，共90分）11.（15分）已知反演中心O，反演冪k=25，點A(3,4)，B(0,5)，求：（1）A、B的反演點A'、B'的坐標；（2）直線AB的反演圖形。解：（1）設O為原點，對A(3,4)，OA=5，由(OA\cdotOA'=k=25)，得OA'=5，故A'與A重合（因方向相同），即A'(3,4)。對B(0,5)，OB=5，同理OB'=5，B'與B重合，即B'(0,5)。（2）直線AB過點A(3,4)、B(0,5)，方程為(y=-\frac{1}{3}x+5)。因直線AB不過反演中心O（0,0），且O到AB的距離(d=\frac{|0+0-15|}{\sqrt{1+9}}=\frac{15}{\sqrt{10}}\neq0)，故反演圖形為過A'、B'的圓（因A、B在反演圓上，其反演點仍在圓上）。12.（20分）證明：反演變換下，不經過反演中心的圓的反像仍是圓。證明：設反演中心為O，反演冪k>0，圓C不過O，圓心為C，半徑r，OC=d（d>r）。任取圓C上一點P，反演點P'，則(OP\cdotOP'=k)，即(OP'=\frac{k}{OP})。在△OCP中，由余弦定理：(CP2=OC2+OP2-2\cdotOC\cdotOP\cdot\cos\theta)（θ=∠COP），即(r2=d2+OP2-2d\cdotOP\cdot\cos\theta)。兩邊同除以(OP2)，并令(OP'=\frac{k}{OP})，得(r2\cdot\frac{OP'^2}{k2}=d2\cdot\frac{OP'^2}{k2}+1-2d\cdot\frac{OP'}{k}\cdot\cos\theta)。整理得(OP'^2(d2-r2)-2dk\cdotOP'\cos\theta+k2=0)，即P'的軌跡方程為圓（二次方程，無xy項，系數(shù)平方和大于常數(shù)項）。故圓C的反像為圓。13.（25分）已知△ABC中，∠C=90°，以AB為直徑作圓O，求證：圓O關于點C的反演圖形是△ABC的外接圓。證明：設AB=2R，圓O圓心為AB中點O，半徑R，OC為點C到O的距離（設AC=b，BC=a，AB=c=2R，則OC=(\frac{c}{2})，因直角三角形斜邊中線等于斜邊一半）。以C為反演中心，設反演冪k=CA·CB=ab（取k=ab）。圓O不過C（OC=R，AC=b，BC=a，若C在圓O上則∠ACB=90°，此時OC=R，即AB=2R=2OC，成立）。反演后圓O的像需滿足：反演中心C到圓O的距離d=OC=R，圓O半徑r=R，故反演后半徑(R'=\frac{|k|r}{|d2-r2|})。因d=R，r=R，分母d2-r2=0，此時圓O過反演中心C？？？（此處需修正：直角三角形ABC外接圓即圓O，以C為反演中心，反演冪k=CA·CB=ab，則A的反演點A'滿足CA·CA'=k?CA'=b，即A'=A，同理B'=B，圓O反演后過A、B、C，即△ABC外接圓。）14.（30分）在銳角△ABC中，O為外心，以O為反演中心，k=OA2為反演冪，求證：（1）△ABC的外接圓反演后為自身；（2）反演變換將△ABC的垂心H變?yōu)椤鰽BC的重心G。證明：（1）外接圓半徑OA=OB=OC=R，反演冪k=R2，故外接圓上任意點P的反演點P'滿足OP·OP'=R2?OP'=R，即P'在原圓上，故外接圓反演后為自身。（2）（需用歐拉定理：OH2=9R2-(a2+b2+c2)，重心G滿足OG2=(\frac{1}{9}(a2+b2+c2)-\frac{4}{9}R2)）設H的反演點為H'，則OH·OH'=R2?OH'=(\frac{R2}{OH})。由歐拉定理OH2=9R2-(a2+b2+c2)，OG2=(\frac{a2+b2+c2}{9}-\frac{4R2}{9})，得OG2=(\frac{9R2-OH2}{9}-\frac{4R2}{9}=R2-\frac{OH2}{9})。若H'=G，則OG=OH'=(\frac{R2}{OH})，即OG·OH=R2。代入驗證：((R2-\frac{OH2}{9})OH2=R?-\frac{OH?}{9}=R?)?OH=0，