2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)卷三試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)\leq1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((1,3])C.((2,3])D.([2,3])2.復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3.已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.-4B.-2C.2D.44.函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2-1})的大致圖像為（）（選項(xiàng)圖像略，此處可描述為：A.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(0,1)遞減；B.關(guān)于y軸對(duì)稱，在(1,+∞)遞增；C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在(1,+∞)遞減；D.關(guān)于y軸對(duì)稱，在(0,1)遞增）5.已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_2=2)，(S_3=7)，則公比(q=)（）A.2B.(\frac{1}{2})C.2或(\frac{1}{2})D.-2或(-\frac{1}{2})6.執(zhí)行如圖所示的程序框圖（圖略，功能為：輸入(n)，計(jì)算(S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})，若(S>3)則輸出(n)），則輸出的(n)值為（）A.10B.11C.12D.137.已知(\alpha\in(0,\frac{\pi}{2}))，(\tan\alpha=2)，則(\sin(2\alpha+\frac{\pi}{4})=)（）A.(\frac{\sqrt{2}}{10})B.(-\frac{\sqrt{2}}{10})C.(\frac{7\sqrt{2}}{10})D.(-\frac{7\sqrt{2}}{10})8.某幾何體的三視圖如圖所示（圖略，描述為：正視圖和側(cè)視圖均為邊長為2的正方形，俯視圖為邊長為2的正三角形），則該幾何體的體積為（）A.(\frac{2\sqrt{3}}{3})B.(2\sqrt{3})C.(\frac{4\sqrt{3}}{3})D.(4\sqrt{3})9.已知拋物線(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與(C)交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm\sqrt{2})D.(\pm2)10.已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期為(\pi)，且圖像關(guān)于直線(x=\frac{\pi}{3})對(duì)稱，則(f(x)=)（）A.(\sin(2x+\frac{\pi}{6}))B.(\sin(2x-\frac{\pi}{6}))C.(\sin(2x+\frac{\pi}{3}))D.(\sin(2x-\frac{\pi}{3}))11.在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則三棱錐(P-ABC)的外接球表面積為（）A.(13\pi)B.(16\pi)C.(20\pi)D.(25\pi)12.已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+b)，若對(duì)任意(x_1,x_2\in[0,2])，都有(|f(x_1)-f(x_2)|\leq4)，則實(shí)數(shù)(a)的取值范圍是（）A.[0,4]B.[1,3]C.[2-2\sqrt{3},2+2\sqrt{3}]D.[2,4]二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.二項(xiàng)式((x-\frac{2}{x})^6)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。14.若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x-y+1\geq0\x+y-3\leq0\y\geq0\end{cases})，則(z=2x-y)的最大值為________。15.已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為________。16.已知定義在(R)上的奇函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=-f(x))，且當(dāng)(x\in[0,1])時(shí)，(f(x)=2^x-1)，則方程(f(x)=\frac{1}{2})在區(qū)間([-4,4])上的所有實(shí)根之和為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）在(\triangleABC)中，內(nèi)角(A,B,C)的對(duì)邊分別為(a,b,c)，已知(a=3)，(b=2\sqrt{3})，(\cosB=-\frac{1}{3})。（1）求(\sinA)的值；（2）求(\triangleABC)的面積。解析：（1）在(\triangleABC)中，(\cosB=-\frac{1}{3})，則(\sinB=\sqrt{1-\cos^2B}=\frac{2\sqrt{2}}{3})。由正弦定理(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB})，得(\sinA=\frac{a\sinB}=\frac{3\times\frac{2\sqrt{2}}{3}}{2\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3})。（2）由余弦定理(b^2=a^2+c^2-2ac\cosB)，代入得(12=9+c^2-2\times3c\times(-\frac{1}{3}))，化簡得(c^2+2c-3=0)，解得(c=1)（(c=-3)舍去）。則(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}\times3\times1\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2})。18.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，從高二年級(jí)隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績調(diào)查，將成績分為5組：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，得到如圖所示的頻率分布直方圖（圖略，各組頻率依次為0.05,0.20,0.40,0.25,0.10）。（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（2）若從成績?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績都在[90,100]的概率。解析：（1）平均數(shù)(\bar{x}=55\times0.05+65\times0.20+75\times0.40+85\times0.25+95\times0.10=76.5)。中位數(shù)：設(shè)中位數(shù)為(m)，前兩組頻率之和為0.25<0.5，前三組頻率之和為0.65>0.5，故(m\in[70,80))。由(0.25+(m-70)\times0.04=0.5)，解得(m=76.25)。（2）[50,60)有(100\times0.05=5)人，記為(A_1,A_2,A_3,A_4,A_5)；[90,100]有(100\times0.10=10)人，記為(B_1,\cdots,B_{10})?？偦臼录?shù)為(C_{15}^2=105)，2人都在[90,100]的事件數(shù)為(C_{10}^2=45)，概率(P=\frac{45}{105}=\frac{3}{7})。19.（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AC=BC)，(D)為(AB)的中點(diǎn)，(AA_1=AB=2AC=2)。（1）求證：(AC_1\parallel)平面(B_1CD)；（2）求二面角(B_1-CD-B)的余弦值。解析：（1）連接(BC_1)交(B_1C)于點(diǎn)(O)，則(O)為(BC_1)中點(diǎn)。又(D)為(AB)中點(diǎn)，故(OD\parallelAC_1)。因?yàn)?OD\subset)平面(B_1CD)，(AC_1\not\subset)平面(B_1CD)，所以(AC_1\parallel)平面(B_1CD)。（2）以(C)為原點(diǎn)，(CA,CB,CC_1)所在直線為(x,y,z)軸建立坐標(biāo)系，得(C(0,0,0))，(D(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0))，(B_1(0,1,2))。(\vec{CD}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0))，(\vec{CB_1}=(0,1,2))。設(shè)平面(B_1CD)的法向量(\vec{n}=(x,y,z))，則(\begin{cases}\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=0\y+2z=0\end{cases})，取(z=1)，得(\vec{n}=(2,-2,1))。平面(BCD)的法向量為(\vec{CC_1}=(0,0,2))。二面角余弦值(|\cos\theta|=\frac{|\vec{n}\cdot\vec{CC_1}|}{|\vec{n}||\vec{CC_1}|}=\frac{2}{3\times2}=\frac{1}{3})，由圖知二面角為銳角，故余弦值為(\frac{1}{3})。20.（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{2}))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)(P(0,1))的直線(l)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，若以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)(O)，求直線(l)的方程。解析：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2})得(a=\sqrt{2}c)，又(a^2=b^2+c^2)，則(b=c)。將((2,\sqrt{2}))代入橢圓方程：(\frac{4}{2c^2}+\frac{2}{c^2}=1)，解得(c^2=4)，故(a^2=8)，(b^2=4)，橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1)。（2）設(shè)直線(l:y=kx+1)，聯(lián)立橢圓方程得((1+2k^2)x^2+4kx-6=0)。設(shè)(A(x_1,y_1))，(B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{4k}{1+2k^2})，(x_1x_2=-\frac{6}{1+2k^2})。因?yàn)?OA\perpOB)，所以(x_1x_2+y_1y_2=0)。又(y_1y_2=(kx_1+1)(kx_2+1)=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1)，代入得：((1+k^2)x_1x_2+k(x_1+x_2)+1=0)，即((1+k^2)(-\frac{6}{1+2k^2})+k(-\frac{4k}{1+2k^2})+1=0)，化簡得(-6-6k^2-4k^2+1+2k^2=0)，解得(k^2=\frac{1}{2})，(k=\pm\frac{\sqrt{2}}{2})。直線(l)的方程為(y=\frac{\sqrt{2}}{2}x+1)或(y=-\frac{\sqrt{2}}{2}x+1)。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\inR)）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\inR)恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln(n+1))（(n\inN^*)）。解析：（1）(f'(x)=e^x-a)。當(dāng)(a\leq0)時(shí)，(f'(x)>0)，(f(x))在(R)上單調(diào)遞增；當(dāng)(a>0)時(shí)，令(f'(x)=0)得(x=\lna)，則(f(x))在((-\infty,\lna))遞減，在((\lna,+\infty))遞增。（2）由（1）知，當(dāng)(a>0)時(shí)，(f(x){\min}=f(\lna)=a-a\lna-1)。令(g(a)=a-a\lna-1)，則(g'(a)=-\lna)。當(dāng)(a=1)時(shí)，(g(a){\max}=0)，故(a=1)。（3）由（2）知(e^x\geqx+1)，當(dāng)且僅當(dāng)(x=0)時(shí)等號(hào)成立。令(x=\frac{1}{k})（(k\inN^*)），則(e^{\frac{1}{k}}>1+\frac{1}{k}=\frac{k+1}{k})，兩邊取對(duì)數(shù)得(\frac{1}{k}>\ln\frac{k+1}{k})。累加得：(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n}>\ln2+\ln\frac{3}{2}+\cdots+