2025年下學期高中數(shù)學競賽發(fā)散思維試卷一、選擇題（共5小題，每題10分，共50分）1.跨學科應用題某城市為減少碳排放，計劃在矩形公園內種植一片扇形光伏板區(qū)域。公園長為100米，寬為60米，光伏板區(qū)域的圓心角為60°，半徑為30米，且扇形的弦與公園長邊平行。若每平方米光伏板年均發(fā)電量為150千瓦時，忽略安裝間隙，該區(qū)域年均發(fā)電量最接近（）A.5.3×10?千瓦時B.7.1×10?千瓦時C.8.6×10?千瓦時D.1.1×10?千瓦時解析：扇形面積公式為(S=\frac{1}{2}r^2\theta)（(\theta)為弧度制），60°對應弧度為(\frac{\pi}{3})。則扇形面積(S=\frac{1}{2}\times30^2\times\frac{\pi}{3}=150\pi\approx471)平方米。發(fā)電量為(471\times150\approx70650)千瓦時，最接近B選項。2.邏輯推理題甲、乙、丙三名學生在數(shù)學競賽中分別獲得金、銀、銅牌，且他們來自A、B、C三所不同學校。已知：①甲不是A校學生；②乙不是B校學生；③A校學生未獲金牌；④B校學生獲得銀牌。則丙來自的學校和獲得的獎牌分別是（）A.A校，銅牌B.B校，銀牌C.C校，金牌D.A校，銀牌解析：由④知B?！y牌，結合③A校≠金牌，則A校只能是銅牌，C校必為金牌。由①甲≠A校，若甲是B校，則甲=銀牌（與④一致），此時乙只能是C校（金牌），丙是A校（銅牌），符合所有條件。選A。3.動態(tài)幾何題在棱長為2的正方體ABCD-A?B?C?D?中，點P在棱BB?上運動（含端點），則三棱錐P-ACD?的體積（）A.隨P點位置變化先增大后減小B.恒為(\frac{4}{3})C.最小值為(\frac{2}{3})D.與P點位置無關，恒為(\frac{8}{3})解析：無論P在BB?上如何移動，三棱錐P-ACD?的底面積為△ACD?的面積，高為正方體棱長的(\frac{1}{3})（利用等體積法轉化）。(S_{\triangleACD?}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2\sqrt{2}\times\sin60°=2\sqrt{3})，高h=2，體積(V=\frac{1}{3}\times2\sqrt{3}\times\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{3})。選B。二、填空題（共3小題，每題15分，共45分）4.數(shù)論與密碼學結合題某種加密算法將明文（正整數(shù)）轉化為密文，規(guī)則為：若明文x為質數(shù)，則密文為x+1；若x為合數(shù)且能被3整除，則密文為(\frac{x}{3})；其他情況密文為2x。若接收方收到密文14，則明文可能的取值有______個。解析：分情況逆推：若密文=14=質數(shù)+1→質數(shù)=13（成立）；若密文=14=(\frac{x}{3})→x=42（42是合數(shù)且能被3整除，成立）；若密文=14=2x→x=7（7是質數(shù)，不滿足“其他情況”，排除）。綜上，明文可能為13或42，共2個。5.概率與博弈題甲、乙兩人玩“石頭剪刀布”游戲，約定：每局勝者得2分，負者得0分，平局各得1分。若兩人獨立隨機出拳（每種拳型概率(\frac{1}{3})），則一局比賽后兩人得分之和的數(shù)學期望是______。解析：得分之和可能為0（一方勝一方負）、2（平局）。P(平局)=(\frac{3}{9}=\frac{1}{3})（石頭-石頭等3種情況），此時得分和=2；P(非平局)=(\frac{6}{9}=\frac{2}{3})，得分和=2（勝者2分+負者0分）。故期望(E=2\times1=2)。6.函數(shù)與實際優(yōu)化題某網店銷售一種商品，當售價為x元/件（x≥20）時，日均銷量為(100-2(x-20))件。若每件成本為10元，則最大日利潤為______元。解析：利潤函數(shù)(f(x)=(x-10)[100-2(x-20)]=(x-10)(140-2x)=-2x2+160x-1400)。對稱軸(x=40)，此時(f(40)=30\times60=1800)元。三、解答題（共3小題，共105分）7.組合數(shù)學與圖論題（30分）某班50名學生參加數(shù)學、物理、化學競賽，每人至少參加1項。已知：參加數(shù)學的30人，物理25人，化學15人；同時參加數(shù)學和物理的10人，物理和化學的5人，數(shù)學和化學的8人。求三項競賽都參加的人數(shù)，并證明：至少有7人只參加一項競賽。解答：設三項都參加的人數(shù)為x，由容斥原理：(50=30+25+15-10-5-8+x)，解得x=3。只參加數(shù)學：30-(10-x)-(8-x)-x=15+x=18；同理，只參加物理：25-(10-x)-(5-x)-x=10+x=13；只參加化學：15-(8-x)-(5-x)-x=2+x=5；只參加一項的人數(shù)=18+13+5=36≥7，得證。8.微分方程與物理建模題（35分）一物體在豎直方向運動，所受空氣阻力與速度v成正比（比例系數(shù)k>0），重力加速度為g。若物體從靜止開始下落，求：（1）速度v(t)的表達式；（2）下落過程中的最大速度（收尾速度）。解答：（1）由牛頓第二定律：(mg-kv=ma=m\frac{dv}{dt})，即(\frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v)。分離變量積分：(\int_0^v\frac{dv}{g-\frac{k}{m}v}=\int_0^tdt)，解得(v(t)=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac{k}{m}t}))。（2）當t→∞時，(v_{max}=\frac{mg}{k})。9.幾何與不等式綜合題（40分）在銳角△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，點D在BC上，且AD⊥BC。（1）求AD的長度；（2）若點E在AD上，求EB+EC的最小值。解答：（1）由余弦定理：(\cosB=\frac{AB2+BC2-AC2}{2\timesAB\timesBC}=\frac{16+36-25}{48}=\frac{9}{16})，則(\sinB=\frac{5\sqrt{7}}{16})，AD=AB·sinB=4×(\frac{5\sqrt{7}}{16})=(\frac{5\sqrt{7}}{4})。（2）作C關于AD的對稱點C'，則EB+EC=EB+EC'≥BC'（兩點之間線段最短）。計算BC'：BD=AB·cosB=4×(\frac{9}{16})=(\frac{9}{4})，DC'=DC=6-(\frac{9}{4})=(\frac{15}{4})，BC'=(\sqrt{BD2+DC'2}=\sqrt{(\frac{9}{4})2+(\frac{15}{4})2}=\frac{3\sqrt{34}}{4})。四、開放探究題（共60分）10.數(shù)學與計算機科學交叉題（1）定義“斐波那契數(shù)列”：F?=1，F(xiàn)?=1，F(xiàn)?=F???+F???（n≥3）。編寫一個程序片段（可用偽代碼），計算F????除以5的余數(shù)，并說明其周期性規(guī)律。（2）若某算法的時間復雜度為O(F?)，分析該算法是否適用于處理n=10?規(guī)模的問題，并說明理由。解答：（1）偽代碼：a,b=1,1foriin3to2025:c=(a+b)%5a,b=b,cprint(b)斐波那契數(shù)列模5的周期為20（皮薩諾周期），2025=20×101+5，故F????mod5=F?=5mod5=0。（2）不適用于n=10?。因F?指數(shù)增長（近似(\phi^n/\sqrt{5})，(\phi\approx1.618)），F(xiàn)???遠超當前計算機處理能力，時間復雜度需優(yōu)化為多項式級別（如O(n)）。11.實際問題建模題某社區(qū)計劃修建一個矩形休閑廣場，周長固定為100米，廣場中間有一個半徑為r的圓形花壇（r≥5米）。若廣場的硬化面積（矩形面積減去花壇面積）最大，求矩形的長、寬及花壇半徑r的值，并說明此時廣場的長寬比是否符合黃金分割比例（≈0.618）。解答：設矩形長x，寬y，則x+y=50，硬化面積(S=xy-\pir2)。xy≤((\frac{x+y}{2}))2=625（當x=y=25時取等號），此時S=625-(\pir2)。因r≥5，S最大時r=5，此時長寬比1:1，不符合黃金分割（0.618）。若允許非正方形，設x=30，y=20，xy=600＜625，仍小于正方形情況。故最優(yōu)解為正方形，r=5米。五、創(chuàng)新設計題（共20分）12.自定義運算與規(guī)律探究定義新運算“?”：對于正整數(shù)a,b，a?b等于a的各位數(shù)字之和乘以b的各位數(shù)字之和。例如：23?45=(2+3)(4+5)=45。（1）計算123?456的值；（2）若M=999...9（n個9），N=1000...0（n個0），求M?N；（3）證明：對于任意正整數(shù)a,b，a?b≡(a+b)?(a-b)mod9（其中a>b）。解答：（1）123?456=(1+2+3)(4+5+6)=6×15=90。（2）M各位數(shù)字和=9n，N各位數(shù)字和=1，故M?N=9n×1=9n。（3）由數(shù)論知識，一個數(shù)與其各位數(shù)字和模9同余，即a≡S(a)mod9，b≡S(b)mod9。則a?b=S(a)S(b)≡abmod9，(a+b)?(a-b)=S(a+b)S(a-b)≡(a+b)(a-b)=a2-b2mod9。需證ab≡a2-b2mod9，即a2-ab-b2≡0mod9。反例：a=2,b=1時，左=4-2-1=1≡1≠0mod9，故原命題不成立（需指出反例）。試卷設計說明：學科交叉：融合物理（運動學）、計算機（算法）、密碼學（加密）