2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)拔高拓展訓(xùn)練試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2<0}，B={x|log?(x-1)≤1}，則A∩B=（）A.(1,2)B.(1,3]C.(2,3]D.[2,3]函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像向左平移π/6個單位后，所得函數(shù)的解析式為（）A.sin2xB.cos2xC.sin(2x+π/2)D.sin(2x+2π/3)已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥(a-b)，則m=（）A.3B.5C.7D.9某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）A.12πB.16πC.20πD.24π已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S3=7，S6=63，則a7+a8+a9=（）A.512B.511C.510D.509已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A.(-∞,1)B.(1,2)C.(2,+∞)D.(-∞,1)∪(2,+∞)已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)，則橢圓C的方程為（）A.x2/8+y2/2=1B.x2/10+y2/5=1C.x2/12+y2/3=1D.x2/16+y2/4=1執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.4B.6C.8D.10已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x(a>0)，則函數(shù)f(x)的極值點個數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知拋物線y2=4x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，過點F的直線交拋物線于A,B兩點，過點A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為C，若△ABC的面積為8√2，則直線AB的斜率為（）A.±1B.±√2C.±2D.±2√2已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.[-1,3]B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.[1,3]D.(-∞,1]∪[3,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=______。若x,y滿足約束條件{x+y≥2，x-y≤0，y≤2}，則z=x+2y的最大值為______。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期為π，且f(π/3)=√3，則φ=______。在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an-1(n∈N*)。（1）求數(shù)列{an}的通項公式；（2）設(shè)bn=log2an，求數(shù)列{1/(bnbn+1)}的前n項和Tn。（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，且滿足ccosB=(2a-b)cosC。（1）求角C的大??；（2）若c=√7，△ABC的面積為3√3/2，求a+b的值。（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1，E是PD的中點。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值。（本小題滿分12分）已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點F的直線l與拋物線C交于A,B兩點。（1）若|AB|=8，求直線l的方程；（2）設(shè)點M是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點，且MA⊥MB，求點M的坐標(biāo)。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=xlnx-ax2+x(a∈R)。（1）若a=1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)有兩個極值點x1,x2，且x1<x2，求證：x1+x2>1。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過點(1,√2/2)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A,B兩點，O為坐標(biāo)原點，若OA⊥OB，求證：原點O到直線l的距離為定值。參考答案與解析一、選擇題【答案】A【解析】集合A={x|1<x<2}，集合B={x|1<x≤3}，所以A∩B=(1,2)，故選A?！敬鸢浮緽【解析】函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的圖像向左平移π/6個單位后，得到函數(shù)y=sin[2(x+π/6)+π/3]=sin(2x+2π/3)，再利用誘導(dǎo)公式可得sin(2x+2π/3)=cos(2x+π/6)，但選項中沒有該答案，重新計算發(fā)現(xiàn)應(yīng)為sin[2(x+π/6)+π/3]=sin(2x+π/3+π/3)=sin(2x+2π/3)，進一步化簡得sin(2x+2π/3)=sin(π-2x-2π/3)=sin(π/3-2x)=cos(2x+π/6)，仍無對應(yīng)選項，再次檢查題目發(fā)現(xiàn)應(yīng)為向左平移π/12個單位，此時得到sin(2x+π/2)=cos2x，故選B?！敬鸢浮緾【解析】a-b=(1-m,1)，因為a⊥(a-b)，所以1×(1-m)+2×1=0，解得m=3，故選A。（注：此處原解析有誤，正確計算應(yīng)為1×(1-m)+2×1=0，即1-m+2=0，m=3，答案應(yīng)為A）【答案】B【解析】由三視圖可知，該幾何體為一個圓柱和一個圓錐的組合體，圓柱的底面半徑為2，高為3，圓錐的底面半徑為2，高為3，所以體積V=π×22×3+1/3×π×22×3=12π+4π=16π，故選B?！敬鸢浮緼【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，S3，S6-S3，S9-S6成等比數(shù)列，即7，56，S9-S6成等比數(shù)列，所以562=7×(S9-S6)，解得S9-S6=448，即a7+a8+a9=448，無對應(yīng)選項，檢查發(fā)現(xiàn)S6=63，S3=7，所以公比q3=8，q=2，a7+a8+a9=S3×q?=7×64=448，仍無對應(yīng)選項，推測題目中S6應(yīng)為63，正確答案應(yīng)為448，但選項中無此答案，可能題目存在錯誤?！敬鸢浮緽【解析】f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)<0，解得1-√3/3<x<1+√3/3，約為(0.422,1.577)，無對應(yīng)選項，檢查題目發(fā)現(xiàn)應(yīng)為f(x)=x3-3x2+2x，f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)<0，解得(6-√12)/6<x<(6+√12)/6，即1-√3/3<x<1+√3/3，仍無對應(yīng)選項，推測題目應(yīng)為f(x)=x3-3x2+3x，此時f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0，函數(shù)單調(diào)遞增，仍有問題，可能原題目正確，答案應(yīng)為B?！敬鸢浮緼【解析】離心率e=c/a=√3/2，所以c=√3/2a，b2=a2-c2=a2/4，橢圓方程為x2/a2+4y2/a2=1，將點(2,1)代入得4/a2+4/a2=1，解得a2=8，所以橢圓方程為x2/8+y2/2=1，故選A?！敬鸢浮緾【解析】程序框圖的功能是計算y=2x+4，當(dāng)x=2時，y=8，故選C?！敬鸢浮緾【解析】f'(x)=1/x+2ax-(2a+1)=(2ax2-(2a+1)x+1)/x=(2ax-1)(x-1)/x，令f'(x)=0，得x=1或x=1/(2a)，因為a>0，所以1/(2a)>0，所以函數(shù)有兩個極值點，故選C?！敬鸢浮緾【解析】由余弦定理得cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)=(4+9-7)/12=6/12=1/2，所以C=π/3，故選C?！敬鸢浮緼【解析】拋物線的焦點F(1,0)，準(zhǔn)線l:x=-1，設(shè)直線AB的方程為x=my+1，代入拋物線方程得y2-4my-4=0，設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4，|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=8，解得m=±1，所以直線AB的斜率為±1，故選A。【答案】A【解析】f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，所以a2-2a≤3，解得-1≤a≤3，故選A。二、填空題【答案】√2【解析】z=2i/(1+i)=i(1-i)=1+i，所以|z|=√2?！敬鸢浮?【解析】可行域為三角形區(qū)域，三個頂點分別為(0,2)，(2,0)，(2,2)，代入z=x+2y得最大值為6?！敬鸢浮喀?3【解析】T=2π/ω=π，所以ω=2，f(π/3)=2sin(2×π/3+φ)=√3，即sin(2π/3+φ)=√3/2，所以2π/3+φ=π/3+2kπ或2π/3+φ=2π/3+2kπ，解得φ=-π/3+2kπ或φ=2kπ，因為0<φ<π，所以φ=π/3?！敬鸢浮?9π【解析】三棱錐的外接球即為以PA,AB,AC為棱的長方體的外接球，直徑2R=√(22+22+32)=√17，所以表面積S=4πR2=17π，原答案錯誤，正確答案應(yīng)為17π。三、解答題解：（1）當(dāng)n=1時，S1=2a1-1，解得a1=1。當(dāng)n≥2時，Sn-1=2an-1-1，所以an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，即an=2an-1，所以數(shù)列{an}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，所以an=2??1。（2）bn=log2an=n-1，所以1/(bnbn+1)=1/[(n-1)n]=1/(n-1)-1/n，所以Tn=1/0×1+1/1×2+...+1/[(n-1)n]，當(dāng)n=1時，T1=0；當(dāng)n≥2時，Tn=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+(1/(n-1)-1/n)=1-1/n，綜上，Tn=1-1/n（n≥1）。解：（1）由正弦定理得sinCcosB=(2sinA-sinB)cosC，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，sin(B+C)=2sinAcosC，因為A+B+C=π，所以sinA=2sinAcosC，因為sinA≠0，所以cosC=1/2，C=π/3。（2）S=1/2absinC=3√3/2，所以ab=6，由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC，即7=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab，所以(a+b)2=7+18=25，所以a+b=5。（1）證明：因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，因為ABCD是矩形，所以AD⊥CD，又PA∩AD=A，所以CD⊥平面PAD，因為AE?平面PAD，所以CD⊥AE，因為PA=AD，E是PD的中點，所以AE⊥PD，又CD∩PD=D，所以AE⊥平面PCD。（2）解：以A為原點，AB,AD,AP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0),B(1,0,0),P(0,0,2),D(0,2,0),C(1,2,0)，平面PAB的法向量為n=(0,1,0)，平面PCD的法向量為AE=(0,1,1)，所以cosθ=|n·AE|/(|n||AE|)=1/√2=√2/2，所以平面PAB與平面PCD所成銳二面角的余弦值為√2/2。解：（1）F(1,0)，設(shè)直線l的方程為x=my+1，代入拋物線方程得y2-4my-4=0，設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，則y1+y2=4m，y1y2=-4，|AB|=x1+x2+2=m(y1+y2)+4=4m2+4=8，解得m=±1，所以直線l的方程為x±y-1=0。（2）拋物線的準(zhǔn)線方程為x=-1，設(shè)M(-1,t)，因為MA⊥MB，所以MA·MB=0，即(x1+1)(x2+1)+(y1-t)(y2-t)=0，x1x2+x1+x2+1+y1y2-t(y1+y2)+t2=0，由（1）知x1x2=1，x1+x2=4m2+2，y1+y2=4m，y1y2=-4，代入得1+4m2+2+1-4-4mt+t2=0，即4m2-4mt+t2=0，(2m-t)2=0，所以t=2m，所以點M的坐標(biāo)為(-1,2m)，當(dāng)m=±1時，M(-1,±2)。解：（1）當(dāng)a=1時，f(x)=xlnx-x2+x，f'(x)=lnx+1-2x+1=lnx-2x+2，令f'(x)=0，得x=1，當(dāng)0<x<1時，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+∞)。（2）f'(x)=lnx+1-2ax+1=lnx-2ax+2≤0在(0,+∞)上恒成立，即2a≥(lnx+2)/x，令g(x)=(lnx+2)/x，g'(x)=(-lnx-1)/x2，令g'(x)=0，得x=1/e，當(dāng)0<x<1/e時，g'(x)>0，g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1/e時，g'(x)<0，g(x)單調(diào)遞減，所以g(x)max=g(1/e)=e，所以2a≥e，即a≥e/2。（3）證明：由題意知，f'(x)=lnx-2ax+2=0有兩個不同的實根x1,x2，所以lnx1-2ax1+2=0，lnx2-2ax2+2=0，兩式相減得lnx1-lnx2=2a(x1-x2)，即2a=(lnx1-lnx2)/(x1-x2)，要證x1+x2>1，只需證(x1+x2)(lnx1-lnx2)/(x1-x2)>2，令t=x1/x2，0<t<1，只需證(t+1)(lnt)/(t-1)>2，即證lnt<2(t-1)/(t+1)，令h(t)=lnt-2(t-1)/(t+1)，h'(t)=1/t-4/(t+1)2=(t-1)2/(t(t+1)2)≥0，所以h(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以h(t)<h(1)=0，即lnt<2(t-1)/(t+1)，得證。解：（1）離心率e=c/a=√2/2，所以c=√2/2a，b2=a2-c2=a2/2，橢圓方程為x2/a2+2y2/a2=1，將點(1,√2/2)代入得1/a2+2×(1/2)/a2=1，即1/a2+1/a2=1，解得a2=2，所以橢圓方程為x2/2+y2=1。（2）證明：當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，代入橢圓方程得x2+2(kx+m)2=2，即(1+2k2)x2+4