2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽調(diào)和點(diǎn)列試卷一、填空題（每題8分，共8題，滿分64分）已知點(diǎn)列(A,B,C,D)在同一直線上，若(\frac{AC}{CB}=\frac{AD}{DB}=2)，則(A,B,C,D)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的充要條件是(\frac{1}{AC}+\frac{1}{AD}=)______。過(guò)圓外一點(diǎn)(P)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為(A,B)，直線(AB)與(PO)（(O)為圓心）交于點(diǎn)(M)，則(P,O,M)與無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(N)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，其中(PO=5)，圓半徑(r=3)，則(OM=)______。在橢圓(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)中，過(guò)右焦點(diǎn)(F)的直線交橢圓于(C,D)兩點(diǎn)，右準(zhǔn)線與(CD)交于點(diǎn)(E)，若(F)為(C,D)的中點(diǎn)，則(C,D,F,E)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的充要條件是橢圓的離心率(e=)______。已知完全四邊形(ABCDEF)中，對(duì)角線(AD)與(BE)交于點(diǎn)(G)，對(duì)角線(CF)與(AD)交于點(diǎn)(H)，則(A,D,G,H)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列，若(AG=2)，(GH=1)，則(HD=)______。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(P(1,0))關(guān)于直線(l:y=x+1)的調(diào)和共軛點(diǎn)(Q)的坐標(biāo)為_(kāi)_____（調(diào)和共軛點(diǎn)滿足(P,Q)被直線(l)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)調(diào)和分割）。設(shè)(\triangleABC)的內(nèi)切圓與(BC)相切于點(diǎn)(D)，延長(zhǎng)(AD)交外接圓于點(diǎn)(E)，則(B,C,D,E)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的充要條件是(AB+AC=)______（用(BC)邊長(zhǎng)表示）。雙曲線(x^2-y^2=1)的右支上一點(diǎn)(M)處的切線與右準(zhǔn)線交于點(diǎn)(N)，右焦點(diǎn)為(F)，則(M,N,F)與原點(diǎn)(O)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列的充要條件是點(diǎn)(M)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____。已知調(diào)和線束(OA,OB,OC,OD)中，(\angleAOB=60^\circ)，(\angleBOC=30^\circ)，則(\angleCOD=)______。二、解答題（共4題，第9-10題每題40分，第11-12題每題50分，滿分180分）9.（本題滿分40分）如圖1，在(\triangleABC)中，(D)為(BC)的中點(diǎn)，(E)為(AD)上一點(diǎn)，且(AE=2ED)，直線(BE)交(AC)于(F)，直線(CF)交(AB)于(G)。證明：（1）(A,G,B)與(CF)上某點(diǎn)(H)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列；（2）若(AB=AC=5)，(BC=6)，求(GH)的長(zhǎng)度。證明思路：（1）利用塞瓦定理可證(\frac{AG}{GB}=\frac{1}{2})，延長(zhǎng)(CF)至(H)使(\frac{FH}{HC}=\frac{1}{2})，通過(guò)交比計(jì)算驗(yàn)證調(diào)和性；（2）建立坐標(biāo)系，用解析幾何法求出(G,H)坐標(biāo)，進(jìn)而計(jì)算距離。10.（本題滿分40分）已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)點(diǎn)(P(4,0))的直線交拋物線于(A,B)兩點(diǎn)，過(guò)(A,B)分別作拋物線的切線交于點(diǎn)(Q)。（1）證明：(Q)在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）若(M)為(AB)的中點(diǎn)，證明：(F,M,Q)與原點(diǎn)(O)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。關(guān)鍵步驟：（1）設(shè)直線(AB:x=ty+4)，聯(lián)立拋物線方程得(y^2-4ty-16=0)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線方程，聯(lián)立得(Q(-1,2t))，即準(zhǔn)線(x=-1)上；（2）計(jì)算(FM,FQ,FO)的距離，驗(yàn)證(\frac{FM}{MQ}=\frac{FO}{OQ})。11.（本題滿分50分）如圖2，圓(O)與圓(O')相交于(A,B)兩點(diǎn)，過(guò)(A)的直線分別交兩圓于(C,D)，過(guò)(B)的直線分別交兩圓于(E,F)，直線(CE)與(DF)交于點(diǎn)(P)，直線(CD)與(EF)交于點(diǎn)(Q)。證明：（1）(P,Q,A,B)四點(diǎn)共圓；（2）(C,D,Q)與(P)在直線(CD)上的射影(R)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。核心技巧：（1）利用圓冪定理證明(\anglePAQ=\anglePBQ)；（2）通過(guò)調(diào)和點(diǎn)列性質(zhì)(QC\cdotRD=QD\cdotRC)結(jié)合圓冪公式推導(dǎo)。12.（本題滿分50分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓(\Gamma:\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1)的左焦點(diǎn)為(F)，右頂點(diǎn)為(A)，過(guò)(F)的直線(l)與橢圓交于(M,N)兩點(diǎn)（(M)在第一象限），點(diǎn)(P)在橢圓上，且滿足(OP\parallell)（(O)為原點(diǎn)）。（1）若(l)的斜率為(1)，求點(diǎn)(P)的坐標(biāo)；（2）設(shè)直線(AM,AN)分別交直線(OP)于(B,C)兩點(diǎn)，證明：(O,B,P,C)構(gòu)成調(diào)和點(diǎn)列。解題要點(diǎn)：（1）聯(lián)立直線(l)與橢圓方程，求出(OP)的斜率，進(jìn)而解出(P)坐標(biāo)；（2）利用參數(shù)方程表示(B,C)坐標(biāo)，通過(guò)向量法或交比定義驗(yàn)證調(diào)和性。三、附加題（共2題，每題20分，不計(jì)入總分，供拓展訓(xùn)練使用）13.已知調(diào)和點(diǎn)列(A,B,C,D)中，(AB=2)，(BC=1)，求(AD)的所有可能值。14.在四面體(ABCD)中，棱(AB,CD)的中點(diǎn)分別為(M,N)，若過(guò)(M,N)的平面與棱(AC,BD)交于(P,Q)，證明：(P,Q,M,N)構(gòu)成空間調(diào)和點(diǎn)列。試卷設(shè)計(jì)說(shuō)明：知識(shí)點(diǎn)覆蓋：包含平面幾何（70%）、圓錐曲線（20%）、立體幾何初步（10%），重點(diǎn)考查調(diào)和點(diǎn)列的定義、性質(zhì)（如中點(diǎn)性質(zhì)(OM^2=OA\cdotOB)）、調(diào)和線束的射影不變性，以及與塞瓦定理、極點(diǎn)極線的綜合應(yīng)用。難度梯度：填空題1-4為基礎(chǔ)題（聯(lián)賽一試難度），5-8為提高題（聯(lián)賽二試入門）；解答題9-