2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模能力試卷一、單項選擇題（每題3分，共10題）在數(shù)學(xué)建模過程中，將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題的核心步驟是（）A.模型求解B.模型假設(shè)C.模型檢驗D.結(jié)果分析以下哪種模型適用于描述人口增長、傳染病擴散等隨時間變化的動態(tài)系統(tǒng)（）A.線性規(guī)劃模型B.微分方程模型C.層次分析法模型D.聚類分析模型在數(shù)據(jù)預(yù)處理階段，用于處理缺失值的常用方法是（）A.數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化B.主成分分析C.均值填充D.數(shù)據(jù)可視化某超市為優(yōu)化進(jìn)貨策略，需分析商品銷量與價格的關(guān)系，應(yīng)采用的數(shù)學(xué)方法是（）A.回歸分析B.圖論模型C.蒙特卡洛模擬D.整數(shù)規(guī)劃數(shù)學(xué)建模競賽中，評價論文質(zhì)量的首要標(biāo)準(zhǔn)是（）A.模型復(fù)雜度B.假設(shè)合理性C.編程語言先進(jìn)性D.圖表美觀度下列問題中，不屬于優(yōu)化問題的是（）A.設(shè)計容積固定的易拉罐，使材料成本最低B.求解某城市交通流量的最短路徑C.預(yù)測某地區(qū)未來5年的人口數(shù)量D.分配教室資源，使學(xué)生步行總時間最少在層次分析法（AHP）中，用于檢驗判斷矩陣一致性的指標(biāo)是（）A.特征值B.隨機一致性比率（CR）C.相關(guān)系數(shù)D.殘差平方和某學(xué)校為評估教師教學(xué)質(zhì)量，收集了學(xué)生評分、考試成績、同行評價等數(shù)據(jù)，應(yīng)采用的建模方法是（）A.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型B.模糊綜合評價模型C.微分方程模型D.時間序列分析蒙特卡洛模擬的核心思想是通過（）求解復(fù)雜問題A.確定性算法B.隨機抽樣C.線性變換D.邏輯推理在撰寫數(shù)學(xué)建模論文時，“模型改進(jìn)”部分的主要目的是（）A.展示編程技巧B.簡化模型假設(shè)C.提升模型的適用性或精度D.增加論文篇幅二、填空題（每空2分，共10空）數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括：問題分析、、模型建立、模型求解、、模型應(yīng)用。線性規(guī)劃模型的三要素是：目標(biāo)函數(shù)、______、決策變量。某城市地鐵早高峰時段人流量服從正態(tài)分布N(500,1002)，則該時段人流量在400~600人之間的概率約為______%（保留整數(shù)）。圖論中，若一個圖包含所有頂點且邊不重復(fù)，則稱為______；若邊可重復(fù)則稱為______。用MATLAB求解微分方程時，常用的函數(shù)是______；進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合時，常用的函數(shù)是______。三、簡答題（每題8分，共3題）簡述數(shù)學(xué)建模中“模型假設(shè)”的作用，并舉例說明不合理假設(shè)可能導(dǎo)致的后果。某小區(qū)計劃安裝太陽能板，需考慮光照時間、安裝面積、成本預(yù)算等因素。請列出至少3個關(guān)鍵變量，并說明如何通過數(shù)據(jù)收集確定這些變量的取值范圍。對比時間序列分析和回歸分析的適用場景，舉例說明兩者在實際問題中的區(qū)別。四、建模應(yīng)用題（共46分）問題一：校園共享單車調(diào)度優(yōu)化（20分）某高中校園內(nèi)投放了200輛共享單車，供師生通勤使用。但由于上下課高峰期人流量集中，常出現(xiàn)“熱門地點無車可用，冷門地點車輛積壓”的問題。假設(shè)你是校園管理處工作人員，請通過數(shù)學(xué)建模解決以下問題：（1）收集哪些關(guān)鍵數(shù)據(jù)來分析車輛供需矛盾？（至少列舉4項）（4分）（2）建立一個優(yōu)化模型，目標(biāo)是“最小化師生平均等待時間”，寫出模型的目標(biāo)函數(shù)和約束條件（變量需定義）。（8分）（3）若采用貪婪算法進(jìn)行調(diào)度，簡述具體步驟，并指出該算法的優(yōu)缺點。（8分）問題二：教室照明系統(tǒng)節(jié)能設(shè)計（26分）為響應(yīng)“綠色校園”號召，學(xué)校計劃改造教室照明系統(tǒng)，需在保證照明效果的前提下降低能耗。已知：每間教室長10米、寬8米、高3米，需滿足平均照度≥300勒克斯（lx）；可選用兩種LED燈具：A型（功率20W，單價50元，光通量2000lm）、B型（功率30W，單價80元，光通量3500lm）；燈具需安裝在天花板上，距地面2.5米，光效均勻分布。（1）建立照度計算模型：若在教室天花板均勻安裝n盞燈具，推導(dǎo)地面某點照度E（lx）與燈具數(shù)量n、光通量Φ（lm）的關(guān)系式（提示：照度公式(E=\frac{\Phi\cdotU\cdotK}{A})，其中U為利用系數(shù)，K為維護(hù)系數(shù)，A為面積；此處取U=0.6，K=0.8）。（6分）（2）以“總功率最低”為目標(biāo)，設(shè)計燈具選型與安裝方案（需給出A型、B型燈具的數(shù)量），并計算總功率和總成本。（10分）（3）若考慮燈具使用壽命（A型5000小時，B型8000小時）和電費（1元/度），以5年為周期（每年使用2000小時），重新優(yōu)化方案并說明理由。（10分）五、開放性建模題（30分）問題：社區(qū)養(yǎng)老服務(wù)中心選址問題隨著人口老齡化加劇，某社區(qū)計劃新建1所養(yǎng)老服務(wù)中心，為6個居民小區(qū)提供服務(wù)。各小區(qū)的位置坐標(biāo)（單位：百米）、老年人口數(shù)量及現(xiàn)有醫(yī)療資源如下表所示：小區(qū)坐標(biāo)（x,y）老年人口（人）現(xiàn)有醫(yī)療點（個）A(0,2)3001B(3,5)5000C(6,3)2001D(4,0)4000E(1,6)6000F(5,4)3501要求：明確選址問題的目標(biāo)（至少2個），并說明優(yōu)先級；（6分）選取至少3個評價指標(biāo)（如距離、人口覆蓋率、醫(yī)療資源配套等），建立數(shù)學(xué)模型（如加權(quán)評分模型、重心法等）；（12分）若候選地址為G(2,3)、H(4,4)，通過模型計算并確定最優(yōu)選址，寫出關(guān)鍵計算步驟。（12分）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（簡要說明）一、單項選擇題1-5：BBCAB6-10：CBBBC二、填空題模型假設(shè)；模型檢驗約束條件68歐拉通路；歐拉回路ode45；polyfit三、簡答題（示例）作用：簡化問題、明確邊界、降低建模難度。后果：如假設(shè)“人口增長率恒定”可能導(dǎo)致長期預(yù)測誤差過大。四、建模應(yīng)用題（示例）問題一（2）模型：決策變量：(x_{ij})（從地點i調(diào)度到j(luò)的車輛數(shù)）目標(biāo)函數(shù)：(\min\sum(等待時間\times人數(shù)))約束條件：(\sumx_{ij}\leq可用車輛數(shù))，(\sumx_{ji}\geq需求車輛數(shù))五、開放性建模題評分要點：目標(biāo)合理性（如“服務(wù)半徑最小”“覆蓋人口最多”）；指標(biāo)選取與權(quán)重設(shè)置的邏輯性；模型計算過程的準(zhǔn)確性；結(jié)果分析的全面性（如敏感性討論）。試卷設(shè)計說明：題型覆蓋：選擇題、填空題側(cè)重基礎(chǔ)概念，簡答題考查建模流程理解，應(yīng)用題和開放題強調(diào)實際問題解決能力。場景貼近性：題目