2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競賽大學(xué)先修試卷一、選擇題（每題5分，共60分）設(shè)函數(shù)$f(x)=\log_2(x^2-ax+3a)$在區(qū)間$[2,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$(-\infty,4]$B.$(-4,4]$C.$(-\infty,-4)\cup[2,+\infty)$D.$(-4,2]$已知等比數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，若$S_3=7$，$S_6=63$，則數(shù)列${na_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n=$（）A.$(n-1)2^{n+1}+2$B.$(n-1)2^n+1$C.$n2^{n+1}+2$D.$n2^n+1$在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-2i|=1$，則$|z+1|$的最小值為（）A.$\sqrt{5}-1$B.$\sqrt{5}+1$C.$2$D.$3$已知向量$\vec{a}$，$\vec$為單位向量，且$\vec{a}\cdot\vec=-\frac{1}{2}$，則$|\vec{a}+2\vec|=$（）A.$\sqrt{3}$B.$\sqrt{5}$C.$\sqrt{7}$D.$3$橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦點(diǎn)分別為$F_1$，$F_2$，過$F_1$的直線交橢圓于$A$，$B$兩點(diǎn)，若$\triangleABF_2$的周長為$8$，離心率$e=\frac{1}{2}$，則橢圓方程為（）A.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1$C.$\frac{x^2}{2}+y^2=1$D.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{6}=1$設(shè)$x,y>0$，且$x+2y=1$，則$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值為（）A.$3+2\sqrt{2}$B.$3+\sqrt{2}$C.$4+2\sqrt{2}$D.$4\sqrt{2}$已知函數(shù)$f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})$的最小正周期為$\pi$，且$f(\frac{\pi}{3})=1$，則$\varphi=$（）A.$-\frac{\pi}{6}$B.$\frac{\pi}{6}$C.$-\frac{\pi}{3}$D.$\frac{\pi}{3}$從$1,2,3,\cdots,20$中任取$4$個數(shù)，使它們的乘積為$2025$的倍數(shù)，則不同的取法種數(shù)為（）A.$C_{20}^4-C_{16}^4$B.$C_{20}^4-C_{15}^4$C.$C_{20}^4-C_{14}^4$D.$C_{20}^4-C_{13}^4$已知多項(xiàng)式$f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$的四個根為$1,2,3,k$，且$f(0)=12$，則$k=$（）A.$-1$B.$-2$C.$-3$D.$-4$設(shè)$a,b,c\in\mathbb{N}^*$，且$a+b+c=2025$，則$abc$的最大值為（）A.$675^3$B.$674\times675\times676$C.$673\times675\times677$D.$670\times675\times680$在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，若$a=2$，$b=3$，$c=4$，則$\cosC=$（）A.$-\frac{1}{4}$B.$-\frac{1}{8}$C.$\frac{1}{4}$D.$\frac{1}{8}$滿足方程$3^x+4^x=5^x$的實(shí)數(shù)解$x=$（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$二、填空題（每題8分，共64分）已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則$a_n=$________。函數(shù)$f(x)=\frac{x^2+3x+4}{x+1}(x>-1)$的最小值為________。若不等式$x^2-ax+1\geq0$對任意$x\in[1,2]$恒成立，則實(shí)數(shù)$a$的最大值為________。已知圓$C:x^2+y^2-4x+2y+1=0$，則過圓心$C$且與直線$2x-y+1=0$垂直的直線方程為________。設(shè)$x,y\in\mathbb{R}$，且$x+3y=5$，則$2^x+8^y$的最小值為________。已知函數(shù)$f(x)=\lnx+\frac{1}{x}$，則$f(x)$在$x=1$處的切線方程為________。從$5$名男生和$4$名女生中選出$3$人參加數(shù)學(xué)競賽，要求至少有$1$名女生，則不同的選法種數(shù)為________。若$\tan\alpha=2$，則$\sin2\alpha+\cos^2\alpha=$________。三、解答題（共76分）21.（12分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=1$處取得極值$-1$。（1）求$a$，$b$的值；（2）求函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上的最大值和最小值。22.（12分）已知數(shù)列${a_n}$的前$n$項(xiàng)和為$S_n$，且$S_n=2a_n-1$。（1）求數(shù)列${a_n}$的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)$b_n=\frac{a_n}{S_nS_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$T_n$。23.（14分）在平面直角坐標(biāo)系$xOy$中，拋物線$C:y^2=4x$的焦點(diǎn)為$F$，過點(diǎn)$F$的直線$l$與拋物線交于$A$，$B$兩點(diǎn)。（1）若$|AB|=8$，求直線$l$的方程；（2）若$\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，求$\triangleAOB$的面積。24.（14分）在$\triangleABC$中，角$A,B,C$所對的邊分別為$a,b,c$，且滿足$b\cosC=(2a-c)\cosB$。（1）求角$B$的大??；（2）若$b=2\sqrt{3}$，求$\triangleABC$面積的最大值。25.（14分）已知函數(shù)$f(x)=e^x-ax-1(a\in\mathbb{R})$。（1）討論函數(shù)$f(x)$的單調(diào)性；（2）若$f(x)\geq0$對任意$x\in\mathbb{R}$恒成立，求$a$的值。26.（10分）設(shè)$n$為正整數(shù)，證明：$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}<2\sqrt{n}$。四、附加題（共40分，不計(jì)入總分，供學(xué)有余力的學(xué)生選做）27.（20分）已知正整數(shù)$m,n$滿足$m^2+n^2=2025$，求$m+n$的最大值。28.（2