2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)積分法技術(shù)觀試卷一、不定積分的概念與基本性質(zhì)（一）原函數(shù)與不定積分的定義若函數(shù)(F(x))的導(dǎo)數(shù)等于(f(x))，即(F'(x)=f(x))，則稱(F(x))為(f(x))的一個(gè)原函數(shù)。不定積分(\intf(x)dx)表示(f(x))的全體原函數(shù)，記作(F(x)+C)（其中(C)為積分常數(shù)）。需注意，原函數(shù)若存在則不唯一，任意兩個(gè)原函數(shù)之間相差一個(gè)常數(shù)。（二）不定積分的基本性質(zhì)線性性：(\int[af(x)+bg(x)]dx=a\intf(x)dx+b\intg(x)dx)（(a,b)為常數(shù)）。導(dǎo)數(shù)與積分的互逆性：(\fracz3jilz61osys{dx}[\intf(x)dx]=f(x))，(\intF'(x)dx=F(x)+C)。積分形式不變性：若(\intf(u)du=F(u)+C)，則(\intf[\varphi(x)]\varphi'(x)dx=F[\varphi(x)]+C)（換元法的理論基礎(chǔ)）。二、基本積分法與技巧（一）直接積分法直接利用基本積分公式和線性性質(zhì)求解，需熟記以下常用公式：(\intx^kdx=\frac{x^{k+1}}{k+1}+C)（(k\neq-1)）(\int\frac{1}{x}dx=\ln|x|+C)(\inte^xdx=e^x+C)(\int\sinxdx=-\cosx+C)(\int\cosxdx=\sinx+C)(\int\sec^2xdx=\tanx+C)(\int\csc^2xdx=-\cotx+C)示例：計(jì)算(\int(2x^3+\sqrt{x}-\frac{3}{x})dx)解：原式(=2\intx^3dx+\intx^{\frac{1}{2}}dx-3\int\frac{1}{x}dx=\frac{1}{2}x^4+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-3\ln|x|+C)（二）換元積分法1.第一類換元法（湊微分法）核心思想：將被積函數(shù)表示為(f[\varphi(x)]\varphi'(x))的形式，令(u=\varphi(x))，轉(zhuǎn)化為(\intf(u)du)。常見湊微分形式：(dx=\frac{1}{a}d(ax+b))（如(dx=\frac{1}{2}d(2x+3))）(xdx=\frac{1}{2}d(x^2))，(x^2dx=\frac{1}{3}d(x^3))(e^xdx=d(e^x))，(\sinxdx=-d(\cosx))示例：計(jì)算(\int\sin(2x+1)dx)解：令(u=2x+1)，則(du=2dx)，原式(=\frac{1}{2}\int\sinudu=-\frac{1}{2}\cosu+C=-\frac{1}{2}\cos(2x+1)+C)2.第二類換元法（變量代換法）適用于含根號(hào)的被積函數(shù)，通過代換消去根號(hào)：含(\sqrt{a^2-x^2})時(shí)，令(x=a\sint)（(t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}])）含(\sqrt{x^2+a^2})時(shí)，令(x=a\tant)（(t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}))）含(\sqrt{x^2-a^2})時(shí)，令(x=a\sect)（(t\in[0,\frac{\pi}{2})\cup(\frac{\pi}{2},\pi])）示例：計(jì)算(\int\sqrt{1-x^2}dx)解：令(x=\sint)，則(dx=\costdt)，原式(=\int\cos^2tdt=\frac{1}{2}\int(1+\cos2t)dt=\frac{t}{2}+\frac{\sin2t}{4}+C)回代(t=\arcsinx)，(\sin2t=2\sint\cost=2x\sqrt{1-x^2})，得原式(=\frac{1}{2}\arcsinx+\frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}+C)（三）分部積分法公式：(\intu(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\intv(x)u'(x)dx)，簡(jiǎn)記為(\intudv=uv-\intvdu)。關(guān)鍵在于選擇(u)和(dv)，遵循“反、對(duì)、冪、指、三”的優(yōu)先級(jí)（反三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)，前者優(yōu)先設(shè)為(u)）。示例：計(jì)算(\intx\cosxdx)解：令(u=x)，(dv=\cosxdx)，則(du=dx)，(v=\sinx)原式(=x\sinx-\int\sinxdx=x\sinx+\cosx+C)高頻應(yīng)用場(chǎng)景：多項(xiàng)式×三角函數(shù)/指數(shù)函數(shù)（如(\intx^2e^xdx)）對(duì)數(shù)函數(shù)×多項(xiàng)式（如(\intx\lnxdx)）反三角函數(shù)×多項(xiàng)式（如(\int\arctanxdx)）三、定積分的概念與計(jì)算（一）定積分的定義與幾何意義定積分(\int_a^bf(x)dx)表示函數(shù)(f(x))在區(qū)間([a,b])上與x軸圍成的曲邊梯形面積的代數(shù)和（x軸上方為正，下方為負(fù)）。其定義為黎曼和的極限：[\int_a^bf(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^nf(\xi_i)\Deltax_i]其中(\lambda=\max{\Deltax_1,\Deltax_2,\dots,\Deltax_n})。（二）微積分基本定理（牛頓-萊布尼茨公式）若(F(x))是(f(x))在([a,b])上的一個(gè)原函數(shù)，則：[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)]該公式將定積分計(jì)算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的增量，是連接不定積分與定積分的橋梁。（三）定積分的計(jì)算技巧換元法：若(x=\varphi(t))在([\alpha,\beta])上單調(diào)可導(dǎo)，且(\varphi(\alpha)=a)，(\varphi(\beta)=b)，則：[\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\betaf[\varphi(t)]\varphi'(t)dt]分部積分法：(\int_a^budv=[uv]_a^b-\int_a^bvdu)對(duì)稱性：若(f(x))為偶函數(shù)，則(\int_{-a}^af(x)dx=2\int_0^af(x)dx)若(f(x))為奇函數(shù)，則(\int_{-a}^af(x)dx=0)示例：計(jì)算(\int_0^\pix\sinxdx)解：由分部積分法，令(u=x)，(dv=\sinxdx)，則(du=dx)，(v=-\cosx)原式(=[-x\cosx]_0^\pi+\int_0^\pi\cosxdx=(-\pi\cos\pi+0)+[\sinx]_0^\pi=\pi+0=\pi)四、反常積分（廣義積分）（一）無窮區(qū)間上的反常積分設(shè)(f(x))在([a,+\infty))上連續(xù)，定義：[\int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^bf(x)dx]若極限存在，則稱反常積分收斂；否則發(fā)散。類似可定義(\int_{-\infty}^bf(x)dx)和(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx)。示例：判斷(\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx)的斂散性解：原式(=\lim_{b\to+\infty}\int_1^bx^{-2}dx=\lim_{b\to+\infty}[-\frac{1}{x}]1^b=\lim{b\to+\infty}(-\frac{1}+1)=1)，故收斂于1。（二）無界函數(shù)的反常積分設(shè)(f(x))在((a,b])上連續(xù)，且(\lim_{x\toa^+}f(x)=\infty)（(a)為瑕點(diǎn)），定義：[\int_a^bf(x)dx=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{a+\epsilon}^bf(x)dx]示例：計(jì)算(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx)解：(x=0)為瑕點(diǎn)，原式(=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_\epsilon^1x^{-\frac{1}{2}}dx=\lim_{\epsilon\to0^+}[2\sqrt{x}]\epsilon^1=\lim{\epsilon\to0^+}(2-2\sqrt{\epsilon})=2)五、積分法的綜合應(yīng)用（一）求解微分方程通過積分可求解簡(jiǎn)單的微分方程，如(y'=f(x))的通解為(y=\intf(x)dx+C)。示例：求微分方程(y'=2x+\sinx)的通解解：兩邊積分得(y=\int(2x+\sinx)dx=x^2-\cosx+C)（二）物理應(yīng)用：位移與速度的關(guān)系若物體運(yùn)動(dòng)速度為(v(t))，則從時(shí)刻(t_1)到(t_2)的位移為(s=\int_{t_1}^{t_2}v(t)dt)。示例：一物體以(v(t)=t^2+1)（m/s）的速度運(yùn)動(dòng)，求(t=0)到(t=3)秒內(nèi)的位移解：(s=\int_0^3(t^2+1)dt=[\frac{t^3}{3}+t]_0^3=(9+3)-0=12)米（三）幾何應(yīng)用：面積與體積計(jì)算平面圖形面積：由(y=f(x))，(y=g(x))，(x=a)，(x=b)圍成的圖形面積(S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx)。旋轉(zhuǎn)體體積：曲線(y=f(x))與(x=a)，(x=b)，(x)軸圍成的圖形繞(x)軸旋轉(zhuǎn)一周的體積(V=\pi\int_a^b[f(x)]^2dx)。六、常見錯(cuò)誤與注意事項(xiàng)遺漏積分常數(shù)：不定積分結(jié)果必須加(C)，而定積分無需加常數(shù)。換元后未調(diào)整積分限：使用第二類換元法計(jì)算定積分時(shí)，需同步替換積分變量和積分限。混淆定積分與反常積分：計(jì)算含瑕點(diǎn)或無窮區(qū)間的積分時(shí)，需先判斷是否為反常積分，再按定義求解。分部積分法中(u)和(dv)選擇不當(dāng)：例如對(duì)(\inte^x\sinxdx)，需連續(xù)使用分部積分并移項(xiàng)求解，避免循環(huán)計(jì)算。七、拓展：數(shù)值積分初步當(dāng)被積函數(shù)的原函數(shù)難以用初等函數(shù)表示（如(\inte^{-x^2}dx)）時(shí)，需采用數(shù)值方法近似計(jì)算，常用方法包括：矩形法：將曲邊梯形分割為(n)個(gè)矩形，面積近似為(\sum_{i=1}^nf(x_i)\Deltax)梯形法：用梯形面積近似，公式為(\frac{\Deltax}{2}[f(x_0)+2\sum_{i=1}^{n-1}f