2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽初賽模擬試卷一、填空題（本大題共12小題，每題8分，共96分）已知集合(A={x\midx^2-5x+6=0})，(B={x\mid\log_2(x-1)<2})，則(A\capB=)__________。函數(shù)(f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx)的最小正周期為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)_________。等差數(shù)列({a_n})中，(a_1=1)，前(n)項(xiàng)和(S_n)滿(mǎn)足(S_5=25)，則(a_{10}=)__________。在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)(P)從((0,0))出發(fā)，每次向右或向上移動(dòng)1個(gè)單位，經(jīng)過(guò)5次移動(dòng)后到達(dá)((3,2))，且不經(jīng)過(guò)點(diǎn)((2,1))的路徑數(shù)為_(kāi)_________。已知向量(\vec{a}=(1,m))，(\vec=(m,4))，若(\vec{a})與(\vec)的夾角不大于(60^\circ)，則實(shí)數(shù)(m)的取值范圍是__________。函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+ax+1)在區(qū)間([0,2])上的最小值為-3，則實(shí)數(shù)(a=)__________。設(shè)正實(shí)數(shù)(x,y,z)滿(mǎn)足(x+y+z=1)，則(\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z})的最小值為_(kāi)_________。棱長(zhǎng)為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)(P)在棱(CC_1)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四棱錐(P-ABCD)的體積最大時(shí)，三棱錐(P-ABD)的體積為_(kāi)_________。袋子中有編號(hào)為1,2,3,4的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，從中無(wú)放回地依次摸出2個(gè)球，記“第一次摸到紅球”為事件(A)，“第二次摸到白球”為事件(B)，則(P(B|A)=)__________。滿(mǎn)足(C_n^2+C_n^3=21)的正整數(shù)(n=)__________。在平行四邊形(ABCD)中，(AB=3)，(AD=4)，點(diǎn)(E,F)分別在邊(BC,CD)上，且(BE=1)，(CF=1)，則(\triangleAEF)的面積為_(kāi)_________。設(shè)集合(S={1,2,\dots,10})，(A)是(S)的非空子集，且滿(mǎn)足“若(a\inA)，則(2a\notinA)”，則這樣的集合(A)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_________。二、解答題（本大題共3小題，共54分）13.（本題16分）已知拋物線(xiàn)(C:y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過(guò)點(diǎn)(F)的直線(xiàn)(l)與拋物線(xiàn)交于(A,B)兩點(diǎn)，且(|AF|=2|BF|)。（1）求直線(xiàn)(l)的方程；（2）若點(diǎn)(P)在拋物線(xiàn)(C)的準(zhǔn)線(xiàn)上，且(\angleAPB=90^\circ)，求點(diǎn)(P)的坐標(biāo)。14.（本題20分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格由邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成，動(dòng)點(diǎn)(M)從原點(diǎn)(O(0,0))出發(fā)，沿網(wǎng)格線(xiàn)移動(dòng)到點(diǎn)(N(4,4))，每次移動(dòng)1個(gè)單位，且只能向右或向上移動(dòng)。（1）求(M)經(jīng)過(guò)點(diǎn)((2,2))的路徑數(shù)；（2）記路徑中所有點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)之和的最大值為(S)，求(S)的數(shù)學(xué)期望。15.（本題18分）設(shè)復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式(f(z)=z^3+az^2+bz+c)，其中(a,b,c)為實(shí)數(shù)，且(f(i)=0)（(i)為虛數(shù)單位）。（1）證明：(a=c)，且(b=-1-a^2)；（2）若方程(f(z)=0)的三個(gè)根在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)構(gòu)成正三角形，求(a)的值。參考答案與評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要提示）一、填空題({3})（集合運(yùn)算與不等式求解）(\pi)，(\frac{1+\sqrt{2}}{2})（三角恒等變換與周期、最值）19（等差數(shù)列基本量計(jì)算）10（組合計(jì)數(shù)與容斥原理）([0,2])（向量夾角與不等式）-2（導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值）36（柯西不等式或權(quán)方和不等式）(\frac{4}{3})（空間幾何體體積計(jì)算）(\frac{1}{3})（條件概率）6（組合數(shù)方程）5（平面幾何面積計(jì)算）186（集合劃分與計(jì)數(shù)原理）二、解答題（1）直線(xiàn)(l)的方程為(y=\pm2\sqrt{2}(x-1))；（2）點(diǎn)(P)的坐標(biāo)為((-1,\pm2\sqrt{2}))。（1）路徑數(shù)為(C_4^2\cdotC_4^2=36)；（2）(S)的數(shù)學(xué)期望為(\frac{28}{3})。（1）利用復(fù)數(shù)相等證明；（2）(a=0)或(a=\pm\sqrt{3})。命題說(shuō)明：模塊覆蓋：試卷涵蓋代數(shù)（函數(shù)、數(shù)列、不等式）、幾何（解析幾何、立體幾何）、數(shù)論（整數(shù)性質(zhì)）、組合（計(jì)數(shù)、概率）四大競(jìng)賽核心模塊，符合高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽大綱要求。難度梯度：填空題前6題側(cè)