2025年下學(xué)期高中基于案例學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用案例背景某新能源汽車企業(yè)計(jì)劃推出一款新型電池，其生產(chǎn)成本$C(x)$（單位：萬(wàn)元）與月產(chǎn)量$x$（單位：千臺(tái)）的函數(shù)關(guān)系為$C(x)=0.1x^3-2x^2+20x+50$，銷售單價(jià)$p$（單位：萬(wàn)元/臺(tái)）與產(chǎn)量的關(guān)系滿足$p=50-0.5x$。假設(shè)所有產(chǎn)品均能售出，試解決以下問(wèn)題：寫出月利潤(rùn)$L(x)$關(guān)于產(chǎn)量$x$的函數(shù)表達(dá)式利潤(rùn)函數(shù)$L(x)=$銷售收入$-$生產(chǎn)成本，即：[L(x)=x\cdotp-C(x)=x(50-0.5x)-(0.1x^3-2x^2+20x+50)]化簡(jiǎn)得：[L(x)=-0.1x^3+1.5x^2+30x-50\quad(x>0)]求利潤(rùn)最大化時(shí)的產(chǎn)量及最大利潤(rùn)對(duì)$L(x)$求導(dǎo)：[L'(x)=-0.3x^2+3x+30]令$L'(x)=0$，解得$x_1=20$，$x_2=-5$（舍去）。驗(yàn)證二階導(dǎo)數(shù)$L''(x)=-0.6x+3$，當(dāng)$x=20$時(shí)，$L''(20)=-9<0$，故$x=20$為極大值點(diǎn)。代入$L(x)$得最大利潤(rùn)：[L(20)=-0.1(20)^3+1.5(20)^2+30(20)-50=450\text{萬(wàn)元}]若政府對(duì)每臺(tái)電池征收環(huán)保稅$t$萬(wàn)元，企業(yè)欲保持最大利潤(rùn)不變，求$t$的取值范圍稅后利潤(rùn)函數(shù)$L_t(x)=L(x)-t\cdotx$，求導(dǎo)得$L_t'(x)=L'(x)-t$。為保持最大利潤(rùn)450萬(wàn)元，需$L_t(20)\geq450$，即：[450-20t\geq450\impliest\leq0]結(jié)合實(shí)際意義，$t\in[0,0]$，即$t=0$。二、立體幾何在建筑設(shè)計(jì)中的應(yīng)用案例背景某文化中心擬建造一個(gè)正四棱錐形狀的展廳，底面邊長(zhǎng)為$a$米，側(cè)棱長(zhǎng)為$l$米，側(cè)面與底面所成二面角為$\theta$。已知展廳體積為$V$，表面積（不含底面）為$S$，設(shè)計(jì)要求$V=1000,\text{m}^3$，材料成本與表面積成正比。用$a$和$\theta$表示體積$V$和表面積$S$正四棱錐的高$h=\frac{a}{2}\tan\theta$，斜高$h'=\frac{a}{2}\sec\theta$。體積：[V=\frac{1}{3}a^2h=\frac{1}{6}a^3\tan\theta=1000\impliesa^3=\frac{6000}{\tan\theta}]表面積（側(cè)面積）：[S=4\times\frac{1}{2}a\cdoth'=2a\cdot\frac{a}{2}\sec\theta=a^2\sec\theta]當(dāng)$a=20$米時(shí)，求$\theta$的值及最小表面積代入$a=20$到體積公式：[1000=\frac{1}{6}(20)^3\tan\theta\implies\tan\theta=\frac{6000}{8000}=0.75\implies\theta=\arctan(0.75)\approx36.87^\circ]表面積$S=20^2\sec\theta=400\times\frac{5}{4}=500,\text{m}^2$。若$\theta\in[30^\circ,60^\circ]$，求底面邊長(zhǎng)$a$的取值范圍由$a^3=\frac{6000}{\tan\theta}$，$\theta\in[30^\circ,60^\circ]$時(shí)，$\tan\theta\in[\frac{\sqrt{3}}{3},\sqrt{3}]$，故：[a^3\in[\frac{6000}{\sqrt{3}},6000\sqrt{3}]\impliesa\in[\sqrt[3]{\frac{6000}{\sqrt{3}}},\sqrt[3]{6000\sqrt{3}}]\approx[15.3,26.2]]三、概率統(tǒng)計(jì)在醫(yī)療診斷中的應(yīng)用案例背景某新型流感病毒檢測(cè)試劑盒的準(zhǔn)確率如下：對(duì)感染者的檢測(cè)陽(yáng)性率為95%（真陽(yáng)性）；對(duì)非感染者的檢測(cè)陰性率為90%（真陰性）。已知該病毒在人群中的感染率為5%。隨機(jī)抽取1人檢測(cè)，求結(jié)果為陽(yáng)性的概率設(shè)$A$為“感染病毒”，$B$為“檢測(cè)陽(yáng)性”，則：[P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\negA)P(\negA)=0.95\times0.05+0.10\times0.95=0.1425]若某人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，求其實(shí)際感染病毒的概率（陽(yáng)性預(yù)測(cè)值）由貝葉斯公式：[P(A|B)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}=\frac{0.95\times0.05}{0.1425}\approx0.336,(33.6%)]為提高檢測(cè)精度，對(duì)陽(yáng)性者進(jìn)行二次檢測(cè)，求兩次均為陽(yáng)性的概率及此時(shí)實(shí)際感染的概率兩次均為陽(yáng)性的概率：[P(B_1B_2)=P(B_1B_2|A)P(A)+P(B_1B_2|\negA)P(\negA)=0.95^2\times0.05+0.10^2\times0.95\approx0.0451+0.0095=0.0546]此時(shí)實(shí)際感染的概率：[P(A|B_1B_2)=\frac{0.95^2\times0.05}{0.0546}\approx\frac{0.0451}{0.0546}\approx0.826,(82.6%)]四、數(shù)列與不等式在資源分配中的應(yīng)用案例背景某社區(qū)計(jì)劃分三年投入養(yǎng)老設(shè)施建設(shè)資金，第一年投入$a_1$萬(wàn)元，以后每年投入比上一年增長(zhǎng)$d$萬(wàn)元，且三年總投入為1500萬(wàn)元。設(shè)施建成后，每年可產(chǎn)生收益，第一年收益為$b_1=100$萬(wàn)元，以后每年收益比上一年增長(zhǎng)20%。寫出總投入$S_3$關(guān)于$a_1$和$d$的表達(dá)式，并求$a_1$的最小值（$d\geq0$）等差數(shù)列求和：[S_3=3a_1+3d=1500\impliesa_1+d=500]當(dāng)$d=0$時(shí)，$a_1$最小，為500萬(wàn)元。若收益$b_n$的前$n$項(xiàng)和為$T_n$，求$T_n$的表達(dá)式，并判斷第幾年開(kāi)始收益超過(guò)當(dāng)年投入等比數(shù)列求和：[T_n=100\frac{1-1.2^n}{1-1.2}=500(1.2^n-1)]當(dāng)年投入$a_n=a_1+(n-1)d=500-d+(n-1)d=500+(n-2)d$（$n\geq1$）。令$b_n>a_n$，即$100\times1.2^{n-1}>500+(n-2)d$。當(dāng)$d=0$時(shí)，$a_n=500$，解$100\times1.2^{n-1}>500$：[1.2^{n-1}>5\impliesn-1>\log_{1.2}5\approx8.8\impliesn=10]五、解析幾何在交通規(guī)劃中的應(yīng)用案例背景某城市地鐵線路規(guī)劃中，需確定一條連接$A(0,4)$和$B(6,0)$的地下隧道，隧道為拋物線形，且對(duì)稱軸平行于$y$軸，最高點(diǎn)$C$到$x$軸的距離為5。求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)拋物線方程為$y=ax^2+bx+c$，過(guò)點(diǎn)$A(0,4)$，$B(6,0)$，且頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為5。代入$A$得$c=4$；頂點(diǎn)橫坐標(biāo)$x=-\frac{2a}$，縱坐標(biāo)$\frac{4ac-b^2}{4a}=5$；代入$B$得$36a+6b+4=0$。解得$a=-\frac{1}{9}$，$b=\frac{2}{3}$，方程為：[y=-\frac{1}{9}x^2+\frac{2}{3}x+4]若隧道寬度（$x$軸方向）需拓展到8米，保持最高點(diǎn)不變，求新拋物線與原拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)新拋物線頂點(diǎn)為$(4,5)$，方程為$y=-\frac{1}{9}(x-4)^2+5$。聯(lián)立原方程：[-\frac{1}{9}x^2+\frac{2}{3}x+4=-\frac{1}{9}(x^2-8x+16)+5]解得$x=1$，代入得$y=-\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+4=\frac{41}{9}$，故交點(diǎn)為$(1,\frac{41}{9})$。六、三角函數(shù)在物理運(yùn)動(dòng)中的應(yīng)用案例背景某摩天輪半徑為50米，中心$O$距離地面100米，旋轉(zhuǎn)一周需30分鐘。若某游客從最低點(diǎn)$A$處開(kāi)始計(jì)時(shí)（$t=0$），其離地面高度$h(t)$（米）與時(shí)間$t$（分鐘）的關(guān)系滿足正弦函數(shù)模型。寫出$h(t)$的函數(shù)表達(dá)式設(shè)$h(t)=A\sin(\omegat+\phi)+k$，其中：振幅$A=50$，周期$T=30\implies\omega=\frac{2\pi}{30}=\frac{\pi}{15}$平衡位置$k=100$，$t=0$時(shí)$h=50$，故：[50=50\sin(\phi)+100\implies\sin\phi=-1\implies\phi=-\frac{\pi}{2}]因此：[h(t)=50\sin\left(\frac{\pi}{15}t-\frac{\pi}{2}\right)+100=100-50\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right)]求$t\in[0,15]$時(shí)，游客高度超過(guò)125米的時(shí)長(zhǎng)令$h(t)>125$：[100-50\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right)>125\implies\cos\left(\frac{\pi}{15}t\right)<-\frac{1}{2}]解得$\frac{2\pi}{3}<\frac{\pi}{15}t<\frac{4\pi}{3}\implies10<t<20$。在$[0,15]$內(nèi)，時(shí)長(zhǎng)為$15-10=5$分鐘。七、線性代數(shù)在密碼學(xué)中的應(yīng)用案例背景某加密系統(tǒng)使用矩陣變換加密信息，規(guī)則為：明文向量$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1\x_2\end{pmatrix}$經(jīng)加密矩陣$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}$變換為密文向量$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$（模26運(yùn)算，即$A-Z$對(duì)應(yīng)$0-25$）。已知明文“HE”（對(duì)應(yīng)向量$\begin{pmatrix}7\4\end{pmatrix}$）加密后為“LC”（$\begin{pmatrix}11\2\end{pmatrix}$），明文“LP”（$\begin{pmatrix}11\15\end{pmatrix}$）加密后為“TY”（$\begin{pmatrix}19\24\end{pmatrix}$）。求加密矩陣$\boldsymbol{A}$根據(jù)加密規(guī)則：[\begin{cases}7a+4b\equiv11\mod26\7c+4d\equiv2\mod26\11a+15b\equiv19\mod26\11c+15d\equiv24\mod26\end{cases}]解前兩式：由$7a+4b=11$和$11a+15b=19$，消元得$a=3$，$b=5$。同理解得$c=2$，$d=4$，故$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3&5\2&4\end{pmatrix}$。求$\boldsymbol{A}$的逆矩陣$\boldsymbol{A}^{-1}$（模26），并解密密文“XM”（$\begin{pmatrix}23\12\end{pmatrix}$）$\det(\boldsymbol{A})=3\times4-5\times2=2$，逆矩陣：[\boldsymbol{A}^{-1}=2^{-1}\begin{pmatrix}4&-5\-2&3\end{pmatrix}\mod26]因$2\times13=26\equiv0\mod26$，$2^{-1}=13$（$2\times13=26\equiv0$，修正：$2\times13=26\equiv0$，正確逆元為$13$不成立，應(yīng)為$2\times13=26\equiv0$，實(shí)際$2\times13=26$，故$2^{-1}=13$錯(cuò)誤，正確解為$2x\equiv1\mod26$無(wú)整數(shù)解，此處修正矩陣為$\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}3&5\2&5\end{pmatrix}$，則$\det=5$，$5^{-1}=21$，$\boldsymbol{A}^{-1}=21\begin{pmatrix}5&-5\-2&3\end{pmatrix}\mod26=\begin{pmatrix}105&-105\-42&63\end{pmatrix}\mod26=\begin{pmatrix}1&1\10&11\end{pmatri