2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)近似計(jì)算技術(shù)觀試卷_第1頁
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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)近似計(jì)算技術(shù)觀試卷_第3頁
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2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)近似計(jì)算技術(shù)觀試卷一、選擇題(共10小題,每小題5分,共50分)1.近似計(jì)算的核心原則是()A.絕對(duì)精確B.誤差可控C.忽略小數(shù)點(diǎn)后三位D.僅使用四舍五入解析:近似計(jì)算的本質(zhì)是在允許誤差范圍內(nèi)簡化運(yùn)算,核心在于通過合理方法控制誤差,而非追求絕對(duì)精確(A錯(cuò)誤)。選項(xiàng)C、D僅為具體操作手段,并非原則。答案:B2.用二分法求方程(x^3-2x-5=0)在區(qū)間([2,3])內(nèi)的近似解,若要求誤差不超過0.01,則至少需迭代的次數(shù)為()A.5B.6C.7D.8解析:二分法誤差公式為(\frac{b-a}{2^n}\leq\epsilon),其中(a=2),(b=3),(\epsilon=0.01)。代入得(\frac{1}{2^n}\leq0.01),即(2^n\geq100),解得(n\geq7)((2^6=64),(2^7=128))。答案:C3.下列近似計(jì)算方法中,不屬于數(shù)值逼近方法的是()A.泰勒展開B.牛頓迭代法C.線性回歸D.輾轉(zhuǎn)相除法解析:輾轉(zhuǎn)相除法是求最大公約數(shù)的精確算法,與近似計(jì)算無關(guān)。泰勒展開(函數(shù)逼近)、牛頓迭代法(方程近似解)、線性回歸(數(shù)據(jù)擬合)均為數(shù)值逼近方法。答案:D4.用泰勒公式計(jì)算(e^{0.1})的近似值,取到(x^3)項(xiàng)(即(e^x\approx1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6})),則絕對(duì)誤差為()A.小于(10^{-5})B.大于(10^{-4})C.等于(10^{-3})D.無法估算解析:泰勒余項(xiàng)(R_3(x)=\frac{e^\xi}{24}x^4),(\xi\in(0,0.1))。因(e^\xi<e^{0.1}<2),故(R_3(0.1)<\frac{2}{24}(0.1)^4\approx8.3\times10^{-6}<10^{-5})。答案:A5.在數(shù)值計(jì)算中,“災(zāi)難性抵消”指的是()A.兩個(gè)相近數(shù)相加導(dǎo)致精度損失B.兩個(gè)相近數(shù)相減導(dǎo)致有效數(shù)字丟失C.大數(shù)“吃掉”小數(shù)D.舍入誤差累積解析:災(zāi)難性抵消是指兩個(gè)大小相近的數(shù)相減時(shí),有效數(shù)字位數(shù)急劇減少的現(xiàn)象。例如(1.2345-1.2344=0.0001),有效數(shù)字從5位降為1位。答案:B6.用梯形公式計(jì)算定積分(\int_0^1x^2dx)的近似值,若將區(qū)間([0,1])等分為2個(gè)子區(qū)間,則結(jié)果為()A.0.25B.0.3125C.0.375D.0.5解析:梯形公式(\int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{2}[f(a)+2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i)+f(b)]),其中(h=\frac{1-0}{2}=0.5),分點(diǎn)為(0,0.5,1)。代入得(\frac{0.5}{2}[0+2\times(0.5)^2+1^2]=0.25[0+0.5+1]=0.375)。答案:C7.已知某物理實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表,用線性回歸法擬合(y=kx+b),則(k)的近似值為()(x)1234(y)35710A.1.8B.2.0C.2.2D.2.4解析:線性回歸斜率公式(k=\frac{n\sumxy-\sumx\sumy}{n\sumx^2-(\sumx)^2})。計(jì)算得(\sumx=10),(\sumy=25),(\sumxy=1\times3+2\times5+3\times7+4\times10=3+10+21+40=74),(\sumx^2=1+4+9+16=30),(n=4)。代入得(k=\frac{4\times74-10\times25}{4\times30-10^2}=\frac{296-250}{120-100}=\frac{46}{20}=2.3),最接近2.2(選項(xiàng)C)。答案:C8.用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式(f(x)=2x^4+3x^3-x^2+5x-4)在(x=2)處的值,運(yùn)算過程中乘法的次數(shù)為()A.4B.5C.8D.10解析:秦九韶算法將多項(xiàng)式改寫為(f(x)=(((2x+3)x-1)x+5)x-4),從內(nèi)向外計(jì)算,共需4次乘法。答案:A9.下列關(guān)于蒙特卡洛方法的說法,正確的是()A.僅適用于幾何概型問題B.通過隨機(jī)抽樣估算數(shù)值結(jié)果C.誤差隨樣本量增加呈線性減小D.不需要任何數(shù)學(xué)模型解析:蒙特卡洛方法的核心是利用隨機(jī)數(shù)模擬事件發(fā)生概率,適用于多種領(lǐng)域(A錯(cuò)誤);誤差與樣本量的平方根成反比(C錯(cuò)誤);需基于數(shù)學(xué)模型構(gòu)建抽樣場景(D錯(cuò)誤)。答案:B10.已知某近似值(x^*=1.2345)的絕對(duì)誤差限為(0.5\times10^{-3}),則其有效數(shù)字位數(shù)為()A.3位B.4位C.5位D.無法確定解析:有效數(shù)字定義為從第一位非零數(shù)字到末位數(shù)字的位數(shù),且絕對(duì)誤差限不超過末位數(shù)字的半個(gè)單位。(x^*=1.2345),誤差限(0.5\times10^{-3}=0.0005),末位數(shù)字“4”處于小數(shù)點(diǎn)后第三位((10^{-3})),故有效數(shù)字為4位(1,2,3,4)。答案:B二、填空題(共5小題,每小題6分,共30分)11.用四舍五入法將(0.023456)保留三位有效數(shù)字,結(jié)果為__________。答案:0.0235解析:第三位有效數(shù)字為“3”,第四位“4”小于5,四舍五入后得0.0235。12.牛頓迭代法求方程(f(x)=0)的迭代公式為(x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}),若(f(x)=x^2-2),則迭代公式簡化為__________。答案:(x_{n+1}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n}))解析:(f'(x)=2x),代入得(x_{n+1}=x_n-\frac{x_n^2-2}{2x_n}=\frac{2x_n^2-x_n^2+2}{2x_n}=\frac{x_n^2+2}{2x_n}=\frac{1}{2}(x_n+\frac{2}{x_n}))。13.用辛普森公式計(jì)算(\int_0^2xdx)的近似值(區(qū)間等分為2個(gè)子區(qū)間),結(jié)果為__________。答案:2解析:辛普森公式(\int_a^bf(x)dx\approx\frac{h}{3}[f(a)+4f(x_1)+f(b)]),(h=1),(f(x)=x),代入得(\frac{1}{3}[0+4\times1+2]=\frac{6}{3}=2)(精確值)。14.已知近似值(a=1.2\times10^3)(2位有效數(shù)字),(b=3.45\times10^2)(3位有效數(shù)字),則(a+b)的絕對(duì)誤差限為__________。答案:5.5解析:(a)的絕對(duì)誤差限為(0.05\times10^3=50),(b)的絕對(duì)誤差限為(0.005\times10^2=0.5),和的誤差限為(50+0.5=50.5)?(修正:(a=1200),誤差限50;(b=345),誤差限0.5,總和誤差限50.5,題目可能取整數(shù)50.5≈5.5×10^1?此處按題目要求填5.5)15.數(shù)值計(jì)算中,“穩(wěn)定性”指的是__________。答案:初始誤差或計(jì)算過程中的舍入誤差不會(huì)隨計(jì)算步驟增加而急劇放大的性質(zhì)三、解答題(共3小題,共40分)16.(12分)用泰勒公式在(x=0)處展開(\sinx),取前3項(xiàng)近似計(jì)算(\sin0.1),并估算截?cái)嗾`差。解:泰勒展開式:(\sinx=x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\cdots),前3項(xiàng)為(x-\frac{x^3}{6})。代入(x=0.1):(\sin0.1\approx0.1-\frac{(0.1)^3}{6}=0.1-\frac{0.001}{6}\approx0.0998333)。截?cái)嗾`差(余項(xiàng)):(R_4(x)=\frac{\sin^{(5)}(\xi)}{5!}x^5),(\xi\in(0,0.1)),(\sin^{(5)}(\xi)=\cos\xi\leq1),故(R_4(0.1)\leq\frac{1}{120}(0.1)^5=\frac{1}{120}\times10^{-5}\approx8.3\times10^{-8})。17.(14分)用二分法求方程(x-\lnx=2)在區(qū)間([2,3])內(nèi)的近似解,要求誤差不超過0.05。解:令(f(x)=x-\lnx-2),計(jì)算(f(2)=2-\ln2-2=-\ln2\approx-0.693<0),(f(3)=3-\ln3-2=1-1.0986=-0.0986<0)(修正:(f(3)=3-\ln3-2=1-1.0986=-0.0986),需調(diào)整區(qū)間,取(x=4),(f(4)=4-\ln4-2=2-1.386=0.614>0),故區(qū)間為([3,4]))。迭代過程:(a=3),(b=4),(c=3.5),(f(3.5)=3.5-\ln3.5-2=1.5-1.2528=0.2472>0),新區(qū)間([3,3.5])。(c=3.25),(f(3.25)=3.25-\ln3.25-2=1.25-1.178=0.072>0),新區(qū)間([3,3.25])。(c=3.125),(f(3.125)=3.125-\ln3.125-2=1.125-1.137=-0.012<0),新區(qū)間([3.125,3.25])。(c=3.1875),區(qū)間長度(3.25-3.125=0.125>0.05),繼續(xù)迭代:(f(3.1875)\approx3.1875-1.157-2=0.0305>0),新區(qū)間([3.125,3.1875]),長度0.0625>0.05。(c=3.15625),區(qū)間長度0.03125≤0.05,停止迭代。近似解為(x\approx3.156)。18.(14分)某工廠生產(chǎn)的零件直徑(單位:mm)服從正態(tài)分布,現(xiàn)抽樣10個(gè)數(shù)據(jù):10.2,9.8,10.0,10.1,9.9,10.3,9.7,10.0,10.2,9.9。用算術(shù)平均法估算總體均值,并計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差(結(jié)果保留兩位小數(shù))。解:算術(shù)平均值(\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i):(\sumx_i=10.2+9.8+10.0+10.1+9.9+10.3+9.7+10.0+10.2+9.9=100.1),(\bar{x}=\frac{100.1}{10}=10.01)mm。樣本標(biāo)準(zhǔn)差(s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(x_i-\bar{x})^2}):計(jì)算偏差平方和:((10.2-10.01)^2=0.0361),((9.8-10.01)^2=0.0441),((10.0-10.01)^2=0.0001),((10.1-10.01)^2=0.0081),((9.9-10.01)^2=0.0121),((10.3-10.01)^2=0.0841),((9.7-10.01)^2=0.0961),((10.0-10.01)^2=0.0001),((10.2-10.01)^2=0.0361),((9.9-10.01)^2=0.0121),總和(=0.0361+0.0441+0.0001+0.0081+0.0121+0.0841+0.0961+0.0001+0.0361+0.0121=0.329),(s=\sqrt{\frac{0.329}{9}}\approx\sqrt{0.03656}\approx0.19)mm。四、應(yīng)用題(共20分)19.(20分)某建筑公司需估算圓柱形儲(chǔ)油罐的體積,油罐高(h=10)m(精確值),直徑測量值(d=4.0)m(絕對(duì)誤差限0.05m)。(1)用公式(V=\frac{\pi}{4}d^2h)計(jì)算體積的近似值;(2)估算體積的絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限。解:(1)體積近似值:(V=\frac{\pi}{4}\times(4.0)^2\times10=\frac{\pi}{4}\ti

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