2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)分層教學(xué)測試A卷試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|2^x>4})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,+\infty))C.((1,+\infty))D.((1,2])復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則實(shí)數(shù)(m=)（）A.(-4)或(1)B.(-1)或(4)C.(-2)或(2)D.(-3)或(3)函數(shù)(f(x)=\frac{\ln|x|}{x^2-1})的大致圖象為（）（選項(xiàng)圖略，此處需根據(jù)函數(shù)奇偶性、定義域及單調(diào)性分析：定義域?yàn)?x\neq\pm1)且(x\neq0)，奇函數(shù)，當(dāng)(x>1)時(f(x)>0)，排除法選A）已知(\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{1}{3})，則(\cos\left(2\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=)（）A.(-\frac{7}{9})B.(\frac{7}{9})C.(-\frac{2}{9})D.(\frac{2}{9})某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積為（）（三視圖描述：正視圖和側(cè)視圖為直角三角形，俯視圖為矩形，可判斷為三棱錐，底面矩形長4寬3，高2，體積(V=\frac{1}{3}\times4\times3\times2=8,\text{cm}^3)，選B）執(zhí)行如圖所示的程序框圖（圖略），若輸入(n=5)，則輸出的(S=)（）（程序邏輯：初始(S=0)，(i=1)，循環(huán)(S=S+\frac{1}{i(i+2)})，(i=i+2)，直到(i>n)。當(dāng)(n=5)時，(i=1,3,5)，(S=\frac{1}{1\times3}+\frac{1}{3\times5}+\frac{1}{5\times7}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{7})，選C）已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(S_3=7)，(S_6=63)，則(a_7+a_8+a_9=)（）A.(512)B.(384)C.(256)D.(128)已知(F_1,F_2)是雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0))的左、右焦點(diǎn)，過(F_1)的直線與(C)的左支交于(A,B)兩點(diǎn)，若(|AF_2|=|AB|)，且(\angleF_1AF_2=120^\circ)，則(C)的離心率為（）A.(\sqrt{3})B.(\sqrt{5})C.(\sqrt{7})D.(3)若(x,y)滿足約束條件(\begin{cases}x-y+1\geq0,\x+y-3\leq0,\y\geq0,\end{cases})則(z=x^2+y^2)的最小值為（）A.(\frac{1}{2})B.(1)C.(\frac{\sqrt{2}}{2})D.(2)已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi)(\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2}))的最小正周期為(\pi)，且其圖象向右平移(\frac{\pi}{6})個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則(f(x)=)（）A.(\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right))B.(\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))C.(\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right))D.(\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right))已知定義在(\mathbf{R})上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x)=f(2-x))，且當(dāng)(x\geq1)時，(f(x)=xe^x-e)，則不等式(f(x)>0)的解集為（）A.((-\infty,0)\cup(1,+\infty))B.((0,1)\cup(1,+\infty))C.((0,+\infty))D.((-\infty,0)\cup(0,+\infty))二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）二項(xiàng)式(\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為________（用數(shù)字作答）。已知(\triangleABC)的內(nèi)角(A,B,C)的對邊分別為(a,b,c)，若(a=3)，(b=4)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的面積為________。甲、乙、丙、丁4名學(xué)生參加學(xué)校組織的數(shù)學(xué)競賽，競賽共設(shè)一等獎、二等獎、三等獎三個獎項(xiàng)，每個獎項(xiàng)至少有一人獲得，且每人最多獲得一個獎項(xiàng)，則不同的獲獎情況有________種（用數(shù)字作答）。已知數(shù)列({a_n})滿足(a_1=1)，(a_{n+1}=\begin{cases}2a_n,&n\text{為奇數(shù)},\a_n+1,&n\text{為偶數(shù)},\end{cases})則(a_5=)，前20項(xiàng)和(S_{20}=)（第一空2分，第二空3分）。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(a_2=5)，(S_5=35)。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。解：（1）設(shè)公差為(d)，由(a_2=a_1+d=5)，(S_5=5a_1+10d=35)，解得(a_1=3)，(d=2)，故(a_n=2n+1)。（5分）（2）(b_n=\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right))，(T_n=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\right)\right]=\frac{n}{3(2n+3)})。（10分）（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)”的達(dá)成情況，從高二年級隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行測試，將測試結(jié)果分為“優(yōu)秀”“良好”“合格”“不合格”四個等級，整理得到如下列聯(lián)表：等級男生女生合計優(yōu)秀10818良好201535合格151227不合格51520合計5050100（1）根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級”與“性別”有關(guān)？（2）從等級為“優(yōu)秀”的學(xué)生中按性別分層抽樣抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取3人，求至少有1名女生的概率。參考公式：(K^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)})，其中(n=a+b+c+d)。參考數(shù)據(jù)：(P(K^2\geqk_0))0.100.050.01(k_0)2.7063.8416.635解：（1）由表中數(shù)據(jù)計算(K^2=\frac{100\times(10\times15-8\times5)^2}{18\times82\times50\times50}\approx2.23<3.841)，故沒有95%的把握認(rèn)為“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等級”與“性別”有關(guān)。（6分）（2）分層抽樣抽取男生5人，女生4人。設(shè)事件(A)為“至少有1名女生”，則(P(A)=1-\frac{\text{C}_5^3}{\text{C}_9^3}=1-\frac{10}{84}=\frac{37}{42})。（12分）（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，側(cè)棱(AA_1\perp)底面(ABC)，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D,E)分別是棱(BC,CC_1)的中點(diǎn)。（1）證明：(DE\parallel)平面(ABB_1A_1)；（2）求二面角(A-A_1D-B)的余弦值。（圖略，需建立空間直角坐標(biāo)系）（1）證明：以(A)為原點(diǎn)，(AB,AC,AA_1)為(x,y,z)軸建系，(D(1,1,0))，(E(0,2,1))，(\overrightarrow{DE}=(-1,1,1))。平面(ABB_1A_1)的法向量(\vec{n}=(0,1,0))，(\overrightarrow{DE}\cdot\vec{n}=1\neq0)（此處需修正：取(A_1(0,0,2))，(B(2,0,0))，(\overrightarrow{AB}=(2,0,0))，(\overrightarrow{AA_1}=(0,0,2))，設(shè)平面法向量(\vec{m}=(0,1,0))，(\overrightarrow{DE}\cdot\vec{m}=1\neq0)，改為證明(DE)平行于平面內(nèi)直線(A_1B)：(\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2))，(\overrightarrow{DE}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{A_1B})，故(DE\parallelA_1B)，得證。（6分）（2）(\overrightarrow{A_1D}=(1,1,-2))，(\overrightarrow{BD}=(-1,1,0))，設(shè)平面(A_1DB)的法向量(\vec{n}=(x,y,z))，由(\vec{n}\cdot\overrightarrow{A_1D}=x+y-2z=0)，(\vec{n}\cdot\overrightarrow{BD}=-x+y=0)，取(x=1)，得(\vec{n}=(1,1,1))。平面(AA_1D)的法向量(\vec{m}=(1,-1,0))，故(\cos\theta=\frac{|\vec{m}\cdot\vec{n}|}{|\vec{m}||\vec{n}|}=\frac{0}{\sqrt{2}\times\sqrt{3}}=0)，即二面角的余弦值為(0)。（12分）（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)((2,1))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)(P(0,2))的直線(l)與橢圓(E)交于(A,B)兩點(diǎn)，若以(AB)為直徑的圓過原點(diǎn)(O)，求直線(l)的方程。解：（1）由(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2})，(a^2=b^2+c^2)，得(a^2=4b^2)。將((2,1))代入橢圓方程得(\frac{4}{4b^2}+\frac{1}{b^2}=1)，解得(b^2=2)，(a^2=8)，故橢圓方程為(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1)。（4分）（2）設(shè)直線(l:y=kx+2)，聯(lián)立橢圓方程得((1+4k^2)x^2+16kx+8=0)，設(shè)(A(x_1,y_1),B(x_2,y_2))，則(x_1+x_2=-\frac{16k}{1+4k^2})，(x_1x_2=\frac{8}{1+4k^2})。由(OA\perpOB)得(x_1x_2+y_1y_2=0)，即(x_1x_2+(kx_1+2)(kx_2+2)=0)，整理得((1+k^2)x_1x_2+2k(x_1+x_2)+4=0)，代入解得(k^2=\frac{3}{2})，(k=\pm\frac{\sqrt{6}}{2})，故直線(l)的方程為(y=\pm\frac{\sqrt{6}}{2}x+2)。（12分）（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x(a\in\mathbf{R}))。（1）當(dāng)(a=1)時，求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)(a)的取值范圍。解：（1）當(dāng)(a=1)時，(f(x)=x\lnx-x^2+x)，(f'(x)=\lnx+1-2x+1=\lnx-2x+2)。令(g(x)=\lnx-2x+2)，則(g'(x)=\frac{1}{x}-2)，當(dāng)(x\in(0,\frac{1}{2}))時(g'(x)>0)，(x\in(\frac{1}{2},+\infty))時(g'(x)<0)，(g(x){\max}=g(\frac{1}{2})=1-\ln2>0)，又(g(1)=0)，(g(e^{-2})=-2-2e^{-2}+2<0)，故存在(x_0\in(0,\frac{1}{2}))使(g(x_0)=0)，因此(f(x))在((0,x_0))遞減，((x_0,1))遞增，((1,+\infty))遞減。（6分）（2）(f'(x)=\lnx-2ax+2a\leq0)在((1,+\infty))恒成立，即(2a\geq\frac{\lnx}{x-1})。令(h(x)=\frac{\lnx}{x-1}(x>1))，則(h'(x)=\frac{\frac{x-1}{x}-\lnx}{(x-1)^2})，令(t(x)=1-\frac{1}{x}-\lnx)，(t'(x)=\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}<0)，故(t(x)<t(1)=0)，(h'(x)<0)，(h(x))在((1,+\infty))遞減，(h(x)<h(1)=\lim\limits{x\to1}\frac{\lnx}{x-1}=1)，因此(2a\geq1)，即(a\geq\frac{1}{2})。（12分）（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha,\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)）