2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)進(jìn)步評(píng)估試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|log?(x-1)≥1}，則A∩B=（）A.[1,2]B.[2,3]C.[1,3]D.[2,+∞)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i（i為虛數(shù)單位），則|z|=（）A.1B.√2C.2D.4已知向量a=(1,2)，b=(m,-1)，若a⊥(a+b)，則實(shí)數(shù)m=（）A.-5B.-3C.3D.5函數(shù)f(x)=sinx+cosx的最小正周期和最大值分別是（）A.π，1B.π，√2C.2π，1D.2π，√2某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.20πcm3已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，若a?=1，S?=13，則公比q=（）A.3B.-4C.3或-4D.-3或4執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的x=2，則輸出的y=（）A.4B.6C.8D.10已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2-(2a+1)x（a>0），則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.(0,1)B.(1,+∞)C.(0,1/a)D.(1/a,+∞)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，c=√7，則角C=（）A.30°B.45°C.60°D.90°已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在拋物線上，若|PF|=3，則點(diǎn)P到直線l的距離是（）A.1B.2C.3D.4已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-1處取得極大值，在x=3處取得極小值，則a+b+c=（）A.-1B.0C.1D.2已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則不等式f(x-1)>0的解集是（）A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-1,3)D.(-∞,-1)∪(1,3)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）已知tanα=2，則sin2α=______。若x，y滿足約束條件{x+y≤3，x-y≥-1，y≥1}，則z=2x+y的最大值是______。已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=2√3，則k=______。已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|，若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=5，S?=35。（1）求數(shù)列{a?}的通項(xiàng)公式；（2）若b?=2??1+a?，求數(shù)列{b?}的前n項(xiàng)和T?。（本小題滿分12分）某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布表：成績(jī)分組[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]頻率0.050.150.300.350.15（1）求這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和方差（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）若從成績(jī)?cè)赱50,60)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)都在[90,100]的概率。（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A?B?C?中，AA?⊥平面ABC，AB=AC=AA?=2，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面BCC?B?；（2）求二面角A?-BD-C?的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1（a>b>0）的離心率為√3/2，且過(guò)點(diǎn)(2,1)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求△AOB面積的最大值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=e?-ax-1（a∈R）。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意x≥0，都有f(x)≥0成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）求證：對(duì)任意n∈N*，都有(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2?)<e。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C?的參數(shù)方程為{x=2+2cosα，y=2sinα}（α為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C?的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ。（1）求曲線C?的普通方程和曲線C?的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P是曲線C?上任意一點(diǎn)，Q是曲線C?上任意一點(diǎn)，求|PQ|的最小值。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做題，考生可從中任選一題作答，若兩題都做，則按第一題計(jì)分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為{x=1+tcosα，y=tsinα}（t為參數(shù)，α為直線l的傾斜角），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ。（1）求曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=√3，求直線l的普通方程。選修4-5：不等式選講已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題B2.B3.A4.D5.B6.C7.C8.D9.C10.C11.A12.B二、填空題4/514.515.0或√3/316.[-1,3]三、解答題解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a?}的公差為d，由題意得{a?+d=5，5a?+10d=35}，解得{a?=3，d=2}，所以a?=3+2(n-1)=2n+1。（2）由（1）得b?=2??1+2n+1，所以T?=(1+2+4+...+2??1)+(3+5+7+...+2n+1)=(2?-1)+n(n+2)=2?+n2+2n-1。解：（1）這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為：55×0.05+65×0.15+75×0.30+85×0.35+95×0.15=78.5方差為：(55-78.5)2×0.05+(65-78.5)2×0.15+(75-78.5)2×0.30+(85-78.5)2×0.35+(95-78.5)2×0.15=112.25（2）成績(jī)?cè)赱50,60)的學(xué)生有5人，記為A,B,C,D,E；成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生有15人，記為F?,F?,...,F??。從這20名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，共有C??2=190種不同的取法；這2人成績(jī)都在[90,100]的取法有C??2=105種，所以所求概率P=105/190=21/38。（1）證明：因?yàn)锳A?⊥平面ABC，AD?平面ABC，所以AA?⊥AD。因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC。又因?yàn)锽C∩AA?=A，所以AD⊥平面BCC?B?。（2）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AC，AA?所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A?(0,0,2)，B?(2,0,2)，C?(0,2,2)，D(1,1,0)。設(shè)平面A?BD的法向量為n=(x,y,z)，因?yàn)锳?D=(1,1,-2)，BD=(-1,1,0)，所以{n·A?D=0，n·BD=0}，即{x+y-2z=0，-x+y=0}，令x=1，則y=1，z=1，所以n=(1,1,1)。同理可得平面C?BD的法向量為m=(1,1,-1)。所以cos<n,m>=n·m/|n||m|=(1+1-1)/(√3×√3)=1/3，所以二面角A?-BD-C?的余弦值為1/3。解：（1）由題意得{c/a=√3/2，4/a2+1/b2=1，a2=b2+c2}，解得{a2=8，b2=2}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/8+y2/2=1。（2）設(shè)A(x?,y?)，B(x?,y?)，聯(lián)立{x2/8+y2/2=1，y=kx+m}，消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=32(2+8k2-m2)>0，x?+x?=-8km/(1+4k2)，x?x?=(4m2-8)/(1+4k2)。因?yàn)镺A⊥OB，所以x?x?+y?y?=0，即x?x?+(kx?+m)(kx?+m)=0，整理得(1+k2)x?x?+km(x?+x?)+m2=0，所以(1+k2)(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得4m2=8(1+k2)/5，即m2=2(1+k2)/5。因?yàn)閨AB|=√(1+k2)|x?-x?|=√(1+k2)√[(x?+x?)2-4x?x?]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[32(2+8k2-m2)]/(1+4k2)，點(diǎn)O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)，所以S△AOB=1/2|AB|d=1/2√(1+k2)√[32(2+8k2-m2)]/(1+4k2)×|m|/√(1+k2)=√[8m2(2+8k2-m2)]/(1+4k2)，將m2=2(1+k2)/5代入上式得S△AOB=√[8×2(1+k2)/5×(2+8k2-2(1+k2)/5)]/(1+4k2)=√[16(1+k2)(8+38k2)/25]/(1+4k2)，令t=1+4k2(t≥1)，則k2=(t-1)/4，所以S△AOB=√[16(1+(t-1)/4)(8+38×(t-1)/4)/25]/t=√[16(t+3)(38t-14)/16/25]/t=√[(t+3)(38t-14)/25]/t=√[38t2+100t-42]/(5t)，令f(t)=38t2+100t-42)/t2=38+100/t-42/t2，令u=1/t(0<u≤1)，則f(u)=-42u2+100u+38，當(dāng)u=25/21時(shí)，f(u)取得最大值，但u=25/21>1，所以當(dāng)u=1時(shí)，f(u)取得最大值，即f(t)max=f(1)=38+100-42=96，所以S△AOBmax=√96/5=4√6/5，所以△AOB面積的最大值為4√6/5。解：（1）f'(x)=e?-a，當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=lna，當(dāng)x<lna時(shí)，f'(x)<0，f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>lna時(shí)，f'(x)>0，f(x)單調(diào)遞增。（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)≥f(0)=0，符合題意；當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在[0,lna)上單調(diào)遞減，在(lna,+∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)min=f(lna)=a-alna-1，令g(a)=a-alna-1(a>0)，則g'(a)=1-(lna+1)=-lna，當(dāng)0<a<1時(shí)，g'(a)>0，g(a)單調(diào)遞增；當(dāng)a>1時(shí)，g'(a)<0，g(a)單調(diào)遞減，所以g(a)max=g(1)=0，所以當(dāng)a=1時(shí)，f(x)min=0，符合題意；當(dāng)a>1時(shí)，g(a)<0，即f(x)min<0，不符合題意。綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,1]。（3）證明：由（2）知，當(dāng)a=1時(shí)，對(duì)任意x≥0，都有e?-x-1≥0，即e?≥x+1，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)等號(hào)成立。令x=1/2?(n∈N*)，則e^(1/2?)>1+1/2?，所以(1+1/2)(1+1/22)...(1+1/2?)<e^(1/2)e^(1/22)...e^(1/2?)=e^(1/2+1/22+...+1/2?)=e^(1-1/2?)<e，所以原不等式成立。解：（1）曲線C?的參數(shù)方程為{x=2+2cosα，y=2sinα}（α為參數(shù)），消去參數(shù)α得(x-2)2+y2=4，所以曲線C?的普通方程為(x-2)2+y2=4。曲線C?的極坐標(biāo)方程為ρ=4sinθ，兩邊同乘ρ得ρ2=4ρsinθ，因?yàn)棣?=x2+y2，ρsinθ=y，所以曲線C?的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-4y=0，即x2+(y-2)2=4。（2）曲線C?的圓心為C?(2,0)，半徑r?=2；曲線C?的圓心為C?(0,2)，半徑r?=2。所以|C?C?|=√[(2-0)2+(0-2)2]=2√2，所以|PQ|的最小值為|C?C?|-r?-r?=2√2-2-2=2√2-4。附加題解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ，兩邊同乘ρ得ρ2=2ρcosθ，因?yàn)棣?=x2+y2，ρcosθ=x，所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2+y2-2x=0，即(x-1)2+y2=1。（2）將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程得(1+tcosα-1)2+(tsinα)2=1，整理得t2=1，解得t=±1，所以|AB|=|t?-t?|=2，因?yàn)閨AB|=√3，所以2=√3，矛盾，所以直線l的普通方程不存在。解：（1）f(x)=|x-1|+|x+2|={-2x-1，x≤-2，3，-2<x<1，2x+1，x≥1。當(dāng)x≤-2時(shí)，由-2x-1≥5得x≤-3；當(dāng)-2<x<1時(shí)，3≥5不成立；當(dāng)x≥1時(shí)，由2x+1≥5得x≥2，所以不等式f(x)≥5的解集為(-∞,-3]∪[2,+∞)。（2）由（1）知f(x)的最小值為3，所以關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，即3≥a2-2a，解得-1≤a≤3，所以實(shí)數(shù)a的