2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)姜伯駒試卷一、選擇題（每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|log?(x-1)=0}，則A∩B=（）A.{1}B.{2}C.{1,2}D.?復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m=（）A.-2B.-1C.1D.2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）A.π/2B.πC.2πD.4π已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a3=5，S5=25，則a5=（）A.7B.9C.11D.13雙曲線x2/4-y2/5=1的離心率是（）A.3/2B.√5/2C.3√5/5D.2已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則f(x)的極大值點為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.8πcm3B.12πcm3C.16πcm3D.20πcm3已知函數(shù)f(x)=lnx+ax2，若f'(1)=3，則a=（）A.1B.2C.3D.4在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a=2，b=3，C=60°，則c=（）A.√7B.√13C.4D.5已知直線l：y=kx+1與圓C：x2+y2-2x-3=0相交于A，B兩點，若|AB|=2√3，則k=（）A.±√3B.±√2C.±1D.0已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則f(x)的最小值是（）A.1B.2C.3D.4二、填空題（每小題5分，共20分）函數(shù)f(x)=√(x-1)+1/(x-2)的定義域是________。已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a1=1，q=2，S3=________。曲線y=x2-2x+3在點(1,2)處的切線方程是________。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖像經(jīng)過點(0,1)，且最小正周期為π，則f(π/6)=________。三、解答題（共70分）17.（10分）已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx-1。（1）求f(x)的最小正周期；（2）求f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值和最小值。18.（12分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*)。（1）證明：數(shù)列{an+1}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的前n項和Sn。19.（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2。（1）求證：平面PBC⊥平面PAB；（2）求二面角P-AC-B的余弦值。20.（12分）已知橢圓C：x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√3/2，且過點(2,1)。（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)直線l：y=kx+m與橢圓C交于A，B兩點，O為坐標原點，若kOA·kOB=-1/4，求△AOB面積的最大值。21.（12分）已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+b(a,b∈R)。（1）若函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。22.（12分）為了研究某地區(qū)的空氣質(zhì)量情況，某研究小組隨機抽取了該地區(qū)2019年至2023年每年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)，得到如下數(shù)據(jù)：年份20192020202120222023優(yōu)良天數(shù)240255260275285（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于t的線性回歸方程（其中t=1對應(yīng)2019年，t=2對應(yīng)2020年，以此類推）；（2）利用（1）中的回歸方程，預(yù)測該地區(qū)2025年的空氣質(zhì)量優(yōu)良天數(shù)。附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：b?=∑(ti-t?)(yi-?)/∑(ti-t?)2，a=?-b?t?參考答案及解析一、選擇題B解析：解方程x2-3x+2=0得x=1或x=2，所以A={1,2}；由log?(x-1)=0得x-1=1，即x=2，所以B={2}，因此A∩B={2}。B解析：由(1+i)z=2i得z=2i/(1+i)=2i(1-i)/[(1+i)(1-i)]=2(i+1)/2=1+i，所以|z|=√(12+12)=√2。A解析：因為a⊥b，所以a·b=1×m+2×1=m+2=0，解得m=-2。B解析：f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期T=2π/2=π。B解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a3=5得a1+2d=5，由S5=25得5a1+10d=25，即a1+2d=5，聯(lián)立解得a1=1，d=2，所以a5=a1+4d=1+8=9。A解析：雙曲線x2/4-y2/5=1中，a2=4，b2=5，所以c2=a2+b2=9，即c=3，離心率e=c/a=3/2。B解析：f'(x)=3x2-6x+2，令f'(x)=0得x=1±√3/3，當(dāng)x<1-√3/3或x>1+√3/3時，f'(x)>0，當(dāng)1-√3/3<x<1+√3/3時，f'(x)<0，所以函數(shù)f(x)在x=1-√3/3處取得極大值，在x=1+√3/3處取得極小值，選項中只有x=1在極值點附近，經(jīng)計算f(1)=1-3+2=0，f(0)=0，f(2)=8-12+4=0，所以極大值點為x=1。C解析：由三視圖可知該幾何體為一個圓柱和一個圓錐的組合體，圓柱的底面半徑為2cm，高為4cm，圓錐的底面半徑為2cm，高為2cm，所以體積V=π×22×4+1/3×π×22×2=16π+8π/3=56π/3≈18.67π，最接近的選項為C。A解析：f'(x)=1/x+2ax，由f'(1)=3得1/1+2a×1=3，解得a=1。A解析：由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=4+9-2×2×3×1/2=13-6=7，所以c=√7。C解析：圓C的方程可化為(x-1)2+y2=4，圓心為(1,0)，半徑r=2，圓心到直線l的距離d=|k+1|/√(k2+1)，由|AB|=2√(r2-d2)=2√3得r2-d2=3，即4-(k+1)2/(k2+1)=3，解得k=±1。C解析：f(x)=|x-1|+|x+2|≥|(x-1)-(x+2)|=3，當(dāng)且僅當(dāng)-2≤x≤1時等號成立，所以f(x)的最小值是3。二、填空題[1,2)∪(2,+∞)解析：要使函數(shù)有意義，需滿足x-1≥0且x-2≠0，即x≥1且x≠2。7解析：S3=a1+a2+a3=1+2+4=7。y=1解析：y'=2x-2，在點(1,2)處的切線斜率k=2×1-2=0，所以切線方程為y-2=0×(x-1)，即y=2，原答案有誤，正確切線方程應(yīng)為y=2。√3解析：由最小正周期為π得ω=2，又圖像經(jīng)過點(0,1)，所以2sinφ=1，即sinφ=1/2，因為0<φ<π，所以φ=π/6或5π/6，當(dāng)φ=π/6時，f(x)=2sin(2x+π/6)，f(π/6)=2sin(2×π/6+π/6)=2sin(π/2)=2；當(dāng)φ=5π/6時，f(x)=2sin(2x+5π/6)，f(π/6)=2sin(2×π/6+5π/6)=2sin(7π/6)=-1，因為題目中未給出圖像的其他信息，無法確定φ的值，原答案有誤，正確答案應(yīng)為2或-1。三、解答題解：（1）f(x)=2cos2x+2√3sinxcosx-1=cos2x+√3sin2x=2sin(2x+π/6)，所以最小正周期T=2π/2=π。（2）因為x∈[0,π/2]，所以2x+π/6∈[π/6,7π/6]，當(dāng)2x+π/6=π/2，即x=π/6時，f(x)取得最大值2；當(dāng)2x+π/6=7π/6，即x=π/2時，f(x)取得最小值-1。（1）證明：因為an+1=2an+1，所以an+1+1=2(an+1)，又a1+1=2≠0，所以數(shù)列{an+1}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列。（2）解：由（1）得an+1=2×2^(n-1)=2^n，所以an=2^n-1，因此Sn=∑(2^k-1)=∑2^k-∑1=2(2^n-1)/(2-1)-n=2^(n+1)-n-2。（1）證明：因為PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以PA⊥BC，又AB⊥BC，PA∩AB=A，所以BC⊥平面PAB，因為BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB。（2）解：以A為原點，AB，AC，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，P(0,0,2)，向量AC=(2,2,0)，AP=(0,0,2)，設(shè)平面PAC的法向量n=(x,y,z)，則n·AC=2x+2y=0，n·AP=2z=0，取x=1，得n=(1,-1,0)，平面ABC的法向量m=(0,0,1)，所以cos<n,m>=n·m/(|n||m|)=0/(√2×1)=0，即二面角P-AC-B的余弦值為0。（1）解：由離心率e=c/a=√3/2得c=√3/2a，又a2=b2+c2，所以a2=b2+3/4a2，即a2=4b2，橢圓方程為x2/(4b2)+y2/b2=1，將點(2,1)代入得4/(4b2)+1/b2=1，即2/b2=1，解得b2=2，所以a2=8，橢圓C的方程為x2/8+y2/2=1。（2）解：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，聯(lián)立直線與橢圓方程得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-8=0，判別式Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-8)=16(8k2-m2+2)>0，x1+x2=-8km/(1+4k2)，x1x2=(4m2-8)/(1+4k2)，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2(4m2-8)/(1+4k2)-8k2m2/(1+4k2)+m2=(m2-8k2)/(1+4k2)，因為kOA·kOB=y1y2/(x1x2)=-1/4，所以4y1y2+x1x2=0，即4(m2-8k2)/(1+4k2)+(4m2-8)/(1+4k2)=0，化簡得8m2-32k2-8=0，即m2=4k2+1，所以|AB|=√(1+k2)|x1-x2|=√(1+k2)√[(x1+x2)2-4x1x2]=√(1+k2)√[64k2m2/(1+4k2)2-4(4m2-8)/(1+4k2)]=√(1+k2)√[16(8k2-m2+2)]/(1+4k2)=√(1+k2)√[16(8k2-4k2-1+2)]/(1+4k2)=√(1+k2)√[16(4k2+1)]/(1+4k2)=4√(1+k2)√(4k2+1)/(1+4k2)，原點O到直線l的距離d=|m|/√(1+k2)=√(4k2+1)/√(1+k2)，所以△AOB的面積S=1/2|AB|d=1/2×4√(1+k2)√(4k2+1)/(1+4k2)×√(4k2+1)/√(1+k2)=2(4k2+1)/(1+4k2)=2，即△AOB面積的最大值為2。（1）解：f'(x)=3x2-6x+a，因為函數(shù)f(x)在x=1處取得極值，所以f'(1)=3-6+a=0，解得a=3。（2）解：因為函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上單調(diào)遞增，所以f'(x)=3x2-6x+a≥0在[-1,2]上恒成立，即a≥-3x2+6x在[-1,2]上恒成立，令g(x)=-3x2+6x=-3(x-1)2+3，當(dāng)x=1時，g(x)取得最大值3，所以a≥3。（1）解：由表中數(shù)據(jù)得t?=3，?=263，∑(ti-t?)