2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)建模初步試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（每題3分，共30分）數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，首要步驟是（）A.建立模型B.問(wèn)題分析C.數(shù)據(jù)收集D.模型求解下列模型中，屬于優(yōu)化模型的是（）A.傳染病SIR模型B.線性規(guī)劃模型C.馬爾可夫鏈模型D.時(shí)間序列ARIMA模型在數(shù)據(jù)預(yù)處理中，用于消除量綱影響的方法是（）A.主成分分析B.Z-score標(biāo)準(zhǔn)化C.層次分析法D.聚類分析回歸分析中，決定系數(shù)(R^2)的值越接近1，表示（）A.模型擬合效果越好B.自變量與因變量無(wú)關(guān)C.殘差越大D.數(shù)據(jù)波動(dòng)性越強(qiáng)蒙特卡洛方法的核心思想是（）A.通過(guò)迭代求解線性方程組B.利用隨機(jī)抽樣模擬概率過(guò)程C.對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行降維處理D.構(gòu)建決策樹(shù)進(jìn)行分類以下屬于微分方程模型應(yīng)用場(chǎng)景的是（）A.股票價(jià)格預(yù)測(cè)B.人口增長(zhǎng)趨勢(shì)分析C.學(xué)生成績(jī)排名D.購(gòu)物推薦系統(tǒng)層次分析法（AHP）中，判斷矩陣的一致性指標(biāo)（CI）用于檢驗(yàn)（）A.數(shù)據(jù)是否正態(tài)分布B.決策者判斷的邏輯性C.模型的穩(wěn)定性D.變量間的相關(guān)性若某問(wèn)題的變量取值只能為整數(shù)，則該優(yōu)化問(wèn)題屬于（）A.線性規(guī)劃B.整數(shù)規(guī)劃C.非線性規(guī)劃D.動(dòng)態(tài)規(guī)劃時(shí)間序列分析中，季節(jié)性分解法適用于（）A.平穩(wěn)無(wú)趨勢(shì)數(shù)據(jù)B.具有周期性波動(dòng)的數(shù)據(jù)C.隨機(jī)噪聲數(shù)據(jù)D.非線性增長(zhǎng)數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)建模論文的核心部分是（）A.摘要B.模型假設(shè)與建立C.參考文獻(xiàn)D.附錄二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分，多選、錯(cuò)選不得分，少選得2分）數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括（）A.問(wèn)題抽象與假設(shè)B.模型構(gòu)建與求解C.結(jié)果分析與檢驗(yàn)D.論文撰寫與答辯下列屬于智能優(yōu)化算法的有（）A.遺傳算法B.模擬退火算法C.單純形法D.粒子群優(yōu)化算法數(shù)據(jù)可視化工具中，適合展示時(shí)間序列趨勢(shì)的有（）A.折線圖B.柱狀圖C.熱力圖D.散點(diǎn)圖以下關(guān)于數(shù)學(xué)模型檢驗(yàn)的說(shuō)法正確的有（）A.可通過(guò)實(shí)際數(shù)據(jù)驗(yàn)證模型準(zhǔn)確性B.需檢驗(yàn)假設(shè)條件是否合理C.靈敏度分析用于評(píng)估參數(shù)變化對(duì)結(jié)果的影響D.模型一旦建立無(wú)需再優(yōu)化高中數(shù)學(xué)建模常用的軟件工具有（）A.Python（NumPy、Pandas庫(kù)）B.MATLABC.ExcelD.幾何畫板三、填空題（每空2分，共20分）數(shù)學(xué)模型按變量性質(zhì)可分為_(kāi)_______模型和________模型。線性規(guī)劃問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)和約束條件均為_(kāi)_______函數(shù)?；疑A(yù)測(cè)模型GM(1,1)適用于________（填“有趨勢(shì)”或“無(wú)趨勢(shì)”）的時(shí)間序列數(shù)據(jù)。圖論中，Dijkstra算法用于求解________問(wèn)題。在概率統(tǒng)計(jì)模型中，________分布常用于描述“在一定時(shí)間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)”。建模過(guò)程中，若實(shí)際問(wèn)題過(guò)于復(fù)雜，可通過(guò)________簡(jiǎn)化模型（填“合理假設(shè)”或“增加變量”）。數(shù)據(jù)擬合中，最小二乘法的目標(biāo)是使________平方和最小。層次分析法中，判斷矩陣的最大特征根對(duì)應(yīng)的特征向量為各因素的________。四、簡(jiǎn)答題（每題10分，共30分）簡(jiǎn)述數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)應(yīng)用題的區(qū)別，并舉例說(shuō)明。某學(xué)校計(jì)劃評(píng)選“校園十佳學(xué)生”，需從學(xué)業(yè)成績(jī)、社會(huì)實(shí)踐、文體活動(dòng)三個(gè)維度進(jìn)行評(píng)價(jià)。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種綜合評(píng)價(jià)模型，說(shuō)明建模步驟及方法。簡(jiǎn)述微分方程模型的建立流程，并寫出人口增長(zhǎng)Logistic模型的微分方程表達(dá)式。五、建模應(yīng)用題（共40分）背景：某社區(qū)便利店計(jì)劃優(yōu)化進(jìn)貨策略，需根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)一周的商品需求量。已知該店近6周的某品牌方便面銷量（單位：箱）如下表所示：周次123456銷量283532403845任務(wù)：繪制銷量折線圖，分析數(shù)據(jù)趨勢(shì)（8分）；選擇合適的預(yù)測(cè)模型（如移動(dòng)平均法、指數(shù)平滑法或線性回歸），建立預(yù)測(cè)模型并求解（16分）；預(yù)測(cè)第7周的銷量，并說(shuō)明模型的局限性（16分）。六、開(kāi)放性建模題（共20分）問(wèn)題：近年來(lái)，城市共享單車亂停亂放現(xiàn)象嚴(yán)重，影響交通秩序。請(qǐng)針對(duì)該問(wèn)題，提出一個(gè)數(shù)學(xué)建模方案，包括：?jiǎn)栴}分析（明確需解決的核心問(wèn)題）；模型假設(shè)（至少列出3條關(guān)鍵假設(shè)）；模型思路（說(shuō)明將采用的建模方法及變量定義）。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（簡(jiǎn)要說(shuō)明）一、單項(xiàng)選擇題1-5:BBBAB6-10:BBBBB二、多項(xiàng)選擇題ABCD2.ABD3.AB4.ABC5.ABC三、填空題確定性，隨機(jī)性2.線性3.有趨勢(shì)4.最短路徑5.泊松6.合理假設(shè)7.殘差8.權(quán)重向量四、簡(jiǎn)答題（示例）區(qū)別：數(shù)學(xué)應(yīng)用題條件明確、答案唯一；數(shù)學(xué)建模問(wèn)題開(kāi)放，需自主抽象問(wèn)題、假設(shè)條件并構(gòu)建模型。例如，“已知速度求路程”是應(yīng)用題，“預(yù)測(cè)某路段交通流量”是建模問(wèn)題。評(píng)價(jià)模型：步驟：確定評(píng)價(jià)指標(biāo)→構(gòu)造判斷矩陣（AHP）→計(jì)算權(quán)重→加權(quán)求和→排序。方法：層次分析法，學(xué)業(yè)成績(jī)、社會(huì)實(shí)踐、文體活動(dòng)權(quán)重分別設(shè)為0.5、0.3、0.2，按公式(總分=0.5×成績(jī)+0.3×實(shí)踐+0.2×文體)計(jì)算。微分方程建模流程：步驟：確定變量→分析變化率→建立微分方程→求解方程→檢驗(yàn)?zāi)Ｐ汀ogistic模型：(\frac{dN}{dt}=rN(1-\frac{N}{K}))，其中(N)為人口數(shù)量，(r)為增長(zhǎng)率，(K)為環(huán)境容量。五、建模應(yīng)用題（示例）折線圖：趨勢(shì)呈上升，需標(biāo)注坐標(biāo)軸、數(shù)據(jù)點(diǎn)及趨勢(shì)線（8分）。模型選擇：采用線性回歸，設(shè)周次為(x)，銷量為(y)，擬合方程(y=2.8x+24.6)（16分）。預(yù)測(cè)：第7周銷量約為44.2箱；局限性：未考慮節(jié)假日、促銷活動(dòng)等突發(fā)因素（16分）。六、開(kāi)放性建模題（示例）問(wèn)題分析：核心是優(yōu)化共享單車停放點(diǎn)布局，減少亂停現(xiàn)象。假設(shè)：①用戶隨機(jī)選擇停放點(diǎn)；②停放點(diǎn)容量有限；③需求量與人口密度正相關(guān)。模型思路：方法：結(jié)合圖論（網(wǎng)絡(luò)布局）和整數(shù)規(guī)劃（容量分配）。變量：(x_i)為第(i)個(gè)停放點(diǎn)的容量，(d_j)為第(j)區(qū)域的需求量，目標(biāo)函數(shù)最小化總步行距離。命題說(shuō)明：覆蓋知識(shí)點(diǎn)：數(shù)學(xué)建模流程、初等模型、優(yōu)化模型、統(tǒng)計(jì)模型