2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)技術(shù)素養(yǎng)測評試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）數(shù)學(xué)技術(shù)素養(yǎng)的核心內(nèi)涵不包括以下哪項(xiàng)？A.運(yùn)用數(shù)字化工具解決數(shù)學(xué)問題的能力B.數(shù)學(xué)模型與信息技術(shù)的融合應(yīng)用C.復(fù)雜公式的機(jī)械記憶與手動(dòng)計(jì)算D.基于數(shù)據(jù)可視化的數(shù)學(xué)推理在“東數(shù)西算”工程中，某數(shù)據(jù)中心需優(yōu)化服務(wù)器布局。已知服務(wù)器集群的散熱效率(f(x))與機(jī)柜間距(x)（單位：米）的關(guān)系滿足(f(x)=\frac{20x}{x^2+4})，則散熱效率最高時(shí)的機(jī)柜間距為：A.1米B.2米C.3米D.4米某AI算法通過分析用戶行為數(shù)據(jù)預(yù)測學(xué)習(xí)效果，其預(yù)測模型為(P(t)=\frac{1}{1+e^{-0.5(t-10)}})（(t)為學(xué)習(xí)時(shí)長，單位：小時(shí)）。當(dāng)(P(t)=0.8)時(shí)，(t)的值約為（參考數(shù)據(jù)：(\ln4\approx1.386)）：A.11.39B.12.77C.13.25D.14.12用Python繪制函數(shù)(f(x)=\sinx+\cosx)在區(qū)間([0,2\pi])的圖像時(shí)，需調(diào)用的核心庫是：A.NumPyB.MatplotlibC.PandasD.Scikit-learn某城市地鐵線路的鄰接矩陣如下（1表示兩站相鄰，0表示不相鄰），則從站A到站C的最短路徑長度為：[\begin{bmatrix}0&1&0&1\1&0&1&0\0&1&0&1\1&0&1&0\end{bmatrix}\quad(\text{行/列依次為A,B,C,D})]A.2B.3C.4D.5在3D打印技術(shù)中，某零件的表面由函數(shù)(z=x^2+y^2)（(x,y\in[-1,1])）生成，其在點(diǎn)((1,1,2))處的切平面方程為：A.(2x+2y-z=2)B.(2x+2y+z=6)C.(x+y-z=0)D.(x+y+z=4)某電商平臺使用推薦算法，用戶對商品的點(diǎn)擊率(R)與推薦列表長度(n)的關(guān)系為(R(n)=\frac{n}{20}\ln\left(1+\frac{10}{n}\right))，則當(dāng)(n\to+\infty)時(shí)，(R(n))的極限值為：A.0B.0.5C.1D.2用數(shù)學(xué)軟件求解微分方程(y'+2y=e^{-x})的通解時(shí)，得到的結(jié)果應(yīng)為：A.(y=e^{-x}+Ce^{-2x})B.(y=e^{-2x}+Ce^{-x})C.(y=e^{x}+Ce^{2x})D.(y=e^{2x}+Ce^{x})二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題6分，共24分。全部選對得6分，部分選對得3分，錯(cuò)選得0分）下列關(guān)于數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)融合的說法正確的有：A.可通過Python的Scipy庫求解微分方程數(shù)值解B.蒙特卡洛模擬可用于估算不規(guī)則圖形的面積C.機(jī)器學(xué)習(xí)模型的訓(xùn)練過程不需要數(shù)學(xué)理論支撐D.數(shù)據(jù)可視化工具（如Tableau）能輔助發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律某學(xué)校為優(yōu)化課表，收集了學(xué)生對不同課程的滿意度數(shù)據(jù)（滿分10分），用Excel進(jìn)行分析時(shí)，下列操作可行的有：A.用“數(shù)據(jù)透視表”統(tǒng)計(jì)各學(xué)科滿意度的平均分B.用“回歸分析”探究學(xué)習(xí)時(shí)長與滿意度的相關(guān)性C.用“隨機(jī)森林算法”預(yù)測學(xué)生對新課程的興趣D.用“箱線圖”展示不同年級滿意度的分布差異在密碼學(xué)中，RSA加密算法基于大數(shù)分解問題的復(fù)雜性。若某密鑰對滿足(n=p\timesq)（(p,q)為質(zhì)數(shù)），且(\phi(n)=(p-1)(q-1)=120)，則可能的(n)值為：A.121B.143C.169D.187關(guān)于函數(shù)(f(x)=\frac{x^3-3x}{e^x})的性質(zhì)，下列說法正確的有：A.函數(shù)在(x=-1)處取得極大值B.函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱C.當(dāng)(x\to+\infty)時(shí)，(f(x)\to0)D.函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某自動(dòng)駕駛汽車的激光雷達(dá)掃描數(shù)據(jù)顯示，前方障礙物的坐標(biāo)滿足方程(x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z=0)，則該障礙物與雷達(dá)的最短距離為______米（坐標(biāo)系原點(diǎn)為雷達(dá)位置）。用Excel計(jì)算“學(xué)生成績表”中數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)大于80且英語分?jǐn)?shù)大于75的人數(shù)，應(yīng)使用的函數(shù)公式為______。某社交平臺的用戶增長模型為(N(t)=N_0e^{kt})，若3個(gè)月內(nèi)用戶數(shù)量從100萬增長到180萬，則增長率(k)的值為______（精確到0.01）。在MATLAB中，執(zhí)行命令A(yù)=[12;34];B=A';C=A*B后，矩陣(C)的元素(C(2,2))的值為______。四、解答題（本大題共5小題，共66分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（12分）某環(huán)保部門用傳感器監(jiān)測PM2.5濃度，數(shù)據(jù)如下表（單位：μg/m3）：|時(shí)間（時(shí)）|0|3|6|9|12|15|18|21||------------|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----|-----||濃度|75|60|52|68|90|82|70|65|（1）用Excel繪制該數(shù)據(jù)的折線圖，并指出濃度變化的大致趨勢；（2）用線性回歸模型\(y=ax+b\)擬合12時(shí)-18時(shí)的數(shù)據(jù)（\(x=0\)對應(yīng)12時(shí)），求\(a,b\)的值。18.（13分）某工廠使用智能控制系統(tǒng)調(diào)節(jié)生產(chǎn)流程，其能耗函數(shù)為(E(t)=t^3-12t^2+36t+20)（(t)為運(yùn)行時(shí)間，單位：小時(shí)，(t\in[0,10])）。（1）求能耗最低時(shí)的運(yùn)行時(shí)間及最低能耗；（2）若該系統(tǒng)每小時(shí)維護(hù)成本為100元，能耗成本為(E(t)\times5)元，求運(yùn)行8小時(shí)的總成本。19.（13分）某在線教育平臺通過數(shù)據(jù)分析優(yōu)化課程推薦，用戶對課程A、B、C的選擇概率分別為0.4、0.3、0.3，且選擇后滿意度分別為0.8、0.9、0.7。（1）求用戶隨機(jī)選擇一門課程后的滿意度期望值；（2）若用戶首次選擇課程A后不滿意，系統(tǒng)會(huì)推薦課程B或C（概率各0.5），求此時(shí)的滿意度期望值。20.（14分）在元宇宙虛擬展廳中，某展品的表面由函數(shù)(z=x^2-y^2)與平面(z=4)圍成。（1）求該幾何體在(xOy)平面上的投影區(qū)域邊界方程；（2）用二重積分計(jì)算該幾何體的體積（提示：(V=\iint_D(4-(x^2-y^2))dxdy)，其中(D)為投影區(qū)域）。21.（14分）某科研團(tuán)隊(duì)用機(jī)器學(xué)習(xí)訓(xùn)練圖像識別模型，其準(zhǔn)確率(L(\theta))與參數(shù)(\theta)的關(guān)系為(L(\theta)=\frac{\theta^2}{1+\theta^2})（(\theta>0)），訓(xùn)練成本(C(\theta)=2\theta+\frac{10}{\theta})。（1）求準(zhǔn)確率(L(\thet