2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)技巧點(diǎn)歸納試卷第一章集合與函數(shù)概念核心技巧1：集合運(yùn)算的參數(shù)討論技巧要點(diǎn)：對(duì)于含參數(shù)的集合問(wèn)題，需先確定集合元素的性質(zhì)（如定義域、值域），再通過(guò)數(shù)軸或韋恩圖分析包含關(guān)系。注意空集的特殊情況，即當(dāng)參數(shù)范圍未明確時(shí)，需分類(lèi)討論集合是否為空集。例題：設(shè)集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(B\subseteqA)，求實(shí)數(shù)(a)的值。解析：解方程(x^2-3x+2=0)，得(A={1,2})。當(dāng)(B=\varnothing)時(shí)，方程(ax-2=0)無(wú)解，此時(shí)(a=0)。當(dāng)(B\neq\varnothing)時(shí)，(B=\left{\frac{2}{a}\right})，由(B\subseteqA)得(\frac{2}{a}=1)或(\frac{2}{a}=2)，解得(a=2)或(a=1)。綜上，(a=0,1,2)。核心技巧2：函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用技巧要點(diǎn)：判斷函數(shù)單調(diào)性時(shí)，優(yōu)先化簡(jiǎn)解析式（如分離常數(shù)、配方），再根據(jù)定義或?qū)?shù)法證明；奇偶性問(wèn)題需先驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，再利用(f(-x)=\pmf(x))求解參數(shù)或比較函數(shù)值大小。例題：已知函數(shù)(f(x)=\frac{ax+b}{x^2+1})是定義在(\mathbb{R})上的奇函數(shù)，且(f(1)=\frac{1}{2})。（1）求(a,b)的值；（2）判斷(f(x))在((0,+\infty))上的單調(diào)性，并用定義證明。解析：（1）由奇函數(shù)性質(zhì)(f(0)=0)，得(b=0)；又(f(1)=\frac{a}{2}=\frac{1}{2})，解得(a=1)。（2）(f(x)=\frac{x}{x^2+1})，任取(0<x_1<x_2)，則[f(x_1)-f(x_2)=\frac{x_1}{x_1^2+1}-\frac{x_2}{x_2^2+1}=\frac{(x_2-x_1)(x_1x_2-1)}{(x_1^2+1)(x_2^2+1)}]當(dāng)(0<x_1<x_2<1)時(shí)，(x_2-x_1>0)，(x_1x_2-1<0)，則(f(x_1)-f(x_2)<0)，即(f(x))在((0,1))上單調(diào)遞增；當(dāng)(x_2>x_1>1)時(shí)，(x_1x_2-1>0)，則(f(x_1)-f(x_2)>0)，即(f(x))在((1,+\infty))上單調(diào)遞減。第二章三角函數(shù)核心技巧3：三角恒等變換的“角的配湊”策略技巧要點(diǎn)：利用已知角表示未知角（如(\alpha=(\alpha+\beta)-\beta)，(2\alpha=(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta))），結(jié)合和差公式、二倍角公式化簡(jiǎn)。注意“切割化弦”“1的代換”（如(1=\sin^2\theta+\cos^2\theta)）的應(yīng)用。例題：已知(\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{3})，且(\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right))，求(\cos\alpha)的值。解析：設(shè)(\beta=\alpha-\frac{\pi}{6})，則(\alpha=\beta+\frac{\pi}{6})，且(\beta\in\left(\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{6}\right))，(\sin\beta=\sqrt{1-\cos^2\beta}=\frac{2\sqrt{2}}{3})。[\cos\alpha=\cos\left(\beta+\frac{\pi}{6}\right)=\cos\beta\cos\frac{\pi}{6}-\sin\beta\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6}]核心技巧4：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)的綜合應(yīng)用技巧要點(diǎn)：由函數(shù)(y=A\sin(\omegax+\varphi)+B)的圖像求解析式時(shí)，通過(guò)最值求(A,B)，通過(guò)周期求(\omega)，通過(guò)特殊點(diǎn)代入求(\varphi)（注意(\varphi)的取值范圍）；解三角不等式可結(jié)合圖像或單位圓，轉(zhuǎn)化為最簡(jiǎn)三角方程的解集。例題：函數(shù)(f(x)=A\sin(\omegax+\varphi))（(A>0,\omega>0,|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖像如圖所示，求(f(x))的解析式。解析：由圖像知(A=2)，周期(T=4\times\left(\frac{\pi}{3}-\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right)=2\pi)，則(\omega=\frac{2\pi}{T}=1)。將點(diǎn)(\left(\frac{\pi}{3},2\right))代入(f(x)=2\sin(x+\varphi))，得(\sin\left(\frac{\pi}{3}+\varphi\right)=1)，即(\frac{\pi}{3}+\varphi=\frac{\pi}{2}+2k\pi)，解得(\varphi=\frac{\pi}{6})（(k=0)時(shí)滿(mǎn)足(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）。故(f(x)=2\sin\left(x+\frac{\pi}{6}\right))。第三章數(shù)列核心技巧5：等差數(shù)列與等比數(shù)列的“知三求二”技巧要點(diǎn)：利用等差（比）數(shù)列的通項(xiàng)公式和前(n)項(xiàng)和公式，已知首項(xiàng)(a_1)、公差(d)（公比(q)）、項(xiàng)數(shù)(n)、第(n)項(xiàng)(a_n)、前(n)項(xiàng)和(S_n)中的三個(gè)量，可求其余兩個(gè)量。注意等比數(shù)列中(q\neq1)的分類(lèi)討論。例題：設(shè)等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，已知(a_1=2)，(S_3=6)，求(q)與(a_3)。解析：若(q=1)，則(S_3=3a_1=6)，符合題意，此時(shí)(a_3=a_1=2)；若(q\neq1)，則(S_3=\frac{a_1(1-q^3)}{1-q}=6)，即(1-q^3=3(1-q))，化簡(jiǎn)得(q^2+q-2=0)，解得(q=-2)（(q=1)舍去），此時(shí)(a_3=a_1q^2=2\times4=8)。綜上，(q=1,a_3=2)或(q=-2,a_3=8)。核心技巧6：數(shù)列求和的常用方法技巧要點(diǎn)：錯(cuò)位相減法：適用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的乘積形式（如(a_n=(2n-1)\cdot2^n)）；裂項(xiàng)相消法：常見(jiàn)類(lèi)型有(\frac{1}{n(n+k)}=\frac{1}{k}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+k}\right))，(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n})；分組求和法：將數(shù)列拆分為等差、等比或常數(shù)列的和。例題：求數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和(S_n)，其中(a_n=\frac{2n+1}{n^2(n+1)^2})。解析：化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式：[a_n=\frac{(n+1)^2-n^2}{n^2(n+1)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}]則(S_n=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)+\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{(n+1)^2}\right)=1-\frac{1}{(n+1)^2}=\frac{n(n+2)}{(n+1)^2})。第四章立體幾何核心技巧7：空間幾何體的體積與表面積計(jì)算技巧要點(diǎn)：柱體體積(V=Sh)，錐體體積(V=\frac{1}{3}Sh)，球體體積(V=\frac{4}{3}\piR^3)；不規(guī)則幾何體體積可通過(guò)“割補(bǔ)法”轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體的體積差或和；表面積計(jì)算需注意是否包含底面（如無(wú)蓋圓柱、側(cè)面積）。例題：已知三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB\perpBC)，(PA=AB=BC=2)，求三棱錐(P-ABC)的體積和表面積。解析：體積：(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\timesAB\timesBC=2)，(V=\frac{1}{3}\timesS_{\triangleABC}\timesPA=\frac{1}{3}\times2\times2=\frac{4}{3})。表面積：(\trianglePAB)：(\frac{1}{2}\times2\times2=2)；(\trianglePAC)：(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=2\sqrt{2})，(\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2=2\sqrt{2})；(\trianglePBC)：(PB=\sqrt{PA^2+AB^2}=2\sqrt{2})，(PC=\sqrt{PA^2+AC^2}=2\sqrt{3})，由余弦定理得(\cos\anglePBC=\frac{PB^2+BC^2-PC^2}{2\cdotPB\cdotBC}=0)，則(S_{\trianglePBC}=\frac{1}{2}\times2\sqrt{2}\times2=2\sqrt{2})；(\triangleABC)：2。表面積(S=2+2\sqrt{2}+2\sqrt{2}+2=4+4\sqrt{2})。核心技巧8：空間線(xiàn)面位置關(guān)系的證明技巧要點(diǎn)：線(xiàn)面平行：利用中位線(xiàn)定理或平行四邊形性質(zhì)找線(xiàn)線(xiàn)平行，再用判定定理；線(xiàn)面垂直：通過(guò)線(xiàn)線(xiàn)垂直（如等腰三角形三線(xiàn)合一、勾股定理）或面面垂直的性質(zhì)定理證明；面面垂直：先證線(xiàn)面垂直，再用判定定理。例題：如圖，在正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(E,F)分別為(DD_1,BD)的中點(diǎn)，求證：(EF\parallel)平面(ABC_1D_1)。解析：連接(BD_1)，在(\triangleDD_1B)中，(E,F)分別為(DD_1,BD)的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)定理得(EF\parallelBD_1)。又(BD_1\subset)平面(ABC_1D_1)，(EF\not\subset)平面(ABC_1D_1)，故(EF\parallel)平面(ABC_1D_1)。第五章解析幾何核心技巧9：直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系技巧要點(diǎn)：判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系有兩種方法：幾何法：圓心到直線(xiàn)的距離(d)與半徑(r)比較（(d<r)相交，(d=r)相切，(d>r)相離）；代數(shù)法：聯(lián)立方程，判別式(\Delta=b^2-4ac)（(\Delta>0)相交，(\Delta=0)相切，(\Delta<0)相離）。例題：已知圓(C:x^2+y^2-2x+4y-4=0)，問(wèn)是否存在斜率為1的直線(xiàn)(l)，使(l)被圓(C)截得的弦長(zhǎng)為(2\sqrt{5})？若存在，求出直線(xiàn)(l)的方程。解析：圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程為((x-1)^2+(y+2)^2=9)，圓心((1,-2))，半徑(r=3)。設(shè)直線(xiàn)(l:y=x+m)，圓心到直線(xiàn)的距離(d=\frac{|1-(-2)+m|}{\sqrt{2}}=\frac{|m+3|}{\sqrt{2}})。由弦長(zhǎng)公式(2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{5})，得(9-d^2=5)，即(d^2=4)，則(\frac{(m+3)^2}{2}=4)，解得(m=-3\pm2\sqrt{2})。故直線(xiàn)(l)的方程為(y=x-3+2\sqrt{2})或(y=x-3-2\sqrt{2})。核心技巧10：圓錐曲線(xiàn)的定義與方程求解技巧要點(diǎn)：橢圓：(|PF_1|+|PF_2|=2a)（(2a>2c)）；雙曲線(xiàn)：(||PF_1|-|PF_2||=2a)（(2a<2c)）；拋物線(xiàn)：(|PF|=d)（點(diǎn)(P)到焦點(diǎn)的距離等于到準(zhǔn)線(xiàn)的距離）。例題：已知雙曲線(xiàn)(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0,b>0)）的左、右焦點(diǎn)分別為(F_1,F_2)，過(guò)(F_2)作垂直于(x)軸的直線(xiàn)交雙曲線(xiàn)于(A,B)兩點(diǎn)，若(\triangleAF_1B)為等邊三角形，求雙曲線(xiàn)的離心率。解析：設(shè)(F_2(c,0))，代入雙曲線(xiàn)方程得(y=\pm\frac{b^2}{a})，則(|AB|=\frac{2b^2}{a})。在等邊(\triangleAF_1B)中，(|F_1F_2|=\sqrt{3}\cdot\frac{|AB|}{2})，即(2c=\sqrt{3}\cdot\frac{b^2}{a})。又(b^2=c^2-a^2)，代入得(2ac=\sqrt{3}(c^2-a^2))，兩邊同除以(a^2)得(\sqrt{3}e^2-2e-\sqrt{3}=0)，解得(e=\sqrt{3})（(e>1)）。第六章概率與統(tǒng)計(jì)核心技巧11：古典概型與幾何概型的計(jì)算技巧要點(diǎn)：古典概型：明確基本事件總數(shù)(n)和所求事件包含的基本事件數(shù)(m)，公式(P=\frac{m}{n})；幾何概型：根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇長(zhǎng)度、面積或體積作為度量，公式(P=\frac{\text{構(gòu)成事件的區(qū)域度量}}{\text{總區(qū)域度量}})。例題：在區(qū)間([0,2])上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)(x,y)，求(x+y\leq1)的概率。解析：樣本空間為({(x,y)|0\leqx\leq2,0\leqy\leq2})，面積(S=4)；事件(A={(x,y)|x+y\leq1,0\leqx\leq2,0\leqy\leq2})，對(duì)應(yīng)區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，面積(S_A=\frac{1}{2}\times1\times1=\frac{1}{2})；故(P(A)=\frac{S_A}{S}=\frac{1}{8})。核心技巧12：離散型隨機(jī)變量的分布列與期望技巧要點(diǎn)：分布列需滿(mǎn)足(p_1+p_2+\cdots+p_n=1)；期望(E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\cdots+x_np_n)，方差(D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2)。例題：某射手每次射擊命中目標(biāo)的概率為(\frac{2}{3})，連續(xù)射擊3次，記命中目標(biāo)的次數(shù)為(X)，求(X)的分布列和數(shù)學(xué)期望。解析：(X\simB\left(3,\frac{2}{3}\right))，分布列為：|(X)|0|1|2|3||--------|---|---|---|---||(P)|(\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27})|(C_3^1\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^2=\frac{6}{27})|(C_3^2\left(\frac{2}{3}\right)^2\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{12}{27})|(\left(\frac{2}{3}\right)^3=\frac{8}{27})|期望(E(X)=np=3\times\frac{2}{3}=2)。第七章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用核心技巧13：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值技巧要點(diǎn)：求導(dǎo)(f'(x))，令(f'(x)=0)得極值點(diǎn)；判斷極值點(diǎn)左右導(dǎo)數(shù)的符號(hào)（左正右負(fù)為極大值，左負(fù)右正為極小值）；最值需比較極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值。例題：已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，求其在區(qū)間([-1,3])上的最大值和最小值。解析：(f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2))，令(f'(x)=0)，得(x=0)或(x=2)。計(jì)算函數(shù)值：(f(-1)=-1-3+2=-2)，(f(0)=0-0+2=2)，(f(2)=8-12+2=-2)，(f(3)=27-27+2=2)。故最大值為2，最小值為-2。核心技巧14：導(dǎo)數(shù)與不等式的證明技巧要點(diǎn)：構(gòu)造輔助函數(shù)(g(x)=f(x)-h(x))，通過(guò)求導(dǎo)判斷(g(x))的單調(diào)性，證明(g(x)\geq0)或(g(x)\leq0)。例題：證明：當(dāng)(x>0)時(shí)，(x-\frac{x^3}{6}<\sinx<x)。解析：先證(\sinx<x)：設(shè)(g(x)=x-\sinx)，(g'(x)=1-\cosx\geq0)，則(g(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，(g(x)>g(0)=0)，即(\sinx<x)。再證(x-\frac{x^3}{6}<\sinx)：設(shè)(h(x)=\sinx-x+\frac{x^3}{6})，(h'(x)=\cosx-1+\frac{x^2}{2})，(h''(x)=-\sinx+x>0)（由前半部分結(jié)論），則(h'(x))在((0,+\infty))上單調(diào)遞增，(h'(x)>h'(0)=0)，故(h(x))單調(diào)遞增，(h(x)>h(0)=0)，即(x-\frac{x^