2025年下學期高中數(shù)學傳播動力學數(shù)學試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）已知某病毒在人群中的傳播速度滿足微分方程$\frac{dN}{dt}=k(N)(M-N)$，其中$N(t)$表示$t$時刻感染人數(shù)，$M$為人群總?cè)藬?shù)，$k(N)$為傳播系數(shù)。若$k(N)$為常數(shù)，則該方程的解對應的曲線類型為（）A.指數(shù)增長曲線B.邏輯斯蒂增長曲線C.線性增長曲線D.二次函數(shù)曲線在網(wǎng)絡(luò)信息傳播模型中，假設(shè)每個已傳播節(jié)點在單位時間內(nèi)可感染2個未傳播節(jié)點，初始時有1個傳播節(jié)點，且節(jié)點總數(shù)足夠大，則第5個單位時間末的傳播節(jié)點數(shù)為（）A.16B.32C.31D.63某謠言傳播滿足$N(t)=\frac{1000}{1+999e^{-0.5t}}$，其中$t$為傳播時間（天），則謠言傳播的半衰期（即達到最大傳播人數(shù)一半所需時間）為（）A.$2\ln999$B.$\frac{\ln999}{0.5}$C.$\frac{\ln333}{0.5}$D.$2\ln3$在SIR模型中，下列哪個參數(shù)組合會導致疫情最終消失（）A.感染率$\beta=0.8$，恢復率$\gamma=0.2$B.感染率$\beta=0.3$，恢復率$\gamma=0.5$C.感染率$\beta=1.2$，恢復率$\gamma=0.4$D.感染率$\beta=0.6$，恢復率$\gamma=0.1$某社交網(wǎng)絡(luò)的傳播閾值為$\lambda_c=\frac{\gamma}{\beta\langlek\rangle}$，其中$\langlek\rangle$為平均度。若當前網(wǎng)絡(luò)$\langlek\rangle=5$，$\beta=0.4$，$\gamma=0.2$，則該網(wǎng)絡(luò)的傳播狀態(tài)為（）A.持續(xù)傳播B.無法傳播C.臨界狀態(tài)D.周期性震蕩對于微分方程$\frac{dI}{dt}=0.3I(1-\frac{I}{500})-0.1I$，其平衡解的穩(wěn)定性為（）A.$I=0$穩(wěn)定，$I=333$不穩(wěn)定B.$I=0$不穩(wěn)定，$I=333$穩(wěn)定C.兩個平衡解均穩(wěn)定D.兩個平衡解均不穩(wěn)定在無標度網(wǎng)絡(luò)中，節(jié)點度分布滿足$P(k)\proptok^{-\gamma}$，當$\gamma$取值為（）時，網(wǎng)絡(luò)具有最強的傳播魯棒性A.2.1B.2.5C.3.0D.3.5某信息傳播的擴散過程滿足$N(t)=N_0e^{rt}(1-e^{-rt})$，則該過程的增長速率最大值出現(xiàn)在（）A.$t=0$B.$t=\frac{\ln2}{r}$C.$t=\frac{1}{r}$D.$t=\frac{\lnr}{r}$已知某傳染病的基本再生數(shù)$R_0=3.2$，則為使疫情得到控制，需要至少接種疫苗的人口比例為（）A.31.25%B.68.75%C.75%D.90%在SEIR模型中，"E"代表的狀態(tài)是（）A.易感者（Susceptible）B.暴露者（Exposed）C.感染者（Infected）D.康復者（Recovered）某輿情傳播的影響力函數(shù)為$f(x)=x(1-x)(2-x)$，則該函數(shù)的極大值點為（）A.$x=\frac{1}{3}$B.$x=\frac{2}{3}$C.$x=1$D.$x=\frac{1}{2}$考慮具有時滯的傳播模型$\frac{dN}{dt}=rN(t)(1-\frac{N(t-\tau)}{K})$，當$\tau$增大時，系統(tǒng)的穩(wěn)定性將（）A.增強B.減弱C.不變D.先增強后減弱二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）某病毒傳播滿足$\frac{dN}{dt}=0.2N(500-N)$，初始感染人數(shù)$N(0)=10$，則$t=1$時的感染人數(shù)為________（精確到整數(shù)）。在復雜網(wǎng)絡(luò)傳播中，"小世界效應"指的是________和________兩個特征的結(jié)合。若某謠言在封閉人群中的傳播滿足$\frac{dN}{dt}=kN(M-N)$，且第1天新增感染100人，第2天新增感染200人，人群總?cè)藬?shù)$M=1000$，則傳播系數(shù)$k=$________。對于SIS模型$\frac{dI}{dt}=\betaI(S)-\gammaI$，當$S$為常數(shù)時，模型退化為________方程，其解的表達式為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（10分）某地區(qū)總?cè)丝跒?0000人，初始有50人感染某病毒，病毒傳播滿足邏輯斯蒂模型$\frac{dN}{dt}=0.02N(1-\frac{N}{10000})$。（1）求該模型的解析解$N(t)$；（2）計算第10天的感染人數(shù)及增長速率。（12分）在SIR模型中，設(shè)總?cè)丝?N=1000$，初始易感者$S(0)=990$，感染者$I(0)=10$，康復者$R(0)=0$，感染率$\beta=0.001$，恢復率$\gamma=0.1$。（1）寫出SIR模型的三個微分方程；（2）證明$S+I+R=N$為常數(shù)；（3）計算基本再生數(shù)$R_0$，并判斷疫情是否會擴散。（12分）某社交平臺信息傳播滿足雙階段模型：第一階段（$0\leqt<5$）為指數(shù)增長$N(t)=N_0e^{0.3t}$，第二階段（$t\geq5$）為邏輯斯蒂增長$\frac{dN}{dt}=0.1N(1-\frac{N}{5000})$，且兩段曲線在$t=5$處連續(xù)可導。（1）求$N_0$的值；（2）求$t=10$時的信息傳播量；（3）繪制傳播曲線的大致圖像，并標注拐點。（12分）考慮具有媒體干預的傳播模型$\frac{dI}{dt}=\betaIS-\gammaI-\alphaIM(t)$，其中$M(t)$為媒體報道強度，$S=N-I$，$\alpha$為干預系數(shù)。（1）當$M(t)=0$時，求模型的平衡解；（2）若$M(t)=k(1-e^{-\lambdat})$（$k,\lambda>0$），分析$t\rightarrow\infty$時$I(t)$的極限行為；（3）比較有無媒體干預時疫情峰值的變化。（12分）在網(wǎng)絡(luò)傳播中，節(jié)點的傳播概率$p$與度$k$滿足$p(k)=1-e^{-ck}$（$c>0$）。現(xiàn)有網(wǎng)絡(luò)節(jié)點度分布為$P(k)=\frac{2}{k(k+1)(k+2)}$（$k\geq1$）。（1）計算網(wǎng)絡(luò)的平均度$\langlek\rangle$；（2）求傳播臨界值$c_c$；（3）當$c=0.2$時，判斷網(wǎng)絡(luò)是否會發(fā)生全局傳播。（12分）某謠言傳播的數(shù)學模型為$N(t)=\frac{A}{1+Be^{-rt}}+Ct$，其中$A,B,r,C$為正常數(shù)。（1）分析當$t\rightarrow\infty$時$N(t)$的漸近行為；（2）若$A=1000,B=999,r=0.5,C=0.1$，求謠言傳播的最大速率出現(xiàn)時間；（3）討論參數(shù)$C$的物理意義，并解釋為什么現(xiàn)實中謠言傳播常需加入線性項$Ct$。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。不計入總分，供學有余力的學生選做）考慮分數(shù)階傳播模型${}_0D_t^\alphaN(t)=kN(M-N)$（$0<\alpha<1$），其中${}_0D_t^\alpha$為Caputo分數(shù)階導數(shù)。（1）證明當$\alpha=1$時退化為標準邏輯斯蒂模型；（2）比較$\alpha=0.5$與$\alpha=1$時的傳播速率差異。建立一個考慮疫苗接種的SEIR模型，其中接種率為$\theta$，疫苗有效率為$\eta$，并分析$\theta$對疫情控制的影響。要求：（1）定義模型變量及參數(shù)；（2）建立微分方程組；（3）推導消除疫情的接種率閾值。參考答案及評分標準（此處省略，實際試卷中應包含）試卷設(shè)計說明本試卷共分選擇題、填空題、解答題和附加題四個部分，滿分150分，考試時間120分鐘。內(nèi)容覆蓋微分方程、邏輯斯蒂模型、SIR模型、網(wǎng)絡(luò)傳播動力學等核心知識點，強調(diào)數(shù)學建模與實際問題的結(jié)合。試題難度梯度分明，基礎(chǔ)題占60%，中檔題占30%，拔高題占10%，適合高中數(shù)學拓展課程使用。附加