2025年下學(xué)期高中案例學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.函數(shù)應(yīng)用案例某網(wǎng)店銷售一款智能手環(huán)，根據(jù)歷史銷售數(shù)據(jù)，每日銷售量(y)（單位：個）與銷售單價(x)（單位：元）滿足函數(shù)關(guān)系(y=-2x+200)（(40\leqx\leq80)）。已知手環(huán)的成本為30元/個，若每日利潤為(w)元，則(w)關(guān)于(x)的函數(shù)解析式及最大利潤分別為（）A.(w=-2x^2+260x-6000)，最大利潤2450元B.(w=-2x^2+260x-6000)，最大利潤3200元C.(w=-2x^2+140x-6000)，最大利潤1250元D.(w=-2x^2+140x-6000)，最大利潤1800元2.立體幾何案例為迎接校園科技節(jié)，學(xué)生社團(tuán)制作了一個正四棱錐模型，其底面邊長為40cm，側(cè)棱長為50cm。若將該模型表面涂漆（底面不涂），則需涂漆的面積為（）A.(1600\sqrt{2},\text{cm}^2)B.(3200,\text{cm}^2)C.(4800,\text{cm}^2)D.(6400,\text{cm}^2)3.概率統(tǒng)計案例某中學(xué)高二年級有500名學(xué)生，其中男生300人，女生200人。為調(diào)查學(xué)生每周體育鍛煉時間，采用分層抽樣的方法抽取50人作為樣本，若樣本中男生每周鍛煉時間的平均數(shù)為6小時，女生為5小時，則估計全年級學(xué)生每周鍛煉總時間為（）A.2700小時B.2800小時C.2900小時D.3000小時4.三角函數(shù)案例某摩天輪的半徑為50米，圓心距地面高度為60米，運(yùn)行一周需30分鐘。若某人從摩天輪最低點(diǎn)處開始計時，則第10分鐘時他距離地面的高度為（）A.85米B.95米C.100米D.110米5.數(shù)列案例某企業(yè)2023年的產(chǎn)值為1000萬元，計劃通過技術(shù)改造，從2024年起每年產(chǎn)值比上一年增長(10%)。設(shè)從2024年開始的第(n)年（2024年為(n=1)）的產(chǎn)值為(a_n)萬元，則(a_n)的通項公式及2030年的產(chǎn)值（單位：萬元）分別為（）A.(a_n=1000\times1.1^n)，1948.7B.(a_n=1000\times1.1^{n-1})，1948.7C.(a_n=1000\times1.1^n)，2143.6D.(a_n=1000\times1.1^{n-1})，2143.66.解析幾何案例某拋物線形拱橋的跨度為20米，拱頂距離水面4米。若以拱頂為原點(diǎn)，對稱軸為(y)軸建立直角坐標(biāo)系，則水面上升1米后，水面的寬度為（）A.(5\sqrt{3})米B.(10\sqrt{3})米C.(15\sqrt{3})米D.(20\sqrt{3})米7.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用案例汽車在直線公路上行駛，其速度(v(t))（單位：km/h）與時間(t)（單位：h）的關(guān)系為(v(t)=-t^2+6t+20)（(0\leqt\leq6)）。則汽車在(t=2)時的加速度及0~6小時內(nèi)行駛的路程分別為（）A.2km/h2，132kmB.2km/h2，156kmC.6km/h2，132kmD.6km/h2，156km8.不等式案例某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，生產(chǎn)1件A需甲材料3kg、乙材料2kg，生產(chǎn)1件B需甲材料1kg、乙材料4kg。甲材料每日供應(yīng)限額為120kg，乙材料為160kg。若A、B的利潤分別為50元/件和30元/件，則每日生產(chǎn)A、B產(chǎn)品各多少件時利潤最大？（）A.A=20件，B=30件，最大利潤1900元B.A=30件，B=20件，最大利潤2100元C.A=25件，B=25件，最大利潤2000元D.A=40件，B=0件，最大利潤2000元9.向量案例在校園定向越野比賽中，某選手從起點(diǎn)O出發(fā)，先沿北偏東30°方向跑200米到達(dá)點(diǎn)A，再沿正東方向跑300米到達(dá)點(diǎn)B，則終點(diǎn)B相對于起點(diǎn)O的位移向量的模長為（）A.(100\sqrt{19})米B.(100\sqrt{21})米C.(100\sqrt{23})米D.(100\sqrt{25})米10.復(fù)數(shù)案例某電子設(shè)備的電路中，電流(I)（單位：A）與電壓(U)（單位：V）滿足關(guān)系(U=I\cdotZ)，其中(Z)為復(fù)數(shù)阻抗（單位：Ω）。若(Z=3+4i)，(U=10+0i)，則電流(I)的模長為（）A.1AB.2AC.3AD.4A11.邏輯推理案例某班甲、乙、丙、丁四名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，賽后猜測成績：甲說：“我不是第一名”；乙說：“丁是第一名”；丙說：“乙是第一名”；丁說：“我不是第一名”。若四人中只有一人說真話，則第一名是（）A.甲B.乙C.丙D.丁12.創(chuàng)新題型：數(shù)學(xué)文化案例《九章算術(shù)》中記載“今有圓材埋在壁中，不知大小。以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺。問徑幾何？”（注：1尺=10寸）。若將圓材視為圓柱體，“鋸深”為圓心到鋸面的距離，“鋸道”為鋸面與圓材截面的交線長，則圓材的直徑為（）A.12寸B.24寸C.26寸D.28寸二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.線性規(guī)劃案例某物流公司用A、B兩種貨車運(yùn)輸貨物，A車每次可運(yùn)3噸，B車每次可運(yùn)5噸。現(xiàn)有貨物27噸，要求一次運(yùn)完，且每輛車均滿載，則不同的派車方案有______種。14.統(tǒng)計案例某學(xué)校為評估教學(xué)質(zhì)量，對100名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績進(jìn)行統(tǒng)計，得到頻率分布直方圖（部分?jǐn)?shù)據(jù)缺失）：|成績區(qū)間|[50,60)|[60,70)|[70,80)|[80,90)|[90,100]||----------|---------|---------|---------|---------|----------||頻率|0.05|0.20|0.30|0.25|______|則成績在[90,100]的學(xué)生人數(shù)為______，成績的中位數(shù)落在區(qū)間______（填區(qū)間代號，如[50,60)）。15.立體幾何案例在棱長為2的正方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，點(diǎn)E為棱(BB_1)的中點(diǎn)，則三棱錐(E-ACD_1)的體積為______。16.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)案例某物體的溫度(T)（單位：℃）隨時間(t)（單位：min）的變化滿足函數(shù)(T(t)=t^3-3t^2+6t+20)（(t\geq0)），則該物體在(t=______)min時溫度變化率為0，此時溫度為______℃。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（10分）函數(shù)與不等式綜合案例某社區(qū)計劃修建一個矩形健身廣場，周長不超過100米，面積不小于600平方米。設(shè)廣場的長為(x)米，寬為(y)米（(x>y)）。（1）求(y)關(guān)于(x)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；（2）若要求長比寬多10米，求廣場的長和寬。18.（12分）數(shù)列與數(shù)學(xué)建模案例為推動綠色出行，某市2023年底共享單車的投放量為10萬輛，計劃從2024年起每年投放量比上一年減少(20%)，同時由于損耗，每年年底需淘汰上一年投放量的(10%)。設(shè)(a_n)為2023年底后的第(n)年（2024年為(n=1)）底的共享單車保有量（單位：萬輛）。（1）求(a_1)，(a_2)的值；（2）寫出(a_n)與(a_{n-1})的遞推關(guān)系式，并預(yù)測2027年底的保有量（精確到0.1萬輛）。19.（12分）立體幾何綜合案例如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，D為(B_1C_1)的中點(diǎn)。（1）求證：(AD\perp)平面(BCC_1B_1)；（2）求直線(A_1B)與平面(ADC)所成角的正弦值。20.（12分）概率統(tǒng)計綜合案例某工廠生產(chǎn)的電子元件分為“一等品”“二等品”“次品”三個等級，其合格率（一等品+二等品）為95%，其中一等品率為70%。現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取10件進(jìn)行檢驗，假設(shè)每件產(chǎn)品的等級相互獨(dú)立。（1）求抽取的10件產(chǎn)品中恰有8件一等品的概率（精確到0.001）；（2）記抽取的10件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)為(X)，求(X)的數(shù)學(xué)期望和方差。21.（12分）解析幾何綜合案例已知橢圓(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,(a>b>0))的離心率為(\frac{\sqrt{3}}{2})，且過點(diǎn)(P(2,1))。（1）求橢圓(C)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線(l:y=kx+m)與橢圓(C)交于(A,B)兩點(diǎn)（(A,B)異于點(diǎn)(P)），且滿足(PA\perpPB)，求證：直線(l)過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。22.（10分）導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合案例已知函數(shù)(f(x)=x\lnx-ax^2+(2a-1)x,(a>0))。（1）求函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)(f(x))在區(qū)間((1,+\infty))上有且只有一個零點(diǎn)，求(a)的取值范圍。四、附加題（本大題共2小題，每小題10分，共20分。選做其中一題，若兩題均做，按第一題計分）23.數(shù)學(xué)建模案例：碳排放問題某城市2020年的碳排放量為1000萬噸，計劃到2030年將碳排放總量控制在7500萬噸以內(nèi)（2020-2030年共11年）。假設(shè)每年的碳排放量比上一年減少的百分比為(r)（(0<r<1)）。（1）求(r)滿足的不等式；（2）若(r=5%)，判斷是否能完成減排目標(biāo)，并說明理由。（參考數(shù)據(jù)：(0.95^{10}\approx0.5987)）24.創(chuàng)新案例：跨學(xué)科應(yīng)用某物理實驗中，單擺的周期(T)（單位：s）與擺長(l)（單位：m）的關(guān)系為(T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}})（(g\approx9.8,\text{m/s}^2)）。若擺長(l)在測量時產(chǎn)生誤差(\Deltal)，導(dǎo)致周期誤差為(\DeltaT)。（1）證明：(\frac{\DeltaT}{T}\approx\frac{1}{2}\cdot\frac{\Deltal}{l})（誤差較小時，(\DeltaT\approxdT)）；（2）若擺長(l=1,\text{m})，測量誤差(|\Deltal|\leq0.01,\text{m})，求周期誤差(|\DeltaT|)的最大值（精確到0.001s）。參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題A2.C3.C4.A5.D6.B7.A8.A9.B10.B11.A12.C二、填空題13.214.10，[70,80)15.