2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)高密度技術(shù)觀試卷一、集合與簡易邏輯（一）核心知識點集合的基本概念：元素的確定性、互異性、無序性；子集、真子集、空集的性質(zhì)（如空集是任何非空集合的真子集）；集合的三種表示法（列舉法、描述法、Venn圖法）。集合的運算：交集（(A\capB)）、并集（(A\cupB)）、補集（(\complement_UA)）的定義及運算律（如摩根定律：(\complement_U(A\cupB)=\complement_UA\cap\complement_UB)）。簡易邏輯：邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”“且”“非”的真值表；四種命題（原命題、逆命題、否命題、逆否命題）的關(guān)系；充分條件（(p\Rightarrowq)）、必要條件（(q\Rightarrowp)）、充要條件（(p\Leftrightarrowq)）的判斷。（二）題型示例選擇題：已知集合(A={x|x^2-3x+2=0})，(B={x|ax-2=0})，若(B\subseteqA)，則實數(shù)(a)的取值集合為（）A.({0,1,2})B.({1,2})C.({0,2})D.({0,1})填空題：命題“若(x^2<1)，則(-1<x<1)”的逆否命題是________。解答題：設(shè)集合(A={x|-2\leqx\leq5})，(B={x|m+1\leqx\leq2m-1})，若(A\cupB=A)，求實數(shù)(m)的取值范圍。二、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（一）核心知識點函數(shù)的概念與性質(zhì)：定義域、值域的求法（分式分母不為零、偶次根式被開方數(shù)非負(fù)等）；單調(diào)性（定義法、導(dǎo)數(shù)法判斷）、奇偶性（(f(-x)=\pmf(x))）、周期性（(f(x+T)=f(x))）的應(yīng)用?；境醯群瘮?shù)：一次函數(shù)、二次函數(shù)（頂點式、零點式）、指數(shù)函數(shù)（(y=a^x)，(a>0)且(a\neq1)）、對數(shù)函數(shù)（(y=\log_ax)，(a>0)且(a\neq1)）的圖像與性質(zhì)；冪函數(shù)（(y=x^\alpha)，(\alpha)為常數(shù)）的圖像特征。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切線斜率）；基本求導(dǎo)公式（如((x^n)'=nx^{n-1})，((\sinx)'=\cosx)）；導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系（(f'(x)>0)時(f(x))遞增，(f'(x)<0)時(f(x))遞減）；函數(shù)極值與最值的求法。（二）題型示例選擇題：函數(shù)(f(x)=\ln(x+1)-\frac{2}{x})的零點所在的區(qū)間是（）A.((0,1))B.((1,2))C.((2,3))D.((3,4))填空題：曲線(y=x^3-2x+1)在點((1,0))處的切線方程為________。解答題：已知函數(shù)(f(x)=x^3-3x^2+2)，求：（1）函數(shù)(f(x))的單調(diào)區(qū)間；（2）函數(shù)(f(x))在區(qū)間([-1,3])上的最大值與最小值。三、數(shù)列（一）核心知識點等差數(shù)列：定義（(a_{n+1}-a_n=d)，(d)為常數(shù)）；通項公式（(a_n=a_1+(n-1)d)）；前(n)項和公式（(S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=na_1+\frac{n(n-1)}{2}d)）；性質(zhì)（如(a_m+a_n=a_p+a_q)，其中(m+n=p+q)）。等比數(shù)列：定義（(\frac{a_{n+1}}{a_n}=q)，(q\neq0)）；通項公式（(a_n=a_1q^{n-1})）；前(n)項和公式（(S_n=\begin{cases}na_1,&q=1\\frac{a_1(1-q^n)}{1-q},&q\neq1\end{cases})）；性質(zhì)（如(a_ma_n=a_pa_q)，其中(m+n=p+q)）。數(shù)列求和：公式法（等差、等比數(shù)列求和）；錯位相減法（適用于({a_nb_n})，其中({a_n})為等差數(shù)列，({b_n})為等比數(shù)列）；裂項相消法（如(\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})）；分組求和法。（二）題型示例選擇題：在等差數(shù)列({a_n})中，(a_3+a_4+a_5=12)，則(a_1+a_2+\cdots+a_7=)（）A.14B.21C.28D.35填空題：等比數(shù)列({a_n})中，(a_1=2)，(a_4=16)，則數(shù)列({a_n})的前(n)項和(S_n=)________。解答題：已知數(shù)列({a_n})的前(n)項和為(S_n=n^2+2n)，（1）求數(shù)列({a_n})的通項公式；（2）若(b_n=\frac{1}{a_na_{n+1}})，求數(shù)列({b_n})的前(n)項和(T_n)。四、三角函數(shù)（一）核心知識點三角函數(shù)的定義：任意角的三角函數(shù)（(\sin\alpha=\frac{y}{r})，(\cos\alpha=\frac{x}{r})，(\tan\alpha=\frac{y}{x})）；同角三角函數(shù)基本關(guān)系（(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1)，(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha})）；誘導(dǎo)公式（奇變偶不變，符號看象限）。三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)：正弦函數(shù)(y=\sinx)、余弦函數(shù)(y=\cosx)、正切函數(shù)(y=\tanx)的定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性；函數(shù)(y=A\sin(\omegax+\varphi)+B)（(A>0)，(\omega>0)）的圖像變換（平移、伸縮）及參數(shù)(A)（振幅）、(\omega)（周期(T=\frac{2\pi}{\omega})）、(\varphi)（初相）的意義。三角恒等變換：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（如(\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta)）；二倍角公式（如(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha)，(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha)）；輔助角公式（(a\sinx+b\cosx=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi))，其中(\tan\varphi=\frac{a})）。解三角形：正弦定理（(\frac{a}{\sinA}=\frac{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R)，(R)為外接圓半徑）；余弦定理（(a^2=b^2+c^2-2bc\cosA)）；三角形面積公式（(S=\frac{1}{2}bc\sinA=\frac{1}{2}ac\sinB=\frac{1}{2}ab\sinC)）。（二）題型示例選擇題：函數(shù)(y=2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right))的最小正周期和振幅分別是（）A.(\pi)，2B.(2\pi)，2C.(\pi)，1D.(2\pi)，1填空題：已知(\tan\alpha=2)，則(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}=)________。解答題：在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對的邊分別為(a)，(b)，(c)，已知(a=3)，(b=4)，(\cosC=\frac{1}{4})，求：（1）邊(c)的長；（2）(\sinA)的值。五、平面向量（一）核心知識點向量的概念：向量的定義（既有大小又有方向的量）；零向量（長度為0）、單位向量（長度為1）、相等向量（大小相等且方向相同）、共線向量（方向相同或相反的非零向量，又稱平行向量）。向量的線性運算：加法（三角形法則、平行四邊形法則）、減法（(\vec{a}-\vec=\vec{a}+(-\vec))）、數(shù)乘（(\lambda\vec{a})，(\lambda>0)時與(\vec{a})同向，(\lambda<0)時反向，長度為(|\lambda||\vec{a}|)）；運算律（如(\vec{a}+\vec=\vec+\vec{a})，(\lambda(\mu\vec{a})=(\lambda\mu)\vec{a})）。向量的坐標(biāo)表示：平面向量基本定理（若(\vec{e_1})，(\vec{e_2})為不共線向量，則對任意向量(\vec{a})，存在唯一實數(shù)對((x,y))，使得(\vec{a}=x\vec{e_1}+y\vec{e_2})）；坐標(biāo)運算（設(shè)(\vec{a}=(x_1,y_1))，(\vec=(x_2,y_2))，則(\vec{a}+\vec=(x_1+x_2,y_1+y_2))，(\lambda\vec{a}=(\lambdax_1,\lambday_1))，(\vec{a}\cdot\vec=x_1x_2+y_1y_2)）。向量的數(shù)量積：定義（(\vec{a}\cdot\vec=|\vec{a}||\vec|\cos\theta)，(\theta)為夾角）；性質(zhì)（(\vec{a}\perp\vec\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec=0)；(|\vec{a}|^2=\vec{a}\cdot\vec{a})）；應(yīng)用（求模長、夾角、判斷垂直）。（二）題型示例選擇題：已知向量(\vec{a}=(1,2))，(\vec=(m,-1))，若(\vec{a}\parallel\vec)，則(m=)（）A.(-2)B.(-\frac{1}{2})C.(\frac{1}{2})D.2填空題：已知(|\vec{a}|=3)，(|\vec|=4)，(\vec{a})與(\vec)的夾角為(60^\circ)，則(\vec{a}\cdot(\vec{a}-\vec)=)________。解答題：在(\triangleABC)中，(\vec{AB}=\vec{c})，(\vec{AC}=\vec)，(\vec{BC}=\vec{a})，且(|\vec{a}|=3)，(|\vec|=4)，(|\vec{c}|=5)，求：（1）(\vec{a}\cdot\vec)；（2）(\vec)在(\vec{c})方向上的投影。六、不等式（一）核心知識點不等式的性質(zhì)：對稱性（(a>b\Leftrightarrowb<a)）；傳遞性（(a>b)，(b>c\Rightarrowa>c)）；可加性（(a>b\Rightarrowa+c>b+c)）；可乘性（(a>b)，(c>0\Rightarrowac>bc)；(a>b)，(c<0\Rightarrowac<bc)）。一元二次不等式：解法（化為標(biāo)準(zhǔn)形式(ax^2+bx+c>0)或(<0)，(a>0)，求出對應(yīng)方程的根，結(jié)合二次函數(shù)圖像寫出解集）；根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理：(x_1+x_2=-\frac{a})，(x_1x_2=\frac{c}{a})）。基本不等式：(\sqrt{ab}\leq\frac{a+b}{2})（(a,b>0)，當(dāng)且僅當(dāng)(a=b)時取等號）；應(yīng)用（求最值，滿足“一正、二定、三相等”）。簡單線性規(guī)劃：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域；線性目標(biāo)函數(shù)(z=ax+by)的最值（在可行域的頂點處取得）。（二）題型示例選擇題：不等式(x^2-2x-3<0)的解集是（）A.((-1,3))B.((-\infty,-1)\cup(3,+\infty))C.((-3,1))D.((-\infty,-3)\cup(1,+\infty))填空題：若(x>0)，則(x+\frac{4}{x})的最小值為________。解答題：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)甲產(chǎn)品1件需消耗A原料3kg、B原料2kg，生產(chǎn)乙產(chǎn)品1件需消耗A原料1kg、B原料3kg，且A原料每日供應(yīng)量不超過12kg，B原料每日供應(yīng)量不超過18kg。若甲產(chǎn)品每件利潤為50元，乙產(chǎn)品每件利潤為40元，問如何安排生產(chǎn)才能使每日利潤最大？最大利潤是多少？七、立體幾何（一）核心知識點空間幾何體：柱體（棱柱、圓柱）、錐體（棱錐、圓錐）、臺體（棱臺、圓臺）、球的結(jié)構(gòu)特征；表面積與體積公式（如棱柱體積(V=Sh)，(S)為底面積，(h)為高；球的表面積(S=4\piR^2)，體積(V=\frac{4}{3}\piR^3)）?？臻g點、線、面的位置關(guān)系：平面的基本性質(zhì)（公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面；公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線）；線線位置關(guān)系（平行、相交、異面）；線面位置關(guān)系（線在面內(nèi)、線面平行、線面相交）；面面位置關(guān)系（平行、相交）。空間中的平行與垂直：平行判定：線面平行（平面外一條直線與平面內(nèi)一條直線平行，則線面平行）；面面平行（一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則面面平行）。垂直判定：線面垂直（一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則線面垂直）；面面垂直（一個平面過另一個平面的垂線，則面面垂直）?？臻g向量與立體幾何：空間直角坐標(biāo)系的建立；向量法證明平行與垂直（如(\vec{a}\parallel\vec\Leftrightarrow\vec{a}=\lambda\vec)；(\vec{a}\perp\vec\Leftrightarrow\vec{a}\cdot\vec=0)）；向量法求空間角（異面直線所成角、線面角、二面角）和距離（點到面的距離）。（二）題型示例選擇題：一個正方體的棱長為2，則其外接球的體積為（）A.(\frac{8\sqrt{3}\pi}{3})B.(\frac{4\sqrt{3}\pi}{3})C.(8\sqrt{3}\pi)D.(4\sqrt{3}\pi)填空題：在長方體(ABCD-A_1B_1C_1D_1)中，(AB=1)，(AD=2)，(AA_1=3)，則異面直線(A_1B)與(AD_1)所成角的余弦值為________。解答題：如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點，求證：（1）(A_1D\perpBC)；（2）(A_1B\parallel)平面(ADC_1)。八、解析幾何（一）核心知識點直線與方程：直線的傾斜角（(\alpha\in[0,\pi))）與斜率（(k=\tan\alpha)，(\alpha\neq\frac{\pi}{2})）；直線方程的五種形式（點斜式、斜截式、兩點式、截距式、一般式）；兩條直線的位置關(guān)系（平行：(k_1=k_2)且(b_1\neqb_2)；垂直：(k_1k_2=-1)）；距離公式（兩點間距離：(|P_1P_2|=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2})；點到直線距離：(d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}})）。圓與方程：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（((x-a)^2+(y-b)^2=r^2)，((a,b))為圓心，(r)為半徑）；一般方程（(x^2+y^2+Dx+Ey+F=0)，(D^2+E^2-4F>0)）；直線與圓的位置關(guān)系（相交、相切、相離，通過圓心到直線的距離(d)與半徑(r)比較判斷）；圓與圓的位置關(guān)系（外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，通過圓心距(d)與半徑和差比較判斷）。圓錐曲線：橢圓：定義（平面內(nèi)到兩定點(F_1)，(F_2)的距離之和為常數(shù)(2a)（(2a>|F_1F_2|=2c)））；標(biāo)準(zhǔn)方程（(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)，(a>b>0)，(c^2=a^2-b^2)）；幾何性質(zhì)（離心率(e=\frac{c}{a})，(0<e<1)；準(zhǔn)線、焦點坐標(biāo)）。雙曲線：定義（平面內(nèi)到兩定點(F_1)，(F_2)的距離之差的絕對值為常數(shù)(2a)（(0<2a<|F_1F_2|=2c)））；標(biāo)準(zhǔn)方程（(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)，(a>0)，(b>0)，(c^2=a^2+b^2)）；幾何性質(zhì)（離心率(e=\frac{c}{a})，(e>1)；漸近線方程(y=\pm\frac{a}x)）。拋物線：定義（平面內(nèi)到定點(F)和定直線(l)（(F\notinl)）的距離相等的點的軌跡）；標(biāo)準(zhǔn)方程（如(y^2=2px)，(p>0)，焦點((\frac{p}{2},0))，準(zhǔn)線(x=-\frac{p}{2})）；幾何性質(zhì)（離心率(e=1)）。（二）題型示例選擇題：已知直線(l:3x+4y-12=0)與圓(C:x^2+y^2-2x-4y+4=0)的位置關(guān)系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定填空題：橢圓(\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1)的離心率為________。解答題：已知拋物線(y^2=4x)的焦點為(F)，過點(F)的直線(l)與拋物線交于(A)，(B)兩點，若(|AB|=8)，求直線(l)的方程。九、概率與統(tǒng)計（一）核心知識點隨機事件的概率：隨機事件的概念；頻率與概率的關(guān)系；概率的基本性質(zhì)（(0\leqP(A)\leq1)；必然事件概率為1，不可能事件概率為0；互斥事件加法公式：(P(A\cupB)=P(A)+P(B))；對立事件概率公式：(P(\overline{A})=1-P(A))）。古典概型：特點（有限性、等可能性）；概率計算公式：(P(A)=\frac{事件A包含的基本事件數(shù)}{基本事件總數(shù)})。幾何概型：特點（無限性、等可能性）；概率計算公式：(P(A)=\frac{構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）}{試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）})。統(tǒng)計：抽樣方法（簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣）；樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、方差(s^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})^2)、標(biāo)準(zhǔn)差）；頻率分布直方圖（小矩形面積=頻率，各小矩形面積之和=1）；回歸分析（線性回歸方程(\hat{y}=\hatx+\hat{a})）。（二）題型示例選擇題：從1，2，3，4，5中隨機抽取一個數(shù)為(a)，從1，2，3中隨機抽取一個數(shù)為(b)，則(a>b)的概率為（）A.(\frac{4}{5})B.(\frac{3}{5})C.(\frac{2}{5})D.(\frac{1}{5})填空題：某班50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖中，[80,90)的小矩形面積為0.3，則該班數(shù)學(xué)成績在[80,90)的學(xué)生人數(shù)為________。解答題：某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0.21，0.23，0.25，0.28，計算：（1）該射手在一次射擊中射中10環(huán)或9環(huán)的概率；（2）該射手在一次射擊中射中7環(huán)以下的概率。十、參數(shù)方程與極坐標(biāo)（選修4-4）（一）核心知識