2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)混合化技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|mx-1=0}，若A∩B=B，則實(shí)數(shù)m的取值集合是（）A.{1,1/2}B.{0,1,1/2}C.{0,2,1}D.{1,2}函數(shù)f(x)=ln(x2-2x-3)的定義域是（）A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-∞,-1]∪[3,+∞)C.(-1,3)D.[-1,3]已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若向量a+2b與2a-b平行，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.1/2B.2C.1D.-1/2函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期和振幅分別是（）A.π,1B.2π,1C.π,2D.2π,2已知等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3=7，S6=63，則公比q的值為（）A.2B.-2C.3D.-3某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A.12cm3B.18cm3C.24cm3D.36cm3在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若a=2，b=3，c=√7，則角C的大小為（）A.π/6B.π/4C.π/3D.π/2已知直線l1:ax+2y+6=0與直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.-1B.2C.-1或2D.1或-2從1,2,3,4,5這5個(gè)數(shù)字中隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字，則這3個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率是（）A.1/5B.2/5C.3/5D.4/5已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，則函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)為（）A.x=0B.x=1C.x=2D.x=3已知雙曲線x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.y=±√2xB.y=±√3xC.y=±2xD.y=±3x已知函數(shù)f(x)=|log2x|，若0<a<b且f(a)=f(b)，則a+2b的取值范圍是（）A.(3,+∞)B.[3,+∞)C.(2√2,+∞)D.[2√2,+∞)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則復(fù)數(shù)z的模為_(kāi)_____。已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)點(diǎn)F且斜率為√3的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的長(zhǎng)為_(kāi)_____。已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,1)，且相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π/2，則函數(shù)f(x)的解析式為_(kāi)_____。已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，PA=PB=PC=2，AB=AC=BC=2√3，則球O的表面積為_(kāi)_____。三、解答題（本大題共6小題，共70分）17.（本小題滿分10分）已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1=1，a3+a5=14。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列{bn}滿足bn=2^(an)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn。18.（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)。（1）求證：AD⊥平面BCC1B1；（2）求直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值。19.（本小題滿分12分）某學(xué)校為了了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)成績(jī)調(diào)查，得到如下頻率分布直方圖：（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從成績(jī)?cè)赱80,90)和[90,100]的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求這2人成績(jī)都在[90,100]的概率。20.（本小題滿分12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OA⊥OB，求證：直線l恒過(guò)定點(diǎn)。21.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=lnx-ax+1(a∈R)。（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證：f(x)≤x2-x。22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)=x2-2mx+m2-1(m∈R)。（1）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上的最小值為-2，求實(shí)數(shù)m的值；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)g(x)=f(x)-kx+1(k∈R)，若對(duì)任意x1,x2∈[0,2]，都有|g(x1)-g(x2)|≤4，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。四、選做題（本大題共2小題，每小題10分，考生只能選做一題）23.（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為{x=2cosθ,y=sinθ(θ為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+π/4)=√2。（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線l的距離的最大值。24.（選修4-5：不等式選講）已知函數(shù)f(x)=|x+1|+|x-2|。（1）求不等式f(x)≥5的解集；（2）若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2-2a對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1.B2.A3.A4.A5.A6.C7.C8.A9.C10.A11.A12.A二、填空題13.√214.16/315.f(x)=2sin(2x+π/6)16.16π三、解答題17.（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1=1，a3+a5=14，得1+2d+1+4d=14，解得d=2，所以an=1+2(n-1)=2n-1。（5分）（2）由（1）知bn=2^(2n-1)，所以數(shù)列{bn}是以2為首項(xiàng)，4為公比的等比數(shù)列，所以Sn=2(1-4^n)/(1-4)=(2/3)(4^n-1)。（10分）18.（1）因?yàn)锳A1⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AA1⊥AD。因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC。又因?yàn)锽C∩AA1=A，所以AD⊥平面BCC1B1。（6分）（2）以A為原點(diǎn)，AB、AC、AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(0,0,2)，D(1,1,0)，C1(0,2,2)。所以向量A1B=(2,0,-2)，向量AD=(1,1,0)，向量AC1=(0,2,2)。設(shè)平面ADC1的法向量為n=(x,y,z)，則{n·AD=0,n·AC1=0}，即{x+y=0,2y+2z=0}，令x=1，則y=-1，z=1，所以n=(1,-1,1)。設(shè)直線A1B與平面ADC1所成角為θ，則sinθ=|cos<A1B,n>|=|A1B·n|/(|A1B||n|)=|2×1+0×(-1)+(-2)×1|/(√(22+02+(-2)2)√(12+(-1)2+12))=0，所以直線A1B與平面ADC1所成角的正弦值為0。（12分）19.（1）由頻率分布直方圖的性質(zhì)，得(0.005+0.015+a+0.03+0.025+0.015)×10=1，解得a=0.01。（3分）（2）平均數(shù)為45×0.05+55×0.15+65×0.1+75×0.3+85×0.25+95×0.15=74.5。設(shè)中位數(shù)為x，則0.05+0.15+0.1+(x-70)×0.03=0.5，解得x=73.33。（7分）（3）成績(jī)?cè)赱80,90)的學(xué)生有0.25×100=25人，成績(jī)?cè)赱90,100]的學(xué)生有0.15×100=15人。從這40名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，基本事件總數(shù)為C(40,2)=780，這2人成績(jī)都在[90,100]包含的基本事件數(shù)為C(15,2)=105，所以所求概率為105/780=7/52。（12分）20.（1）由題意，得{c/a=√2/2,1/a2+(1/2)/b2=1,a2=b2+c2}，解得{a2=2,b2=1}，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2/2+y2=1。（4分）（2）當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，A(x1,y1)，B(x2,y2)。聯(lián)立{y=kx+m,x2/2+y2=1}，得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0。所以x1+x2=-4km/(1+2k2)，x1x2=(2m2-2)/(1+2k2)。因?yàn)镺A⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=0，整理得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0。將x1+x2和x1x2代入，得(1+k2)(2m2-2)/(1+2k2)-4k2m2/(1+2k2)+m2=0，化簡(jiǎn)得3m2=2k2+2，即m2=(2k2+2)/3。所以直線l的方程為y=kx±√[(2k2+2)/3]，即y=k(x±√(2/3))±√(2/3)，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)(±√(2/3),?√(2/3))。當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=±√(2/3)，此時(shí)A(±√(2/3),√(2/3))，B(±√(2/3),-√(2/3))，滿足OA⊥OB，也過(guò)定點(diǎn)(±√(2/3),?√(2/3))。綜上，直線l恒過(guò)定點(diǎn)。（12分）21.（1）函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)，f'(x)=1/x-a。當(dāng)a≤0時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，令f'(x)=0，得x=1/a。當(dāng)0<x<1/a時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1/a時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。（4分）（2）由（1）知，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)f(x)在x=1/a處取得最大值f(1/a)=ln(1/a)-a×(1/a)+1=-lna。要使函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，需-lna>0，即lna<0，解得0<a<1。所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(0,1)。（8分）（3）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=lnx-x+1。要證f(x)≤x2-x，即證lnx-x+1≤x2-x，即證lnx-x2+1≤0。令g(x)=lnx-x2+1，則g'(x)=1/x-2x=(1-2x2)/x。令g'(x)=0，得x=√2/2。當(dāng)0<x<√2/2時(shí)，g'(x)>0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>√2/2時(shí)，g'(x)<0，函數(shù)g(x)單調(diào)遞減。所以g(x)≤g(√2/2)=ln(√2/2)-(√2/2)2+1=ln(√2/2)-1/2+1=ln(√2/2)+1/2=1/2ln(1/2)+1/2=1/2(1-ln2)>0，所以原不等式不成立。（12分）22.（1）函數(shù)f(x)=(x-m)2-1，對(duì)稱軸為x=m。當(dāng)m≤0時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，最小值為f(0)=m2-1=-2，解得m=±1，又m≤0，所以m=-1；當(dāng)0<m<2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,m]上單調(diào)遞減，在[m,2]上單調(diào)遞增，最小值為f(m)=-1=-2，無(wú)解；當(dāng)m≥2時(shí)，函數(shù)f(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，最小值為f(2)=m2-4m+3=-2，解得m=1或m=3，又m≥2，所以m=3。綜上，實(shí)數(shù)m的值為-1或3。（4分）（2）函數(shù)f(x)=(x-m)2-1的零點(diǎn)為x=m±1。要使函數(shù)f(x)在[0,2]上有兩個(gè)零點(diǎn)，需{0≤m-1<m+1≤2}，解得1≤m≤1，所以m=1。（8分）（3）函數(shù)g(x)=x2-(2m+k)x+m2。對(duì)任意x1,x2∈[0,2]，都有|g(x1)-g(x2)|≤4，即函數(shù)g(x)在[0,2]上的最大值與最小值之差≤4。函數(shù)g(x)的對(duì)稱軸為x=(2m+k)/2。當(dāng)(2m+k)/2≤0時(shí)，函數(shù)g(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，最大值為g(2)=4-2(2m+k)+m2，最小值為g(0)=m2，所以4-2(2m+k)+m2-m2=4-4m-2k≤4，解得k≥-2m；當(dāng)0<(2m+k)/2<2時(shí)，函數(shù)g(x)在[0,(2m+k)/2]上單調(diào)遞減，在[(2m+k)/2,2]上單調(diào)遞增，最小值為g((2m+k)/2)=m2-(2m+k)2/4，最大值為max{g(0),g(2)}=max{m2,4-4m-2k+m2}，所以max{m2,4-4m-2k+m2}-[m2-(2m+k)2/4]≤4，解得-2≤k≤2；當(dāng)(2m+k)/2≥2時(shí)，函數(shù)g(x)在[0,2]上單調(diào)遞減，最大值為g(0)=m2，最小值為g(2)=4-4m-2k+m2，所以m2-[4-4m-2k+m2]=4m+2k-4≤4，解得k≤4-2m。綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-2,2]。（12分）四、選做題23.（1）曲線C的普通方程為x2/4+y2=1。直線l的極坐標(biāo)方程可化為ρsinθcosπ/4+ρcosθsinπ/4=√2，即ρsinθ+ρcosθ=2，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0。（5分）（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2cosθ,sinθ)，則點(diǎn)P到直線l的距離d=|2cosθ+sinθ-2|/√2=|√5sin(θ+φ)-2|/√2