2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)函數(shù)專項(xiàng)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.函數(shù)概念與定義域已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{\log_2(x-1)}$，則其定義域?yàn)椋ǎ〢.$[-2,+\infty)$B.$(1,2)\cup(2,+\infty)$C.$[-2,1)\cup(1,+\infty)$D.$(1,2)\cup[2,+\infty)$2.函數(shù)相等的判定下列各組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（）A.$f(x)=x$與$g(x)=\sqrt{x^2}$B.$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$與$g(x)=x+1$C.$f(x)=|x|$與$g(x)=\begin{cases}x,&x\geq0\-x,&x<0\end{cases}$D.$f(x)=2\log_2x$與$g(x)=\log_2x^2$3.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=x^2-2ax+3$在區(qū)間$(-\infty,2]$上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a\geq2$B.$a\leq2$C.$a\geq-2$D.$a\leq-2$4.函數(shù)奇偶性的判定下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.$f(x)=x^3$B.$f(x)=\dfrac{1}{x}$C.$f(x)=\sinx$D.$f(x)=2^x$5.指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)$f(x)=a^{x-1}+1$（$a>0$且$a\neq1$）的圖象恒過定點(diǎn)（）A.$(0,1)$B.$(1,2)$C.$(1,1)$D.$(0,2)$6.對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算若$\log_2a+\log_2b=3$，則$a+b$的最小值為（）A.$2\sqrt{2}$B.$4$C.$4\sqrt{2}$D.$8$7.二次函數(shù)的最值函數(shù)$f(x)=-x^2+4x+1$在區(qū)間$[0,3]$上的最大值為（）A.$1$B.$5$C.$4$D.$2$8.冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)已知冪函數(shù)$f(x)=x^\alpha$的圖象過點(diǎn)$(2,\sqrt{2})$，則$\alpha$的值為（）A.$\dfrac{1}{2}$B.$2$C.$\sqrt{2}$D.$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$9.函數(shù)圖像的變換函數(shù)$y=2\log_2(x+1)$的圖象可由函數(shù)$y=\log_2x$的圖象經(jīng)過（）變換得到A.向左平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位B.向左平移1個(gè)單位，再縱向拉伸為原來的2倍C.向右平移1個(gè)單位，再縱向拉伸為原來的2倍D.向右平移1個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位10.分段函數(shù)的求值已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}2^x,&x<0\x+1,&x\geq0\end{cases}$，則$f(f(-1))=$（）A.$\dfrac{1}{2}$B.$2$C.$3$D.$1$11.函數(shù)的周期性設(shè)$f(x)$是定義在$\mathbf{R}$上的周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)$0\leqx<1$時(shí)，$f(x)=x^2$，則$f(2025.5)=$（）A.$-0.25$B.$0.25$C.$-0.75$D.$0.75$12.函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用已知函數(shù)$f(x)=\begin{cases}\log_2x,&x>0\2^x,&x\leq0\end{cases}$，則方程$f(x)=\dfrac{1}{2}$的解為（）A.$\sqrt{2}$或$-1$B.$\dfrac{1}{2}$或$-1$C.$\sqrt{2}$或$1$D.$\dfrac{1}{2}$或$1$二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.函數(shù)值域的求解函數(shù)$f(x)=x^2-4x+5$，$x\in[1,4]$的值域?yàn)開_______。14.指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化若$2^a=5^b=10$，則$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}=$________。15.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用已知$f(x)$是偶函數(shù)，當(dāng)$x\geq0$時(shí)，$f(x)=x^2-2x$，則當(dāng)$x<0$時(shí)，$f(x)=$________。16.函數(shù)圖像的對(duì)稱性函數(shù)$y=f(x)$的圖象關(guān)于直線$x=1$對(duì)稱，若當(dāng)$x\leq1$時(shí)，$f(x)=x^2+1$，則當(dāng)$x>1$時(shí)，$f(x)=$________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$，$x\in[0,3]$。（1）求函數(shù)$f(x)$的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值。18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\log_a(x+1)$，$g(x)=\log_a(1-x)$（$a>0$且$a\neq1$）。（1）求函數(shù)$h(x)=f(x)+g(x)$的定義域；（2）判斷函數(shù)$h(x)$的奇偶性，并說明理由；（3）若$a>1$，解不等式$f(x)>g(x)$。19.（本小題滿分12分）已知二次函數(shù)$f(x)$滿足$f(0)=1$，且$f(x+1)-f(x)=2x$。（1）求函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$[m,m+1]$上的最小值為$3$，求實(shí)數(shù)$m$的值。20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=a^x$（$a>0$且$a\neq1$）的圖象過點(diǎn)$(2,4)$。（1）求$a$的值及函數(shù)$f(x)$的解析式；（2）若函數(shù)$g(x)=f(x)-b$在區(qū)間$[-1,2]$上有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)$b$的取值范圍。21.（本小題滿分12分）某商店銷售一種商品，每件成本為$40$元，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品的日銷售量$y$（件）與銷售單價(jià)$x$（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：$y=-2x+200$（$x\geq50$）。（1）求商店銷售該商品的日利潤(rùn)$w$（元）與銷售單價(jià)$x$（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，日利潤(rùn)最大？最大日利潤(rùn)是多少？22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)$f(x)=\dfrac{x^2+2x+a}{x}$，$x\in[1,+\infty)$。（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，求函數(shù)$f(x)$的最小值；（2）若對(duì)任意$x\in[1,+\infty)$，$f(x)>0$恒成立，求實(shí)數(shù)$a$的取值范圍。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（每小題5分，共60分）B2.C3.A4.A5.B6.B7.B8.A9.B10.B11.A12.A二、填空題（每小題5分，共20分）$[2,6]$14.$1$15.$x^2+2x$16.$(x-2)^2+1$三、解答題（共70分）17.（10分）（1）函數(shù)$f(x)=x^2-2x+3$的對(duì)稱軸為$x=1$，開口向上，$\becausex\in[0,3]$，$\therefore$函數(shù)$f(x)$的單調(diào)遞減區(qū)間為$[0,1]$，單調(diào)遞增區(qū)間為$[1,3]$。（5分）（2）當(dāng)$x=1$時(shí)，$f(x){\text{min}}=f(1)=1-2+3=2$；當(dāng)$x=3$時(shí)，$f(x){\text{max}}=f(3)=9-6+3=6$。$\therefore$函數(shù)$f(x)$的最大值為$6$，最小值為$2$。（10分）18.（12分）（1）由$\begin{cases}x+1>0\1-x>0\end{cases}$，得$-1<x<1$，$\therefore$函數(shù)$h(x)$的定義域?yàn)?(-1,1)$。（3分）（2）$h(x)=\log_a(x+1)+\log_a(1-x)=\log_a(1-x^2)$，$\becauseh(-x)=\log_a(1-(-x)^2)=\log_a(1-x^2)=h(x)$，$\thereforeh(x)$是偶函數(shù)。（7分）（3）當(dāng)$a>1$時(shí)，不等式$f(x)>g(x)$即$\log_a(x+1)>\log_a(1-x)$，等價(jià)于$\begin{cases}x+1>1-x\-1<x<1\end{cases}$，解得$0<x<1$，$\therefore$不等式的解集為$(0,1)$。（12分）19.（12分）（1）設(shè)$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq0$），$\becausef(0)=1$，$\thereforec=1$，又$f(x+1)-f(x)=a(x+1)^2+b(x+1)+1-(ax^2+bx+1)=2ax+a+b=2x$，$\therefore\begin{cases}2a=2\a+b=0\end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1\b=-1\end{cases}$，$\thereforef(x)=x^2-x+1$。（6分）（2）$f(x)=x^2-x+1=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}$，對(duì)稱軸為$x=\dfrac{1}{2}$，①當(dāng)$m+1\leq\dfrac{1}{2}$，即$m\leq-\dfrac{1}{2}$時(shí)，$f(x){\text{min}}=f(m+1)=(m+1)^2-(m+1)+1=m^2+m+1=3$，解得$m=-2$或$m=1$（舍去）；②當(dāng)$m\geq\dfrac{1}{2}$時(shí)，$f(x){\text{min}}=f(m)=m^2-m+1=3$，解得$m=2$或$m=-1$（舍去）；③當(dāng)$m<\dfrac{1}{2}<m+1$，即$-\dfrac{1}{2}<m<\dfrac{1}{2}$時(shí)，$f(x)_{\text{min}}=\dfrac{3}{4}\neq3$，無(wú)解。綜上，$m=-2$或$m=2$。（12分）20.（12分）（1）$\becausef(x)=a^x$的圖象過點(diǎn)$(2,4)$，$\thereforea^2=4$，解得$a=2$（$a=-2$舍去），$\thereforef(x)=2^x$。（4分）（2）$g(x)=2^x-b$，令$g(x)=0$，得$b=2^x$，$\becausex\in[-1,2]$，$\therefore2^x\in\left[\dfrac{1}{2},4\right]$，$\becauseg(x)$在區(qū)間$[-1,2]$上有兩個(gè)零點(diǎn)，$\therefore$函數(shù)$y=b$與$y=2^x$的圖象在區(qū)間$[-1,2]$上有兩個(gè)交點(diǎn)，又$y=2^x$在$[-1,2]$上單調(diào)遞增，$\therefore\dfrac{1}{2}<b<4$，即$b$的取值范圍是$\left(\dfrac{1}{2},4\right)$。（12分）21.（12分）（1）$w=(x-40)y=(x-40)(-2x+200)=-2x^2+280x-8000$（$x\geq50$）。（6分）（2）$w=-2x^2+280x-8000=-2(x-70)^2+1800$，$\becausea=-2<0$，對(duì)稱軸為$x=70$，$\therefore$當(dāng)$x=70$時(shí)，$w_{\text{max}}=1800$，即銷售單價(jià)為$70$元時(shí)，日利潤(rùn)最大，最大日利潤(rùn)為$1800$元。（12分）22.（12分）（1）當(dāng)$a=1$時(shí)，$f(x)=\dfrac{x^2+2x+1}{x}=x+\dfrac{1}{x}+2$，$\becausex\in[1,+\infty)$，$f(x)=x+\dfrac{1}{x}+2\geq2\sqrt{x\cdot\dfrac{1}{x}}+2=4$，當(dāng)且僅當(dāng)$x=\dfrac{1}{x}$，即$x=1$時(shí)取等號(hào)，$\thereforef(x){\t