2025年下學期高中數(shù)學對稱與破缺試卷一、單選題（共8題，每題5分，共40分）函數(shù)對稱性：已知函數(shù)$f(x)$滿足$f(2+x)=f(2-x)$，且$f(1)=3$，則$f(3)=$（）A.1B.2C.3D.4答案：C解析：由$f(2+x)=f(2-x)$知函數(shù)圖像關(guān)于直線$x=2$對稱，故$f(3)=f(2+1)=f(2-1)=f(1)=3$。幾何對稱：下列圖形中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.等邊三角形B.平行四邊形C.正五邊形D.圓答案：D解析：圓關(guān)于任意直徑所在直線對稱（軸對稱），也關(guān)于圓心對稱（中心對稱）；A為軸對稱，B為中心對稱，C為軸對稱。三角函數(shù)對稱性：函數(shù)$y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})$的圖像對稱軸方程為（）A.$x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$B.$x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$C.$x=\frac{\pi}{3}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$D.$x=\frac{\pi}{2}+k\pi(k\in\mathbb{Z})$答案：A解析：令$2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}+k\pi$，解得$x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$。對稱破缺實例：晶體結(jié)構(gòu)中，某立方體晶胞沿z軸方向原子排列周期減半，這種現(xiàn)象屬于（）A.平移對稱B.旋轉(zhuǎn)對稱C.對稱破缺D.鏡像對稱答案：C解析：原立方體沿z軸平移對稱性被破壞，屬于對稱破缺。解析幾何對稱：圓$x^2+y^2=4$關(guān)于直線$y=x+1$對稱的圓的方程為（）A.$(x-1)^2+(y+1)^2=4$B.$(x+1)^2+(y-1)^2=4$C.$(x-1)^2+(y-1)^2=4$D.$(x+1)^2+(y+1)^2=4$答案：B解析：圓心$(0,0)$關(guān)于$y=x+1$的對稱點為$(-1,1)$，半徑不變，故對稱圓方程為$(x+1)^2+(y-1)^2=4$。數(shù)列對稱性：在等差數(shù)列${a_n}$中，若$a_3+a_7=10$，則$a_2+a_8=$（）A.5B.10C.15D.20答案：B解析：等差數(shù)列中，若$m+n=p+q$，則$a_m+a_n=a_p+a_q$，故$a_2+a_8=a_3+a_7=10$。向量對稱：已知向量$\vec{a}=(1,2)$，則與$\vec{a}$關(guān)于y軸對稱的向量為（）A.$(-1,2)$B.$(1,-2)$C.$(-1,-2)$D.$(2,1)$答案：A解析：關(guān)于y軸對稱的向量，橫坐標變?yōu)橄喾磾?shù)，縱坐標不變，故為$(-1,2)$。概率中的對稱：拋擲兩枚均勻硬幣，出現(xiàn)“一正一反”的概率為（）A.$\frac{1}{4}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{4}$答案：C解析：樣本空間為{正正,正反,反正,反反}，“一正一反”包含2個樣本點，概率為$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，體現(xiàn)結(jié)果對稱性。二、多選題（共2題，每題6分，共12分；全對得6分，部分選對得3分，錯選得0分）函數(shù)奇偶性與對稱：下列函數(shù)中，圖像關(guān)于原點對稱的有（）A.$f(x)=x^3+\sinx$B.$f(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$C.$f(x)=|x|\cosx$D.$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$答案：ABD解析：A：$f(-x)=-x^3-\sinx=-f(x)$，奇函數(shù)；B：$f(-x)=\frac{e^{-x}-e^x}{2}=-f(x)$，奇函數(shù)；C：$f(-x)=|x|\cosx=f(x)$，偶函數(shù)；D：$f(-x)=\frac{-x}{1+x^2}=-f(x)$，奇函數(shù)。對稱破缺的應(yīng)用：下列現(xiàn)象中體現(xiàn)“對稱破缺”的有（）A.水結(jié)冰時分子排列從無序變?yōu)橛行駼.單擺運動中振幅逐漸減小C.正方形晶格在壓力下變形為長方形D.拋硬幣時因空氣阻力導(dǎo)致正反面概率不等答案：ACD解析：A：液態(tài)水分子無序（對稱性高），固態(tài)冰晶體有序（對稱性降低）；B：單擺振幅減小是能量耗散，與對稱性無關(guān)；C：正方形旋轉(zhuǎn)對稱（4重）變?yōu)殚L方形（2重），對稱性破缺；D：理想對稱下概率相等，阻力導(dǎo)致對稱性破缺。三、填空題（共4題，每題5分，共20分）立體幾何對稱：棱長為2的正方體中，異面直線$A_1B$與$AD_1$的距離為________。答案：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$解析：建立空間直角坐標系，$A_1(0,0,2)$，$B(2,0,0)$，$A(0,0,0)$，$D_1(0,2,2)$，向量$\overrightarrow{A_1B}=(2,0,-2)$，$\overrightarrow{AD_1}=(0,2,2)$，公垂線方向向量$\vec{n}=\overrightarrow{A_1B}\times\overrightarrow{AD_1}=(4,-4,4)$，距離$d=\frac{|\overrightarrow{AA_1}\cdot\vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{8}{4\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。解析幾何對稱：拋物線$y^2=4x$上一點$P(1,2)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點$Q$的坐標為________，且$Q$是否在拋物線上？________（填“是”或“否”）。答案：$(2,1)$；否解析：點$(a,b)$關(guān)于$y=x$的對稱點為$(b,a)$，故$Q(2,1)$；代入拋物線方程$1^2=4\times2=8$不成立，故不在拋物線上（體現(xiàn)拋物線對$y=x$的不對稱性）。數(shù)列對稱破缺：等差數(shù)列${a_n}$中，$a_1=1$，$d=2$，若從第5項起公差變?yōu)?，則數(shù)列的前10項和$S_{10}=$________。答案：115解析：前4項：$1,3,5,7$（和為16）；后6項：$10,13,16,19,22,25$（首項$a_5=7+3=10$，和為$\frac{6(10+25)}{2}=105$），總$S_{10}=16+105=121$？（修正：前4項和為$\frac{4(1+7)}{2}=16$，后6項公差為3，$a_5=7+3=10$，和為$6\times10+\frac{6\times5}{2}\times3=60+45=105$，總$16+105=121$，原答案115錯誤，應(yīng)為121）。物理中的對稱破缺：在β衰變中，宇稱守恒定律被打破，這一現(xiàn)象屬于________（填“連續(xù)對稱破缺”或“離散對稱破缺”）。答案：離散對稱破缺解析：宇稱變換（鏡像對稱）是離散變換，其破缺屬于離散對稱破缺。四、解答題（共6題，共78分）三角函數(shù)對稱與圖像變換（13分）已知函數(shù)$f(x)=\cos(2x+\frac{\pi}{6})+1$。（1）求$f(x)$的最小正周期及圖像的對稱軸方程；（2）將$f(x)$圖像向右平移$\frac{\pi}{6}$個單位后得到$g(x)$，判斷$g(x)$是否為偶函數(shù)，并說明理由。解答：（1）周期$T=\frac{2\pi}{2}=\pi$；令$2x+\frac{\pi}{6}=k\pi$，得對稱軸$x=-\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}(k\in\mathbb{Z})$。（6分）（2）$g(x)=f(x-\frac{\pi}{6})=\cos(2(x-\frac{\pi}{6})+\frac{\pi}{6})+1=\cos(2x-\frac{\pi}{6})+1$；$g(-x)=\cos(-2x-\frac{\pi}{6})+1=\cos(2x+\frac{\pi}{6})+1\neqg(x)$，故$g(x)$不是偶函數(shù)（體現(xiàn)平移后的對稱破缺）。（7分）立體幾何中的對稱（13分）如圖，三棱錐$P-ABC$中，$PA=PB=PC$，$AB=AC=2$，$BC=2\sqrt{3}$，$O$為$BC$中點。（1）證明：平面$POA\perp$平面$ABC$；（2）若$PO=1$，求點$B$到平面$PAC$的距離。解答：（1）$AB=AC$，$O$為$BC$中點，故$AO\perpBC$；$PA=PB=PC$，故$PO\perpBC$，$PO\capAO=O$，則$BC\perp$平面$POA$，又$BC\subset$平面$ABC$，故平面$POA\perp$平面$ABC$。（6分）（2）$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=1$，$PO=1$，則$PA=\sqrt{PO^2+AO^2}=\sqrt{2}$；$V_{P-ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangleABC}\cdotPO=\frac{1}{3}\times\sqrt{3}\times1=\frac{\sqrt{3}}{3}$；設(shè)點$B$到平面$PAC$的距離為$h$，$S_{\trianglePAC}=\frac{1}{2}\times2\times\sqrt{(\sqrt{2})^2-1^2}=1$，由$V_{B-PAC}=V_{P-ABC}$得$\frac{1}{3}\times1\timesh=\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得$h=\sqrt{3}$。（7分）概率中的對稱與破缺（13分）某工廠生產(chǎn)A、B兩種零件，A零件合格率為0.9，B零件合格率為0.8，且生產(chǎn)過程相互獨立。（1）若各生產(chǎn)1件，求至少有1件合格的概率；（2）若生產(chǎn)A零件100件，B零件200件，用頻率估計概率，求合格零件總數(shù)的期望；（3）若因設(shè)備故障，B零件合格率降為0.5（對稱破缺），求此時合格零件總數(shù)的方差（仍生產(chǎn)A100件，B200件）。解答：（1）對立事件“全不合格”概率為$(1-0.9)(1-0.8)=0.02$，故至少1件合格概率為$1-0.02=0.98$。（4分）（2）A合格數(shù)$X\simB(100,0.9)$，B合格數(shù)$Y\simB(200,0.8)$，$E(X+Y)=E(X)+E(Y)=100\times0.9+200\times0.8=250$。（4分）（3）$Y\simB(200,0.5)$，方差$D(X+Y)=D(X)+D(Y)=100\times0.9\times0.1+200\times0.5\times0.5=9+50=59$。（5分）解析幾何中的對稱與軌跡（13分）已知橢圓$C:\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$，過點$P(1,1)$的直線$l$交橢圓于$A,B$兩點。（1）若$P$為$AB$中點，求直線$l$的方程；（2）若直線$l$斜率為1，求弦$AB$的長度，并判斷以$AB$為直徑的圓是否過原點（對稱性驗證）。解答：（1）設(shè)$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，代入橢圓方程作差得$\frac{(x_1-x_2)(x_1+x_2)}{4}+\frac{(y_1-y_2)(y_1+y_2)}{3}=0$；$x_1+x_2=2$，$y_1+y_2=2$，故$\frac{2(x_1-x_2)}{4}+\frac{2(y_1-y_2)}{3}=0$，斜率$k=-\frac{3}{4}$，直線$l:y-1=-\frac{3}{4}(x-1)$，即$3x+4y-7=0$。（6分）（2）直線$l:y=x$，聯(lián)立橢圓方程得$7x^2=12$，$x_1+x_2=0$，$x_1x_2=-\frac{12}{7}$；$|AB|=\sqrt{1+1^2}\cdot\sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=\sqrt{2}\cdot\sqrt{\frac{48}{7}}=\frac{4\sqrt{42}}{7}$；$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=2x_1x_2=-\frac{24}{7}\neq0$，故圓不過原點（對稱性破缺）。（7分）函數(shù)導(dǎo)數(shù)與對稱破缺（13分）已知函數(shù)$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$，其中$a,b\in\mathbb{R}$。（1）若$f(x)$圖像關(guān)于點$(1,0)$對稱，求$a,b$的值；（2）當$a=1$，$b=0$時，討論$f(x)$的單調(diào)性，并說明其圖像是否存在對稱軸。解答：（1）由中心對稱性質(zhì)$f(1+x)+f(1-x)=0$，代入得：$(1+x)^3-3a(1+x)^2+3b(1+x)+(1-x)^3-3a(1-x)^2+3b(1-x)=0$，化簡得$(6-6a)x^2+(2-6a+6b)=0$，故$\begin{cases}6-6a=0\2-6a+6b=0\end{cases}$，解得$a=1$，$b=\frac{2}{3}$。（6分）（2）$f(x)=x^3-3x^2$，$f'(x)=3x(x-2)$，單調(diào)增區(qū)間$(-\infty,0),(2,+\infty)$，減區(qū)間$(0,2)$；假設(shè)存在對稱軸$x=m$，則$f(m+x)=f(m-x)$，求導(dǎo)得$f'(m+x)=-f'(m-x)$，即$3(m+x)(m+x-2)=-3(m-x)(m-x-2)$，化簡得$4mx=0$對任意$x$成立，故$m=0$，但$f(0+x)=x^3-3x^2$，$f(0-x)=-x^3-3x^2\neqf(x)$，故不存在對稱軸（對稱破缺）。（7分）對稱破缺綜合應(yīng)用（13分）（1）在密碼學中，“凱撒密碼”通過將字母平移固定位數(shù)加密（如A→D，B→E），體現(xiàn)了