2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)潮流觀試卷一、選擇題（共12小題，每小題5分，共60分）已知集合A={x|x2-3x+2≤0}，集合B={x|x為不大于10的正整數(shù)}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2B.3C.4D.5復(fù)數(shù)z滿足z·(1+i)=2i，則|z|=（）A.1B.√2C.2D.2√2已知向量a=(1,2)，b=(m,1)，若a⊥b，則m的值為（）A.-2B.-1C.1D.2某學(xué)校為了解學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)測(cè)試，得到如下頻率分布直方圖。根據(jù)直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是（）A.70B.72C.75D.78已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖像如圖所示，則ω和φ的值分別為（）A.ω=π/2，φ=π/3B.ω=π/2，φ=π/6C.ω=π/3，φ=π/3D.ω=π/3，φ=π/6在帆船比賽中，已知真風(fēng)風(fēng)速為10m/s，方向?yàn)檎龞|方向；船行風(fēng)風(fēng)速為6m/s，方向?yàn)檎狈较?。則視風(fēng)風(fēng)速的大小為（）A.8m/sB.10m/sC.12m/sD.14m/s已知雙曲線C:x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)的離心率為√3，且過(guò)點(diǎn)(2,√3)，則雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.x2/3-y2/6=1B.x2/2-y2/4=1C.x2/1-y2/2=1D.x2/4-y2/8=1已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+3x，則函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3某工廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)1件A產(chǎn)品需要3小時(shí)，生產(chǎn)1件B產(chǎn)品需要2小時(shí)。工廠每天的生產(chǎn)時(shí)間不超過(guò)12小時(shí)，且A產(chǎn)品每天的產(chǎn)量不超過(guò)3件。若每件A產(chǎn)品的利潤(rùn)為50元，每件B產(chǎn)品的利潤(rùn)為30元，則工廠每天的最大利潤(rùn)為（）A.150元B.170元C.190元D.210元在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，PA=3，則三棱錐P-ABC的外接球表面積為（）A.13πB.17πC.20πD.25π已知函數(shù)f(x)=|x-1|+|x+2|，則不等式f(x)≤5的解集為（）A.[-3,2]B.[-2,3]C.[-1,4]D.[-4,1]某疾病與超聲波檢查結(jié)果的關(guān)系研究中，得到如下列聯(lián)表：||患病|未患病||----|----|----||陽(yáng)性|20|5||陰性|10|65|則K2的值為（）A.10.25B.12.56C.15.38D.18.75二、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=2an+1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=______。若(x+1/x)?的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____。已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx，則函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π/2]上的最大值為_(kāi)_____。在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，則△ABC的面積為_(kāi)_____。三、解答題（共6小題，共70分）（10分）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足acosB+bcosA=2ccosC。（1）求角C的大??；（2）若c=2√3，△ABC的面積為3√3，求a+b的值。（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2=5，S5=35。（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若bn=2^an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn。（12分）在乒乓球練習(xí)中，某運(yùn)動(dòng)員每次發(fā)球的成功率為0.8，且各次發(fā)球是否成功相互獨(dú)立。定義事件A_k：第k次發(fā)球成功，事件B_n：前n次發(fā)球中成功次數(shù)為偶數(shù)。（1）求P(B_1)和P(B_2)；（2）證明：P(B_n)=0.2P(B_{n-1})+0.8(1-P(B_{n-1}))；（3）求P(B_5)。（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E為PD的中點(diǎn)。（1）求證：AE⊥平面PCD；（2）求二面角A-PC-B的余弦值。（12分）已知橢圓C:x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的離心率為√2/2，且過(guò)點(diǎn)(1,√2/2)。（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)P(0,1)的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O，求直線l的方程。（12分）已知函數(shù)f(x)=sinx-xcosx。（1）討論函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,π)上的單調(diào)性；（2）證明：對(duì)任意x∈(0,π)，都有f(x)<x3/6成立；（3）若方程f(x)=a在區(qū)間(0,π)上有兩個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。四、開(kāi)放探究題（共1小題，共20分）隨著人工智能技術(shù)的發(fā)展，AI工具在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛。某研究團(tuán)隊(duì)開(kāi)發(fā)了一款A(yù)I數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)助手，能夠?yàn)閷W(xué)生提供個(gè)性化的學(xué)習(xí)方案和解題指導(dǎo)。為了評(píng)估該AI助手的效果，研究人員選取了100名高二學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，其中50名學(xué)生使用AI助手輔助學(xué)習(xí)（實(shí)驗(yàn)組），另外50名學(xué)生采用傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式（對(duì)照組），經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)期的學(xué)習(xí)后，對(duì)兩組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：||實(shí)驗(yàn)組|對(duì)照組||----|----|----||平均分|85|78||優(yōu)秀率（≥90分）|40%|20%||及格率（≥60分）|96%|88%|（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為AI助手對(duì)提高數(shù)學(xué)成績(jī)是否有效？請(qǐng)說(shuō)明理由。（2）在使用AI助手的過(guò)程中，有學(xué)生反映"過(guò)度依賴AI解題會(huì)降低獨(dú)立思考能力"。對(duì)此觀點(diǎn)，你是否同意？請(qǐng)結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的特點(diǎn)，談?wù)勀愕目捶?。?）請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)新的實(shí)驗(yàn)方案，以更全面地評(píng)估AI助手在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用。要求：方案需包含實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)對(duì)象、實(shí)驗(yàn)方法和評(píng)估指標(biāo)。五、數(shù)據(jù)分析題（共1小題，共20分）某電商平臺(tái)為了提高銷售額，對(duì)2024年1月至12月的月銷售額（單位：萬(wàn)元）和廣告投入（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)：|月份|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|11|12||----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----||廣告投入x|12|14|15|18|20|22|25|28|30|32|35|38||銷售額y|50|58|62|70|75|80|88|95|102|108|115|120|（1）繪制銷售額y與廣告投入x的散點(diǎn)圖，并判斷兩者之間是否存在線性相關(guān)關(guān)系；（2）求銷售額y關(guān)于廣告投入x的線性回歸方程；（3）若2025年1月計(jì)劃廣告投入40萬(wàn)元，預(yù)測(cè)該月的銷售額；（4）計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此說(shuō)明銷售額y與廣告投入x之間線性相關(guān)的密切程度。（附：線性回歸方程y=bx+a中，b=∑(xi-x?)(yi-?)/∑(xi-x?)2，a=?-bx?；相關(guān)系數(shù)r=∑(xi-x?)(yi-?)/√[∑(xi-x?)2∑(yi-?)2]）六、數(shù)學(xué)建模題（共1小題，共20分）某城市為了緩解交通擁堵，計(jì)劃在市中心區(qū)域設(shè)置共享單車(chē)停放點(diǎn)?，F(xiàn)有A、B、C三個(gè)區(qū)域需要設(shè)置停放點(diǎn)，每個(gè)區(qū)域至少設(shè)置1個(gè)，最多設(shè)置3個(gè)。已知每個(gè)停放點(diǎn)的建設(shè)成本為5萬(wàn)元，且不同區(qū)域的運(yùn)營(yíng)收益與停放點(diǎn)數(shù)量的關(guān)系如下表：停放點(diǎn)數(shù)量A區(qū)域月收益（萬(wàn)元）B區(qū)域月收益（萬(wàn)元）C區(qū)域月收益（萬(wàn)元）134225653677假設(shè)每個(gè)停放點(diǎn)的使用壽命為10年，不考慮資金的時(shí)間價(jià)值。（1）建立該問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，以確定每個(gè)區(qū)域應(yīng)設(shè)置的停放點(diǎn)數(shù)量，使總利潤(rùn)最大；（2）求解該模型，給出最優(yōu)設(shè)置方案及最大總利潤(rùn)；（3）若建設(shè)成本上漲為6萬(wàn)元/個(gè)，最優(yōu)方案是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由。七、創(chuàng)新設(shè)計(jì)題（共1小題，共20分）傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生往往通過(guò)大量刷題來(lái)提高解題能力。隨著AI技術(shù)的發(fā)展，有學(xué)者提出"AI+數(shù)學(xué)教育"的新模式，認(rèn)為應(yīng)減少機(jī)械性訓(xùn)練，增加數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。（1）列舉至少三種高中數(shù)學(xué)中的重要數(shù)學(xué)思想方法，并舉例說(shuō)明其在解題中的應(yīng)用；（2）設(shè)計(jì)一個(gè)融合AI工具的高中數(shù)學(xué)教學(xué)方案，包括教學(xué)目標(biāo)、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)過(guò)程和評(píng)價(jià)方式；（3）結(jié)合自己的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，談?wù)勅绾卧贏I時(shí)代更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。本試卷嚴(yán)格遵循2025年高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)要求，全面考查基礎(chǔ)知識(shí)，重點(diǎn)考查核心概念和數(shù)學(xué)思想方法。試卷注重情境創(chuàng)新，如帆船比賽中的向量應(yīng)用、乒乓球發(fā)球概率問(wèn)題等，引導(dǎo)學(xué)