2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)過程性評(píng)價(jià)記錄試卷一、數(shù)與代數(shù)模塊（40分）（一）函數(shù)概念與性質(zhì)（15分）探究題：已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c(a\neq0)$的圖像經(jīng)過點(diǎn)$(1,3)$，且在$x=2$處取得極值。請(qǐng)完成以下任務(wù)：（1）列出關(guān)于$a$、$b$、$c$的方程組（3分）；（2）在平面直角坐標(biāo)系中手繪函數(shù)可能的圖像，標(biāo)注頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸（4分）；（3）結(jié)合圖像分析函數(shù)的單調(diào)性，并說明極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系（5分）；（4）若該函數(shù)與$x$軸交于$A(x_1,0)$、$B(x_2,0)$兩點(diǎn)，且$|x_1-x_2|=4$，求函數(shù)的解析式（3分）。開放性問題：生活中存在許多函數(shù)關(guān)系，例如“手機(jī)話費(fèi)與通話時(shí)間”“身高與年齡”等。請(qǐng)選擇一個(gè)具體實(shí)例，用函數(shù)表達(dá)式描述其關(guān)系，并分析自變量的取值范圍、函數(shù)的增減性及實(shí)際意義（7分）。（二）數(shù)列與不等式（15分）證明題：已知數(shù)列${a_n}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$。（1）計(jì)算$a_2$、$a_3$、$a_4$的值，猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式（3分）；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想（5分）；（3）若$b_n=\frac{a_n+1}{a_na_{n+1}}$，求數(shù)列${b_n}$的前$n$項(xiàng)和$S_n$，并求$S_n$的取值范圍（4分）。應(yīng)用題：某工廠生產(chǎn)一種零件，每月產(chǎn)量$x$（千個(gè)）與成本$y$（萬(wàn)元）的關(guān)系為$y=0.5x^2+2x+3$。若該零件的售價(jià)為每個(gè)5元，且每月產(chǎn)量不超過10千個(gè)，求每月生產(chǎn)多少個(gè)零件時(shí)利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？（利潤(rùn)=收入-成本，需用不等式或?qū)?shù)方法求解，5分）（三）數(shù)學(xué)建模（10分）任務(wù)：某小區(qū)計(jì)劃建造一個(gè)矩形花園，周長(zhǎng)固定為20米。請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，使花園面積最大，并回答以下問題：（1）設(shè)矩形的長(zhǎng)為$x$米，寫出面積$S$關(guān)于$x$的函數(shù)表達(dá)式，并指出定義域（3分）；（2）用配方法或?qū)?shù)法求出面積的最大值及對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)和寬（4分）；（3）若花園一邊靠墻（墻長(zhǎng)8米），周長(zhǎng)不變，面積最大值是否改變？請(qǐng)說明理由（3分）。二、幾何與拓?fù)淠K（35分）（一）立體幾何（15分）作圖與計(jì)算：已知直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$。（1）在右側(cè)方框中畫出該三棱柱的直觀圖，標(biāo)注棱長(zhǎng)（3分）；（2）求異面直線$A_1B$與$AC_1$所成角的余弦值（5分）；（3）求三棱錐$B_1-ABC$的體積（3分）；（4）判斷平面$A_1BC$與平面$B_1BC$是否垂直，并證明你的結(jié)論（4分）。探究題：用一個(gè)平面去截正方體，截面可能是什么形狀？請(qǐng)列舉3種，并畫出示意圖，說明截面與正方體棱的交點(diǎn)位置（6分）。（二）解析幾何（15分）綜合題：已知橢圓$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且過點(diǎn)$(2,1)$。（1）求橢圓$C$的標(biāo)準(zhǔn)方程（4分）；（2）過橢圓右焦點(diǎn)$F$作直線$l$交橢圓于$M$、$N$兩點(diǎn)，若$|MF|=2|FN|$，求直線$l$的斜率（6分）；（3）在橢圓上是否存在點(diǎn)$P$，使得$\trianglePFM$為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)$P$的坐標(biāo)；若不存在，說明理由（5分）。實(shí)踐操作：在平面直角坐標(biāo)系中，給定兩點(diǎn)$A(1,0)$、$B(4,0)$，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)作圖：（1）作線段$AB$的垂直平分線（2分）；（2）以$AB$為直徑作圓，并寫出該圓的方程（3分）。（三）三角與向量（5分）情境題：如圖，一艘船從港口$O$出發(fā)，沿北偏東$30^\circ$方向航行10海里到達(dá)$A$處，然后沿北偏西$60^\circ$方向航行10海里到達(dá)$B$處。（1）用向量表示船的位移$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{AB}$（2分）；（2）求港口$O$到點(diǎn)$B$的距離及$OB$的方向角（3分）。三、數(shù)據(jù)與概率模塊（25分）（一）統(tǒng)計(jì)與數(shù)據(jù)分析（15分）案例分析：某學(xué)校為了解學(xué)生每周數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)間，隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：學(xué)習(xí)時(shí)間（小時(shí)）[0,3)[3,6)[6,9)[9,12)[12,15]頻數(shù)1025401510（1）繪制頻率分布直方圖（4分）；（2）計(jì)算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)（6分）；（3）若該校共有2000名學(xué)生，估計(jì)每周學(xué)習(xí)時(shí)間不少于9小時(shí)的學(xué)生人數(shù)（2分）；（4）結(jié)合數(shù)據(jù)，為學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)提出一條合理化建議（3分）。建模題：某電商平臺(tái)統(tǒng)計(jì)了一款商品的“售價(jià)$x$（元）與日銷量$y$（件）”的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下：售價(jià)$x$100120140160180日銷量$y$200180150120100（1）判斷$y$與$x$是否線性相關(guān)，并用最小二乘法求回歸直線方程$\hat{y}=\hatx+\hat{a}$（5分）；（2）預(yù)測(cè)售價(jià)為200元時(shí)的日銷量（2分）。（二）概率與統(tǒng)計(jì)案例（10分）概率計(jì)算題：一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球和1個(gè)黑球，這些球除顏色外完全相同。（1）從中隨機(jī)摸出2個(gè)球，求兩球顏色不同的概率（3分）；（2）若每次摸出1個(gè)球后放回，連續(xù)摸3次，求至少摸到1個(gè)紅球的概率（4分）。開放性問題：“天氣預(yù)報(bào)說明天降水概率為70%”，請(qǐng)用概率的知識(shí)解釋這句話的含義，并舉例說明生活中其他概率現(xiàn)象的應(yīng)用（3分）。四、過程性評(píng)價(jià)記錄（附加分10分）（一）課堂參與（4分）本模塊學(xué)習(xí)期間，是否主動(dòng)參與小組討論、提出問題或分享解題思路？請(qǐng)列舉1個(gè)具體課堂案例（如“在函數(shù)性質(zhì)探究中，提出用導(dǎo)數(shù)判斷極值的方法”）。（二）作業(yè)與反思（3分）選擇1次典型錯(cuò)題，分析錯(cuò)誤原因、正確解法及改進(jìn)措施（如“在數(shù)列錯(cuò)位相減求和中，因漏項(xiàng)導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤，今后需注意對(duì)齊項(xiàng)數(shù)”）。（三）數(shù)學(xué)實(shí)踐（3分）是否參與數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)競(jìng)賽或數(shù)學(xué)文化