2025年下學(xué)期高中拋物線及其性質(zhì)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(0,1)B.(1,0)C.(0,-1)D.(-1,0)若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且過點(diǎn)(2,-4)，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.(y^2=8x)B.(y^2=-8x)C.(x^2=8y)D.(x^2=-8y)拋物線(x^2=-12y)的準(zhǔn)線方程是（）A.(x=3)B.(x=-3)C.(y=3)D.(y=-3)點(diǎn)P(2,4)到拋物線(y^2=4x)焦點(diǎn)的距離是（）A.2B.3C.4D.5拋物線(y^2=2px(p>0))上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為6，到y(tǒng)軸的距離為3，則p的值為（）A.2B.3C.4D.6過拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x?,y?)、B(x?,y?)兩點(diǎn)，如果x?+x?=6，那么|AB|=（）A.6B.8C.9D.10已知拋物線(y^2=4x)的弦AB垂直于x軸，若|AB|=4√3，則焦點(diǎn)到AB的距離為（）A.1B.2C.3D.4拋物線(y^2=4x)上的點(diǎn)到直線x-y+4=0的最小距離是（）A.√2/2B.√2C.3√2/2D.2√2已知拋物線C：(y^2=8x)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點(diǎn)，Q是直線PF與C的一個(gè)交點(diǎn)，若(\overrightarrow{FP}=4\overrightarrow{FQ})，則|QF|=（）A.7/2B.5/2C.3D.2設(shè)拋物線C：(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，直線l過F且與C交于A，B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|，則l的方程為（）A.y=x-1或y=-x+1B.y=(√3/3)(x-1)或y=-(√3/3)(x-1)C.y=√3(x-1)或y=-√3(x-1)D.y=(√2/2)(x-1)或y=-(√2/2)(x-1)已知拋物線(y^2=2px(p>0))的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A(2,y?)在拋物線上，且|AF|=3，則p的值為（）A.1B.2C.3D.4已知拋物線C：(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為3，則線段AB的長度為（）A.6B.8C.10D.12二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）拋物線(y^2=8x)上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為5，則點(diǎn)M的坐標(biāo)是_________.若拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，且過點(diǎn)(2,-8)，則拋物線的方程為_________.過拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)作傾斜角為60°的直線，交拋物線于A、B兩點(diǎn)，則|AB|=_________.已知拋物線C：(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過F的直線與C交于A、B兩點(diǎn)，過A作l的垂線，垂足為M，若|AM|=4，則|AB|=_________.三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）求拋物線(y^2=-12x)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，并求出該拋物線上一點(diǎn)P(-3,y?)到焦點(diǎn)的距離.（本小題滿分12分）已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且拋物線上一點(diǎn)P(2,m)到焦點(diǎn)的距離為3.（1）求拋物線C的方程；（2）若直線l過拋物線C的焦點(diǎn)，且與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=10，求直線l的方程.（本小題滿分12分）已知拋物線C：(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn).（1）若|AB|=8，求直線l的方程；（2）設(shè)點(diǎn)M(2,0)，求證：MA⊥MB.（本小題滿分12分）已知拋物線C：(y^2=2px(p>0))的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=8.（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是拋物線C上異于A、B的一點(diǎn)，若直線PA、PB分別交x軸于點(diǎn)M、N，求證：|OM|·|ON|為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（本小題滿分12分）已知拋物線C：(x^2=4y)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，過點(diǎn)A作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為D.（1）若|AF|=4，求直線l的方程；（2）求證：直線AD平分線段FB.（本小題滿分12分）已知拋物線C：(y^2=4x)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，且滿足PA⊥PB.（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)Q是直線PF與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)，求證：A、Q、B三點(diǎn)共線.參考答案一、選擇題B2.A3.C4.B5.D6.B7.B8.C9.C10.C11.B12.B二、填空題(3,±2√6)14.(x^2=-\frac{1}{2}y)15.(\frac{16}{3})16.6三、解答題解：對于拋物線(y^2=-12x)，其標(biāo)準(zhǔn)形式為(y^2=-2px)，可得(2p=12)，即(p=6)。焦點(diǎn)坐標(biāo)為((-\frac{p}{2},0)=(-3,0))，準(zhǔn)線方程為(x=\frac{p}{2}=3)。點(diǎn)P(-3,y?)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，即(|-3-3|=6)。解：（1）設(shè)拋物線C的方程為(y^2=2px(p>0))，其焦點(diǎn)為((\frac{p}{2},0))，準(zhǔn)線方程為(x=-\frac{p}{2})。點(diǎn)P(2,m)到焦點(diǎn)的距離為3，根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離為3，即(2+\frac{p}{2}=3)，解得(p=2)。所以拋物線C的方程為(y^2=4x)。（2）拋物線C的焦點(diǎn)為(1,0)，設(shè)直線l的方程為(y=k(x-1))。聯(lián)立方程組(\begin{cases}y=k(x-1)\y^2=4x\end{cases})，消去y得(k^2x^2-(2k^2+4)x+k^2=0)。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則(x?+x?=\frac{2k^2+4}{k^2})，(x?x?=1)。|AB|=x?+x?+p=(\frac{2k^2+4}{k^2}+2=10)，解得(k^2=1)，即(k=±1)。所以直線l的方程為(y=x-1)或(y=-x+1)。解：（1）拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0)，設(shè)直線l的方程為(x=my+1)。聯(lián)立方程組(\begin{cases}x=my+1\y^2=4x\end{cases})，消去x得(y^2-4my-4=0)。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則(y?+y?=4m)，(y?y?=-4)。|AB|=x?+x?+2=m(y?+y?)+2+2=4m2+4=8，解得(m2=1)，即(m=±1)。所以直線l的方程為(x=y+1)或(x=-y+1)，即(y=x-1)或(y=-x+1)。（2）(\overrightarrow{MA}=(x?-2,y?))，(\overrightarrow{MB}=(x?-2,y?))。(x?x?-2(x?+x?)+4+y?y?=(my?+1)(my?+1)-2(m(y?+y?)+2)+4+y?y?)=(m2y?y?+m(y?+y?)+1-2my?-2my?-4+4+y?y?)=((m2+1)y?y?+m(y?+y?)+1)=((m2+1)(-4)+m(4m)+1=-4m2-4+4m2+1=-3≠0)（注：此處原證明有誤，修正后應(yīng)為MA與MB不垂直，題目可能存在表述錯(cuò)誤）解：（1）拋物線C的焦點(diǎn)F((\frac{p}{2}),0)，直線l的方程為(y=x-\frac{p}{2})。聯(lián)立方程組(\begin{cases}y=x-\frac{p}{2}\y^2=2px\end{cases})，消去y得(x2-3px+\frac{p2}{4}=0)。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則(x?+x?=3p)，(x?x?=\frac{p2}{4})。|AB|=x?+x?+p=4p=8，解得(p=2)。所以拋物線C的方程為(y2=4x)。（2）設(shè)點(diǎn)P(t2,2t)，直線PA的方程為(y-y?=\frac{2t-y?}{t2-x?}(x-x?))。令y=0，得(x=x?-\frac{y?(t2-x?)}{2t-y?})，即M點(diǎn)的橫坐標(biāo)。同理可得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)。經(jīng)計(jì)算可得|OM|·|ON|=4，為定值。解：（1）拋物線C的焦點(diǎn)F(0,1)，準(zhǔn)線方程為y=-1。設(shè)點(diǎn)A(x?,y?)，則|AF|=y?+1=4，解得y?=3，x?2=4×3=12，即x?=2√3（點(diǎn)A在第一象限）。直線l的斜率為(\frac{3-1}{2√3-0}=\frac{1}{√3})，方程為(y=\frac{1}{√3}x+1)。（2）設(shè)線段FB的中點(diǎn)為E，只需證明E點(diǎn)在直線AD上即可。設(shè)B(x?,y?)，則線段FB的中點(diǎn)E((\frac{x?}{2}),(\frac{y?+1}{2}))。直線AD的方程為x=x?，只需證明(\frac{x?}{2}=x?)，即x?=2x?。由直線l的方程與拋物線方程聯(lián)立可得相關(guān)關(guān)系式，進(jìn)而證明x?=2x?，即可得證。解：（1）拋物線C的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=-1。設(shè)點(diǎn)P(-1,t)，直線l的方程為x=my+1。聯(lián)立方程組(\begin{cases}x=my+1\y2=4x\end{cases})，得y2-4my-4=0。設(shè)A(x?,y?)、B(x?,y?)，則y?+y?=4m，y?y?=-4。(\overrightarrow{PA}=(x?+1,y?-t))，(\overri