2025年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)高速技術(shù)觀試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）已知集合(A={x|x^2-3x+2<0})，(B={x|\log_2(x-1)<1})，則(A\capB=)（）A.((1,2))B.((2,3))C.((1,3))D.((2,+\infty))復(fù)數(shù)(z=\frac{2+i}{1-i})（(i)為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)(\overline{z})在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限已知向量(\vec{a}=(2,m))，(\vec=(1,-2))，若(\vec{a}\perp(\vec{a}-2\vec))，則(m=)（）A.(\pm2)B.(2)C.(-2)D.(4)某科技公司為測(cè)試一款新型芯片的運(yùn)算速度，隨機(jī)抽取100臺(tái)設(shè)備進(jìn)行性能檢測(cè)，得到其運(yùn)算時(shí)間（單位：毫秒）的頻率分布直方圖如圖所示。若運(yùn)算時(shí)間在([50,60))內(nèi)的設(shè)備有20臺(tái)，則直方圖中(a)的值為（）A.0.01B.0.02C.0.03D.0.04已知函數(shù)(f(x)=\sin(\omegax+\varphi))（(\omega>0)，(|\varphi|<\frac{\pi}{2})）的部分圖象如圖所示，則(f(x))的解析式為（）A.(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3}))B.(f(x)=\sin(2x-\frac{\pi}{3}))C.(f(x)=\sin(x+\frac{\pi}{6}))D.(f(x)=\sin(x-\frac{\pi}{6}))執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入的(x=1)，則輸出的(y=)（）A.3B.5C.7D.9已知雙曲線(C:\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>0)，(b>0)）的離心率為(\sqrt{3})，且過點(diǎn)((2,\sqrt{6}))，則雙曲線(C)的漸近線方程為（）A.(y=\pm\sqrt{2}x)B.(y=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}x)C.(y=\pm2x)D.(y=\pm\frac{1}{2}x)已知(a=\log_32)，(b=\ln2)，(c=2^{0.1})，則(a)，(b)，(c)的大小關(guān)系為（）A.(a<b<c)B.(b<a<c)C.(c<a<b)D.(c<b<a)在三棱錐(P-ABC)中，(PA\perp)平面(ABC)，(AB=AC=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(PA=3)，則三棱錐(P-ABC)的外接球的表面積為（）A.(13\pi)B.(25\pi)C.(29\pi)D.(34\pi)已知拋物線(y^2=4x)的焦點(diǎn)為(F)，過點(diǎn)(F)的直線(l)與拋物線交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AF|=3|BF|)，則直線(l)的斜率為（）A.(\pm\sqrt{3})B.(\pm2\sqrt{2})C.(\pm2)D.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})已知函數(shù)(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\leq0,\\lnx,&x>0,\end{cases})若關(guān)于(x)的方程(f(x)=kx+1)有且僅有三個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)(k)的取值范圍為（）A.((-1,0))B.((-1,\frac{1}{e}))C.((0,\frac{1}{e}))D.((\frac{1}{e},1))已知定義在(\mathbf{R})上的函數(shù)(f(x))滿足(f(x+2)=f(x))，且當(dāng)(x\in[0,2))時(shí)，(f(x)=x^2-2x)。若對(duì)任意(x\in[m,m+1])，不等式(f(x)\leq\frac{1}{2})恒成立，則實(shí)數(shù)(m)的取值范圍為（）A.([-\frac{1}{2}+2k,\frac{3}{2}+2k])（(k\in\mathbf{Z})）B.([-\frac{1}{2}+2k,\frac{1}{2}+2k])（(k\in\mathbf{Z})）C.([\frac{1}{2}+2k,\frac{3}{2}+2k])（(k\in\mathbf{Z})）D.([-\frac{3}{2}+2k,-\frac{1}{2}+2k])（(k\in\mathbf{Z})）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）若((x+\frac{1}{x})^n)的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開式中(x^2)的系數(shù)為________。已知等比數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，若(a_1=1)，(S_3=7)，則公比(q=)________。已知直線(l:y=kx+1)與圓(C:x^2+y^2-2x-3=0)相交于(A)，(B)兩點(diǎn)，若(|AB|=2\sqrt{3})，則(k=)________。在(\triangleABC)中，角(A)，(B)，(C)所對(duì)的邊分別為(a)，(b)，(c)，若(a=2)，(b=3)，(\cosC=\frac{1}{3})，則(\triangleABC)的面積為________。三、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）（本小題滿分10分）已知數(shù)列({a_n})的前(n)項(xiàng)和為(S_n)，且(S_n=2a_n-1)（(n\in\mathbf{N}^*)）。（1）求數(shù)列({a_n})的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)(b_n=\log_2a_n)，求數(shù)列({a_nb_n})的前(n)項(xiàng)和(T_n)。（本小題滿分12分）某高中為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，組織了一次“數(shù)學(xué)與科技”主題競(jìng)賽，競(jìng)賽分為初賽和決賽兩個(gè)階段。初賽通過后才能進(jìn)入決賽，且初賽成績(jī)不影響決賽成績(jī)。已知該校高二年級(jí)有1000名學(xué)生參加初賽，初賽成績(jī)(X)服從正態(tài)分布(N(70,100))。（1）若初賽成績(jī)不低于80分的學(xué)生能進(jìn)入決賽，求進(jìn)入決賽的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；（2）決賽中，學(xué)生需完成A，B兩個(gè)項(xiàng)目的挑戰(zhàn)，每個(gè)項(xiàng)目的得分互不影響，得分規(guī)則如下：A項(xiàng)目得分(Y)的分布列為|(Y)|5|10|15||--------|---|----|----||(P)|0.2|0.5|0.3|B項(xiàng)目得分(Z)的分布列為|(Z)|5|10||--------|---|----||(P)|0.4|0.6|記決賽總分為(W=Y+Z)，求(W)的數(shù)學(xué)期望(E(W))。（參考數(shù)據(jù)：若(X\simN(\mu,\sigma^2))，則(P(\mu-\sigma<X\leq\mu+\sigma)\approx0.6827)，(P(\mu-2\sigma<X\leq\mu+2\sigma)\approx0.9545)）（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱(ABC-A_1B_1C_1)中，(AB=AC=AA_1=2)，(\angleBAC=90^\circ)，(D)為(BC)的中點(diǎn)。（1）求證：(A_1B\parallel)平面(ADC_1)；（2）求二面角(A_1-AD-C_1)的余弦值。（本小題滿分12分）已知橢圓(E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1)（(a>b>0)）的離心率為(\frac{\sqrt{2}}{2})，且過點(diǎn)((1,\frac{\sqrt{2}}{2}))。（1）求橢圓(E)的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓(E)的右焦點(diǎn)(F)作直線(l)交橢圓于(M)，(N)兩點(diǎn)，若線段(MN)的垂直平分線交(x)軸于點(diǎn)(P)，求證：(\frac{|MN|}{|PF|})為定值。（本小題滿分12分）已知函數(shù)(f(x)=e^x-ax-1)（(a\in\mathbf{R})）。（1）討論函數(shù)(f(x))的單調(diào)性；（2）若(f(x)\geq0)對(duì)任意(x\in\mathbf{R})恒成立，求(a)的值；（3）在（2）的條件下，證明：(\sum_{k=1}^n\frac{1}{(k+1)\ln(k+1)}>\frac{e-1}{e})（(n\in\mathbf{N}^*)）。（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系(xOy)中，已知曲線(C_1)的參數(shù)方程為(\begin{cases}x=2+2\cos\alpha,\y=2\sin\alpha\end{cases})（(\alpha)為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)(O)為極點(diǎn)，(x)軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(C_2)的極坐標(biāo)方程為(\rho\sin(\theta+\frac{\pi}{4})=\sqrt{2})。（1）求曲線(C_1)的普通方程和曲線(C_2)的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點(diǎn)(P)是曲線(C_1)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)(Q)是曲線(C_2)上的動(dòng)點(diǎn)，求(|PQ|)的最小值。參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)（部分）一、選擇題A2.D3.A4.C5.B6.C7.A8.A9.D10.A11.B12.B二、填空題13.1514.215.(\pm\frac{\sqrt{3}}{3})16.(2\sqrt{2})三、解答題17.（1）當(dāng)(n=1)時(shí)，(S_1=a_1=2a_1-1)，解得(a_1=1)。當(dāng)(n\geq2)時(shí)，(S_n-S_{n-1}=2a_n-2a_{n-1})，即(a_n=2a_{n-1})，故數(shù)列({a_n})是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，(a_n=2^{n-1})。（2）(b_n=\log_22^{n-1}=n-1)，(a_nb_n=(n-1)\cdot2^{n-1})，錯(cuò)位相減法可得(T_n=(n-2)\cdot2^n+2)。（1）(X\simN(70,10^2))，(P(X\geq80)=P(X\geq\mu+\sigma)=\frac{1-0.6827}{2}\approx0.1587)，進(jìn)入決賽人數(shù)約為(1000\times0.1587\approx159)人。（2）(E(Y)=5\times0.2+10\times0.5+15\times0.3=10.5)